高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第三节三角函数的图象与性质课件文

答案 (1)A (2)C (3)B
解析
(1)y=1-2sin2 x
3 4

=cos 2
x

3 4

=-sin
2x,是最小正周期为π的
奇函数.
(2)由题意可知f(x)=2sin x
6

cos x
6
=sin 2x
2
2
2
=sin 2x

3

- 3 , 2
所以函数f(x)的最小正周期T= 2 =π.
2
(2)由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得
2
3
2
2kπ- 5 ≤2x≤2kπ+ ,k∈Z,
6
6
所以kπ- 5 ≤x≤kπ+ ,k∈Z.
12
12
所以函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递增区间是 0,12
2
2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)的奇偶性 若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)为偶函数,则当x=0时, f(x)取得最大值或最小 值;若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)为奇函数,则当x=0时, f(x)=0.
3-1
已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x= 对称,则φ可能是
4
2
4
所以,函数f(x)的定义域为 x |
x

k

3π 4
,
k

Z.

(2)f(x)=cos
2x·tan x
Fra Baidu bibliotek
4

=(cos2x-sin2x)·t an x 1
1 tan x
=(cos x-sin x)(cos x+sin x)· sin x cos x
cos x sin x
3
(
C
)
A. B. 2 C. 3 D. 5
2
3
2
3
答案 C 由f(x)=sin x φ 是偶函数,可得 φ =kπ+ (k∈Z),即φ=3kπ+ 3 ,k
3
3
2
2
∈Z.
又φ∈[0,2π],
所以φ= 3 ,故选C.
2
3中-3心完已全知相函同数,若f(xx)∈=3 s0in, 2ω ,x则 f6(x)(的ω>值0)域和是g(x)=323,c3os(2.x+φ)的图象的对称
1-1
函数y=sin
x-cos
x+sin
xcos
x的值域为

1 2

2,1 .
答案

1 2

2,1
解析 设t=sin x-cos x,则- 2 ≤t≤ 2 ,t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,则sin
xcos x= 1 t2 , 2
∴y=- t2 +t+ 1 =- 1 (t-1)2+1. 2 22
,
3
.
3.(2016北京东城(上)期中)函数y=cos 2x的图象的一条对称轴方程是
(A )
A.x=
2
C.x=-
8
B.x=
8
D.x=-
4
答案 A 令2x=kπ(k∈Z),得x= k (k∈Z),
2
∴函数y=cos 2x的图象的对称轴方程为x= k (k∈Z),
2
令k=1,得x= ,故选A.
.
函数y=sin x的单调递增区间为
2k

2
,
2k

2

(k∈Z).
由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),
2
4
2
得kπ- 3 ≤x≤kπ+ (k∈Z).
8
8
所以f(x)的单调递增区间为 k

3 8
,
k

8

(k∈Z).
规律总结 (1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的函数的单调区间 时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.如果ω<0,那么一定要 先借助诱导公式将x的系数转化为正数,防止把单调性弄错. (2)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复 合函数单调性规律“同增异减”. (3)求三角函数的最小正周期时,一般地,经过恒等变形把三角函数化为 “y=Asin(ωx+φ)”或“y=Acos(ωx+φ)”或“y=Atan(ωx+φ)”的形式,再 利用周期公式求解即可. (4)求含有绝对值的三角函数的单调区间及周期时,通常要画出图象,结 合图象求解.

3

,令2x- = +kπ,k
32
∈Z,解得x= 5 + k ,k∈Z.故选C.
12 2
(3)由题意知 ω + =kπ+ (k∈Z)⇒ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N*,∴ωmin=2,故
66
2
选B.
方法技巧
1.求f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)图象的对称轴,只需令ωx+φ= +kπ(k∈Z),

和 712
,

.
考点三 三角函数的奇偶性与对称性
典例3
(1)函数y=1-2sin2 x
3 4
是
(
)
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为 的奇函数
2
D.最小正周期为 的偶函数
2
(2)(2015北京朝阳一模)函数f(x)=2sin x
=-(cos x-sin x)2=2sin xcos x-1=sin 2x-1.
因为x≠kπ+ 3 π,k∈Z,
4
所以2x≠2kπ+ 3 π,k∈Z,
2
所以sin 2x≠-1,
所以函数f(x)的值域为(-2,0].
考点二 三角函数的单调性与周期性
典例2 (2016北京,16,13分)已知函数f(x)=2sin ωx·cos ωx+cos 2ωx(ω>0) 的最小正周期为π. (1)求ω的值; (2)求f(x)的单调递增区间.
B.y=cos 2x

2

C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x
答案
B
y=cos 2x

2

=-sin
2x,∴y=cos 2x

2
是最小正周期为π的奇
函数,故选B.
2.函数y=tan 3x的定义域为 ( D )
A.
2
求x;求f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x.求g(x)= Acos(ωx+φ)(A,ω≠0)图象的对称轴,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x;求g(x)图
象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ+ (k∈Z),求x.求y=Atan(ωx+φ)
2
(A,ω≠0)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ= k π(k∈Z),求x.
2-1 (2017北京朝阳一模)已知函数f(x)=sin x(cos x- 3sin x). (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递增区间.
解析 (1)因为f(x)=sin x(cos x- 3 sin x)
=sin xcos x- 3 sin2x= 1 sin 2x+ 3 cos 2x- 3
x
|
x

3π 2

3k
,
k

Z
C.

x
|
x


π 6

k
,
k

Z
B. x
|
x

π 6

k
,k

Z
D. x
|
x

π 6

kπ 3
,k

Z
答案 D 由3x≠ +kπ(k∈Z),得x≠ + k ,k∈Z.故选D.
2
63
解析 (1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx
=sin 2ωx+cos 2ωx
= 2
sin 2ωx

4

,
所以f(x)的最小正周期T= 2 = .
2ω ω
依题意, =π,解得ω=1.
ω
(2)由(1)知f(x)= 2
sin 2x

4

2
2
6 36
所以当x- = ,即x= 5 时,
32
6
f(x)取得最大值,最大值是2;
当x- = 7 ,即x= 3 时, f(x)取得最小值,最小值是-1.
36
2
所以f(x)的取值范围是[-1,2].
方法技巧 三角函数值域的求法 (1)利用y=sin x和y=cos x的值域直接求; (2)把所给的函数式变换成y=Asin(ωx+φ)+b(或y=A·cos(ωx+φ)+b)的形式 求值域; (3)把sin x或cos x看作一个整体,将原函数转换成二次函数求值域; (4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系将原函数转换成二次函数求值域.
8
(
B
)
A. B.
2
4
C.- D. 3
4
4
答案 B ∵函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x= 对称,∴2× +φ=kπ
8
8
+ ,k∈Z,∴φ=kπ+ ,k∈Z,当k=0时,φ= ,故选B.
2
4
4
3-2
若函数f(x)=sin x φ (φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=
∵函数在 4 ,
2

上是减函数,∴排除B,故选A.
5.函数y=3-2cos x
4

的最大值为
,此时x=
.
答案 5; 3 +2kπ(k∈Z)
4
解析
函数y=3-2cos x
4

的最大值为3+2=5,此时x+ =π+2kπ(k∈Z),
4
解析
(1)因为函数f(x)=asin
x- 3
cos
x的图象经过点 3 ,
0

,
所以f 3
= 3 a- 3 =0,解得a=1. 22
所以f(x)=sin
x- 3
cos
x=2sin x
3
.
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为 ≤x≤ 3 ,所以 ≤x- ≤ 7 .
2
4.下列函数中,周期为π,且在 4 ,
2

上为减函数的是
(
A
)
A.y=sin 2x

2

B.y=cos 2x

2

C.y=sin x
2

D.y=cos x
2

答案 A ∵函数的周期为π,∴排除C、D.
第三节 三角函数的图象与性质
教材研读
总纲目录
三角函数的图象与性质
考点突破
考点一 三角函数的定义域与值域 考点二 三角函数的单调性与周期性 考点三 三角函数的奇偶性与对称性
教材研读
三角函数的图象与性质
1.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是 ( B )
A.y=sin 2x

2

答案

3 2
,
3
解析 由两函数图象的对称中心完全相同可知两函数的周期相同,故ω
=2,
所以f(x)=3sin 2x

6

,
当x∈ 0, 2

时,- ≤2x- ≤ 5 ,
6
66
所以- 12 ≤sin 2x

6

≤1,故f(x)∈ 32
当t=1时,ymax=1;当t=- 2 时,ymin=- 1 - 2 .
2
∴函数的值域为 12 2,1 .
1-2
(2018北京海淀期末)已知函数f(x)=cos
2x·tan x
4

.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求函数f(x)的值域.
解析 (1)x- ≠kπ+ ,k∈Z,解得x≠kπ+ 3 ,k∈Z.
6

cos x
6
图象的一条对称
轴方程是 ( )
A.x=
6
C.x= 5
12
B.x=
3
D.x= 2
3
(3)若函数y=cos ωx

6

(ω∈N*)图象的一个对称中心是 6 ,
0

,则ω的最
小值为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
即x= 3 +2kπ(k∈Z).
4
考点突破
考点一 三角函数的定义域与值域
典例1 (2017北京朝阳期中)已知函数f(x)=asin x- 3cos x(a∈R)的图象
经过点 3 ,
0

.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若x∈ 2 ,
3 2

,求f(x)的取值范围.