数学分析课件：微分方程-2可分离变量的微分方程
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解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2的含量为 x(t )% 在[t, t dt]内,
CO2的通入量 2000 dt 0.03, CO2的排出量 2000 dt x(t),
CO2的改变量 CO2的通入量 CO2的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x(t),
dx 1 ( x 0.03),
1t
x 0.03 Ce 6 ,
dt 6
x |t0 0.1, C 0.07,
1t
x 0.03 0.07e 6 ,
x |t6 0.03 0.07e1 0.056, 6分钟后, 车间内CO2的百分比降低到 0.056%.
三、小结
分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分-------隐式通解.
M M0et
衰变规律
例3 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中
含有0.1%的 CO2 , 为了降低车间内空气中CO2
的含量, 用一台风量为每分2000立方米的鼓风机
通入含 0.03%的CO2的新鲜空气, 同时以同样的
风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分
钟后, 车间内CO2的百分比降低到多少?
2008／03／11
§2 可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程
g( y)dy f ( x)dx (1) 可分离变量的微分方程.
例如
dy
2 x2
4
y5
dx
4
y 5dy
2 x 2dx.
分析: 设函数f ( x)和g( y)是连续的, y ( x) 是
方程(1)的解, 则
g(( x))'( x)dx f ( x)dx
dx,
2
ln csc y cot y 2cos x C, 为所求解.
22
2
两端积分
g(( x))'( x)dx f ( x)dx
利用 y ( x)作代换,引入变量y, 则
g( y)dy f ( x)dx
设G( y)和F ( x)是依次为 g( y)和 f ( x)的原函数,
于是
G( y) F(x) C
(2)
说明: 方程(1)的解满足关系式(2).
反之 :
如果 y ( x) 是由关系式(2)确定的隐函数,
由隐函数求导法可知,当g( y) 0时,
'(x) F'(x) f (x)
G'( y) g( y)
表明 y ( x) 满足方程(1), 所以 y ( x)
是方程(1)的解.
解法
f ( x), g( y)连续, g( y) 0.
在上面的假设条件下, 通过两端积分
思考题
求解微分方程 dy cos x y cos x y .
dx
2
2
作业(补充材料)
习题7-1 5； 6. 习题7-2 1. 偶数 2. 偶数
思考题解答
dy cos x y cos x y 0,
dx
2
2
dy 2sin x sin y 0,
dx
22
2
dy sin
y
sin
x 2
Байду номын сангаас
正 比 , 已 知 M t0 M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量 M (t )随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 dM , 由题设条件
dt
dM M ( 0衰变系数) dt
dM dt M
dM M
dt ,
ln M t ln C, 即M Cet ,
代入M t0 M0得 M0 Ce0 C ,
g( y)dy f ( x)dx
得到的关系式
G( y) F(x) C
就是方程(1)的隐式解. 隐式通解
二、典型例题
例1 求解微分方程 dy 2xy 的通解. dx
解 分离变量 dy 2xdx, y
两端积分
dy y
2
xdx,
ln | y | x2 C1
y Ce x2为所求通解.
例 2 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量 M 成
CO2的通入量 2000 dt 0.03, CO2的排出量 2000 dt x(t),
CO2的改变量 CO2的通入量 CO2的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x(t),
dx 1 ( x 0.03),
1t
x 0.03 Ce 6 ,
dt 6
x |t0 0.1, C 0.07,
1t
x 0.03 0.07e 6 ,
x |t6 0.03 0.07e1 0.056, 6分钟后, 车间内CO2的百分比降低到 0.056%.
三、小结
分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分-------隐式通解.
M M0et
衰变规律
例3 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中
含有0.1%的 CO2 , 为了降低车间内空气中CO2
的含量, 用一台风量为每分2000立方米的鼓风机
通入含 0.03%的CO2的新鲜空气, 同时以同样的
风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分
钟后, 车间内CO2的百分比降低到多少?
2008／03／11
§2 可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程
g( y)dy f ( x)dx (1) 可分离变量的微分方程.
例如
dy
2 x2
4
y5
dx
4
y 5dy
2 x 2dx.
分析: 设函数f ( x)和g( y)是连续的, y ( x) 是
方程(1)的解, 则
g(( x))'( x)dx f ( x)dx
dx,
2
ln csc y cot y 2cos x C, 为所求解.
22
2
两端积分
g(( x))'( x)dx f ( x)dx
利用 y ( x)作代换,引入变量y, 则
g( y)dy f ( x)dx
设G( y)和F ( x)是依次为 g( y)和 f ( x)的原函数,
于是
G( y) F(x) C
(2)
说明: 方程(1)的解满足关系式(2).
反之 :
如果 y ( x) 是由关系式(2)确定的隐函数,
由隐函数求导法可知,当g( y) 0时,
'(x) F'(x) f (x)
G'( y) g( y)
表明 y ( x) 满足方程(1), 所以 y ( x)
是方程(1)的解.
解法
f ( x), g( y)连续, g( y) 0.
在上面的假设条件下, 通过两端积分
思考题
求解微分方程 dy cos x y cos x y .
dx
2
2
作业(补充材料)
习题7-1 5； 6. 习题7-2 1. 偶数 2. 偶数
思考题解答
dy cos x y cos x y 0,
dx
2
2
dy 2sin x sin y 0,
dx
22
2
dy sin
y
sin
x 2
Байду номын сангаас
正 比 , 已 知 M t0 M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量 M (t )随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 dM , 由题设条件
dt
dM M ( 0衰变系数) dt
dM dt M
dM M
dt ,
ln M t ln C, 即M Cet ,
代入M t0 M0得 M0 Ce0 C ,
g( y)dy f ( x)dx
得到的关系式
G( y) F(x) C
就是方程(1)的隐式解. 隐式通解
二、典型例题
例1 求解微分方程 dy 2xy 的通解. dx
解 分离变量 dy 2xdx, y
两端积分
dy y
2
xdx,
ln | y | x2 C1
y Ce x2为所求通解.
例 2 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量 M 成