断面法水库库容计算的算法细节

断面法水库库容计算的算法细节
刘炜
（黄河水利委员会水文局，河南郑州450004）
摘要：本文论述了断面法水库库容计算的基本算法模型及间距采用、底部锥体和回水末端处理等细节问题。

关键词：断面法库容计算算法
断面法是水库库容及冲淤量测算的常规方法之一，断面法分为加密断面法和基本断面法。

前者是通过在水库水系各干支流上布设足够密集的测量断面（称为加密断面），实现对水库库容接近于地形法测图精度的精确测算。

通过减少参与计算的断面数量，经过反复对比计算，并依照水库河道测量的有关规范要求，从加密断面中选取出一定数量和足够代表性的断面，固定下来进行历年的常规测量和库容计算，就构成了基本断面法，基本断面法又称为固定断面法，“断面法”在一般情况下所指的也就是基本断面法。

基本断面是在对比计算基础上确定的，数量少且对于库区地形变动的代表性强。

因此，基本断面法可以在相当长的时期（基本断面代表期）内，以较低的成本和较短的测量周期实现对水库库容的准确测算。

直到水库经过多年运行，河床形态和冲淤规律发生了显著变迁时，基本断面需要从新确定。

在基本断面代表期内，影响库容及冲淤量成果准确性的主要因素有两方面，一是外业测量的质量控制，二是数据处理与计算方法。

本文就后者的若干细节问题进行讨论。

1．基本算法模型及公式
水库断面法计算通常采用截锥体概化，即假设将上下两个断面间
的河道按概化间距拉直后，其容积立体构成一个截锥体：上下断面分别对应该截锥的两个底面，概化间距对应截锥的高。

在截锥体假设的情况下，计算区段内的任意河道横断面在宽和深两个方向上都被认为是沿河长线性变化的。

因而其面积在上下断面间以2次关系变化。

b
b+a
A 2
A 1
图1断面间容积立体的截锥体假设
如图1所示，断间容积立体按照截锥体假设，其体积为两个锥体体积之差：
（1）
1
23
1
)(31aA A b a V -+=根据锥体的性质，有比例关系：
解出
2
1
22)(A A b a a =
+1
22
11A A A A b bA a -⋅+=
代入（1）式简化后得到：
（2）
)
(3
1
2211A A A A b V +⋅+=上式即为水库库容计算的基本公式，一般称为截锥（体体积）公式。

给定一个高程，计算出水库所有基本断面的断面面积，对相邻断面采用（2）式计算断间库容，加起来即可实现该高程下水库库容的粗略计算。

2．体积的分层计算
截锥体概化假设计算区段上下断面形状是概化相似的，在河道原
型中，这种条件不可能准确达到。

另一方面，由于实际的断面间河长是与高程有关的，用等高线法确定的断面间距也是一个随高程变化的量。

因而，在实际的库容计算中，通常不是直接采用（2）式，而是
通过分层——累加的方法来计算逐级的断间库容。

z i-1z i
z i-2
断面间距
b i
一个截锥计算层，对应于（3）式中的一个求和项
面积A 1i
面积A 2i
图2断间库容的分层计算模型
如图2所示，以等间距的水平面将容积立体分成若干层，对每层的体积应用截锥公式计算，再累计求和得到各个高程下的断间库容。

设A 1i ，A 2i ，b i 分别为上下断面在第i 层边界内的面积和概化间距，则第j 层层顶高程对应的断间库容为：
j=1,2,3 (3)
)
(31
22111
i i i i
i
j
i zj A A A A
b V +⋅+
⋅=
∑=采用分层——累加的方法有利于在计算中处理间距随高程不同的问题，而且有助于削弱上下断面形状的相似性差异所带来的误差。

由于2次关系不具有可加性，分层水平面的间隔距离——分层高程步长的采用值对（3）式的结果是有影响的，不同的分层步长导致不同的断间库容计算结果。

但是数学上可以证明，由于参与计算的函数都是连续或分段连续的，所以分层高程步长趋近于零时，（3）式中体积和的极限是存在的。

工程实际中，不求这个极限，而是对分层步
长事先作出规定，以该规定值的计算结果为准。

例如对于百米级高差的峡谷型水库（如黄河小浪底水库）规定标准计算流程中采用的分层高程步长为1米。

3．算法细节3．1断面间距的采用
依据等高线量算得到的断面间距构成一张表格，其内容是若干个高程上的相邻断面间距值。

通过构造一个间距——高程的连续插值函数，就可以求出任意高程上的断面间距，这相当于图3中的连续曲线。

但工程上通常采用更简单的做法：以上下两条等高线高程上的间距平均值作为这两个高程范围内的间距来使用。

例如，当计算中需要使用175m ～200m 米之间任一高程（>175,<=200）的间距值时，都采用高程175m 和200m 的实际量算间距1270和1136的平均值1203。

这实际上是把间距——高程作为一个分段常数函数来处理的办法。

相当于图3中的分段曲线，下文中用b(z)或b z 表示这个函数。

100
120140160180200220240260280300800
9001000110012001300140015001600
间距(m)
高程(m )
图3断面间距高程函数
3．2回水末端及底部锥体
在水库支流上游的最后一个实设断面以上，河底高程到达水库设计水位的位置虚设一个断面，称为回水末端断面。

回水末端断面纯粹
是为计算模型的需要而设置的，它被定义为一个点，以该点为顶点，最后一个实断面为底面，构成一个锥体（见图4）。

回水末端锥体描述了我们对支流最上游部分容积体的形状认定。

回水末端
图4回水末端锥体模型
在一般的相邻断面区间，上下断面的最低河底高程不相等，在水平分层时，其中较高的最低河底高程所对应的水平面以下的容积体被认为是一个锥体，称为底部锥体（见图5）。

河底倾角θ
上断面
下断面
Z 1
下断面Z 2
上断面θ
间距bz 2
Z 1
下断面Z 2
Z 3上断面
间距bz 3间距b z 2
(a)
(b)
图5底部锥体模型
回水末端锥体和底部锥体的情况很类似，本文仅以后者为例进行叙述。

当底部柱体完全处在一个间距——高程分段区间内时，例如
，见图5(a)，间距值是唯一的，其整体体积为：
[][]200,175,21⊂z z 2
223
1
z z A b V ⋅=底锥
任意高程下的体积也直接按锥体计算
[]21,z z z ∈z
z z z A z z b A z ctg V 22
2,2
3131⋅⋅=⋅⋅= 底锥定义高程范围在z j-1,z j 之间的第j 层体积为两个锥体体积之差
(6)
)(3112
12122
,,--⋅-⋅⋅=
-=-j j j j z j z j z z z j A z A z z b V V V 底锥底锥当底部锥体的高程范围跨过若干个间距——高程分段区间时，情况就比较复杂，以图5(b)为例，(z 1,z 3]对应间距值b(z 3)，(z3,z2]对应间距值b(z 2)，就是说在整个锥体内，间距值不唯一。

这时有两种处理方法，一种办法是忽略间距在(z 1,z 2]区间内的变化，只采用最高高程z 2所对应的间距，则第j 层的体积仍然用（6）式计算。

另一种办法是以间距——高程函数的跳跃点z 3将底部锥体分成上下两个部分，间距分别采用。

在实际计算中，这并不需要专门处理，因为间距——高程函数是在整米数处分段的，而分层高程步长常采用1米。

只需要按照计算层所属的区间采用相应的间距值来定义分层体积即可。

（7）
)
(3112122
-⋅-⋅⋅==-j j j z j z j z j A z A z z b V 其中bz j 的取值，显然有：
当时bz j =b(z 3)，时bz j =b(z 2)()[]311,,z z z z j j ⊂-()[]231,,z z z z j j ⊂-对V j 进行累加后得到的体积对应于图5(b)中实线所代表的部分。

3．3第一层截锥的体积计算
底部锥体以上的计算层是按照分层截锥来计算的，但是从下面数的第一层形状比较特殊。

见图6，构成第一个计算层的两个底面中有一个（对应于上断面）只有一条直线上边，下边则是由断面的最低河底高程附近的部分河底曲线围成的。

如果上断面的最低河底高程不是恰好等于某个分层高程时，在图6中就是z 2不等于z j-1时，如果对该层采用截锥公式计算体积，则其与以底部锥体计算的部分之间就会有一块儿体积需要另外考虑。

Z j-1
Z j (a)
(b)
锥体计算层
截锥计算层Z 2
Z 2
Z j-1
Z j
四面体
截锥计算层
四面体
图6第一层截锥的体积分划
一种处理方法是按照其确定的边界，直接补充一个四面体体积，见图6(a)。

第二种方法见图6(b)，以高程z 2增加一个水平分层，把z j-1,z j 之间认定的体积分成上下两部分，下面按照一个底部锥体层计算，上面按照一个截锥层计算，求和得到整层体积。

通常情况下断面面积是按照1米分层事先计算的，第二种方法涉及到一个额外的非整米处的断面面积（即A 2z2）计算，相对来说略为复杂一些。

3．4支流河口和干流坝前
图7支流河口区段及干流坝前区段位置示意图
对于某些支流，由于地形条件及其他因素的限制，无法恰好在河口位置设置基本断面。

于是，支流最下游的实设断面与河口之间的一块儿容积就需要另做考虑。

目前的做法是在河口位置虚设河口断面，计算时完全借用上游实设断面的数据。

因而在计算公式上有如下关系：
(8)
)
(2
1
)(312111122111i i i j
i j i i i i i i i i j
i zj A A b A b A A A A b V +⋅==⋅==+⋅+⋅=∑∑∑===j=1,2,3……
也就是说，支流河口区段的容积立体可以按照分层柱体来认定。

同理，干流坝前区段的容积也是通过在大坝位置虚设断面按照分层柱体来对待，同样采用（8）式来计算。

4实际算例
针对底部截锥的间距采用和第一截锥的体积计算这两个细节问题，对黄河小浪底水库从1999年到2004年的6个汛前测次数据采用不同的处理方法进行了库容实例计算，对比结果见表1。

表1黄河小浪底水库历年总库容算法结果对比
第一层截锥的处理底部锥体
间距采用199920002001200220032004
(1)不处理最高间距127.5056126.9526123.1006119.6482118.0366113.2113
(2)不处理相应间距127.5088126.9559123.1036119.6503118.0383113.2128 (2)-(1)0.00320.00330.00290.00210.00170.0015
(3)补充锥体
计算层最高间距127.5531127.0058123.1561119.6931118.0917113.2614
(4)补充四面体最高间距127.5520126.9946123.1569119.7028118.0896113.2715
(3)-(1)0.04740.05320.05550.04490.05520.0501
(4)-(1)0.04640.04200.05630.05460.05300.0603。