断面法水库库容计算的算法细节

断面法水库库容计算的算法细节

刘炜

（黄河水利委员会水文局，河南郑州450004）

摘要：本文论述了断面法水库库容计算的基本算法模型及间距采用、底部锥体和回水末端处理等细节问题。

关键词：断面法库容计算算法

断面法是水库库容及冲淤量测算的常规方法之一，断面法分为加密断面法和基本断面法。前者是通过在水库水系各干支流上布设足够密集的测量断面（称为加密断面），实现对水库库容接近于地形法测图精度的精确测算。通过减少参与计算的断面数量，经过反复对比计算，并依照水库河道测量的有关规范要求，从加密断面中选取出一定数量和足够代表性的断面，固定下来进行历年的常规测量和库容计算，就构成了基本断面法，基本断面法又称为固定断面法，“断面法”在一般情况下所指的也就是基本断面法。基本断面是在对比计算基础上确定的，数量少且对于库区地形变动的代表性强。因此，基本断面法可以在相当长的时期（基本断面代表期）内，以较低的成本和较短的测量周期实现对水库库容的准确测算。直到水库经过多年运行，河床形态和冲淤规律发生了显著变迁时，基本断面需要从新确定。

在基本断面代表期内，影响库容及冲淤量成果准确性的主要因素有两方面，一是外业测量的质量控制，二是数据处理与计算方法。本文就后者的若干细节问题进行讨论。

1．基本算法模型及公式

水库断面法计算通常采用截锥体概化，即假设将上下两个断面间

的河道按概化间距拉直后，其容积立体构成一个截锥体：上下断面分别对应该截锥的两个底面，概化间距对应截锥的高。在截锥体假设的情况下，计算区段内的任意河道横断面在宽和深两个方向上都被认为是沿河长线性变化的。因而其面积在上下断面间以2次关系变化。

b

b+a

A 2

A 1

图1断面间容积立体的截锥体假设

如图1所示，断间容积立体按照截锥体假设，其体积为两个锥体体积之差：

（1）

1

23

1

)(31aA A b a V -+=根据锥体的性质，有比例关系：

解出

2

1

22)(A A b a a =

+1

22

11A A A A b bA a -⋅+=

代入（1）式简化后得到：

（2）

)

(3

1

2211A A A A b V +⋅+=上式即为水库库容计算的基本公式，一般称为截锥（体体积）公式。给定一个高程，计算出水库所有基本断面的断面面积，对相邻断面采用（2）式计算断间库容，加起来即可实现该高程下水库库容的粗略计算。

2．体积的分层计算

截锥体概化假设计算区段上下断面形状是概化相似的，在河道原

型中，这种条件不可能准确达到。另一方面，由于实际的断面间河长是与高程有关的，用等高线法确定的断面间距也是一个随高程变化的量。因而，在实际的库容计算中，通常不是直接采用（2）式，而是

通过分层——累加的方法来计算逐级的断间库容。

z i-1z i

z i-2

断面间距

b i

一个截锥计算层，对应于（3）式中的一个求和项

面积A 1i

面积A 2i

图2断间库容的分层计算模型

如图2所示，以等间距的水平面将容积立体分成若干层，对每层的体积应用截锥公式计算，再累计求和得到各个高程下的断间库容。设A 1i ，A 2i ，b i 分别为上下断面在第i 层边界内的面积和概化间距，则第j 层层顶高程对应的断间库容为：

j=1,2,3 (3)

)

(31

22111

i i i i

i

j

i zj A A A A

b V +⋅+

⋅=

∑=采用分层——累加的方法有利于在计算中处理间距随高程不同的问题，而且有助于削弱上下断面形状的相似性差异所带来的误差。

由于2次关系不具有可加性，分层水平面的间隔距离——分层高程步长的采用值对（3）式的结果是有影响的，不同的分层步长导致不同的断间库容计算结果。但是数学上可以证明，由于参与计算的函数都是连续或分段连续的，所以分层高程步长趋近于零时，（3）式中体积和的极限是存在的。工程实际中，不求这个极限，而是对分层步

长事先作出规定，以该规定值的计算结果为准。例如对于百米级高差的峡谷型水库（如黄河小浪底水库）规定标准计算流程中采用的分层高程步长为1米。

3．算法细节3．1断面间距的采用

依据等高线量算得到的断面间距构成一张表格，其内容是若干个高程上的相邻断面间距值。通过构造一个间距——高程的连续插值函数，就可以求出任意高程上的断面间距，这相当于图3中的连续曲线。但工程上通常采用更简单的做法：以上下两条等高线高程上的间距平均值作为这两个高程范围内的间距来使用。例如，当计算中需要使用175m ～200m 米之间任一高程（>175,<=200）的间距值时，都采用高程175m 和200m 的实际量算间距1270和1136的平均值1203。这实际上是把间距——高程作为一个分段常数函数来处理的办法。相当于图3中的分段曲线，下文中用b(z)或b z 表示这个函数。

100

120140160180200220240260280300800

9001000110012001300140015001600

间距(m)

高程(m )

图3断面间距高程函数

3．2回水末端及底部锥体

在水库支流上游的最后一个实设断面以上，河底高程到达水库设计水位的位置虚设一个断面，称为回水末端断面。回水末端断面纯粹

是为计算模型的需要而设置的，它被定义为一个点，以该点为顶点，最后一个实断面为底面，构成一个锥体（见图4）。回水末端锥体描述了我们对支流最上游部分容积体的形状认定。

回水末端

图4回水末端锥体模型

在一般的相邻断面区间，上下断面的最低河底高程不相等，在水平分层时，其中较高的最低河底高程所对应的水平面以下的容积体被认为是一个锥体，称为底部锥体（见图5）。

河底倾角θ

上断面

下断面

Z 1

下断面Z 2

上断面θ

间距bz 2

Z 1

下断面Z 2

Z 3上断面

间距bz 3间距b z 2

(a)

(b)

图5底部锥体模型

回水末端锥体和底部锥体的情况很类似，本文仅以后者为例进行叙述。

当底部柱体完全处在一个间距——高程分段区间内时，例如

，见图5(a)，间距值是唯一的，其整体体积为：

[][]200,175,21⊂z z 2

223

1

z z A b V ⋅=底锥