【卫生统计学】08 第四章 常用概率分布

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二、 二项分布的特征
1、二项分布的图形特征
以X为横坐标，P（X）为纵坐标，可绘出二项分布的图形, 由于X为离散型随机变量，二项分布图形由横坐标上孤立点的 垂直线条组成。
当π=0.5时，图形分布对称，近似正态。
如果π≠0.5或距0.5较远时，分布不对称，呈偏态。
当n充分大时，二项分布趋向对称，可以证明其趋向正态 分布。一般地，如果nπ≥5时，分布接近对称；当nπ<5时， 分布不对称，呈偏态分布。见图4-1。
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概
概
率
率
概 率
概 率
图4-1 二项分布的概率分布示意图
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2、二项分布的均数和标准差
为X的概率函数，记为P(X)，即
P( X ) CnX X (1 )nX
例1 如出生男孩的概率π=0.5，出生女孩的概率为（1-π ）=0.5。在一个妇产医院里有3名产妇分娩3名新生儿，其 中男孩为X=0,1,2,3的概率按公式（3）计算的结果列于表71的第（3）~（5）栏中。
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若X用率(p=X/n)来表示，则率的的总体均数、方差和标准差分别为 ：
n
P(X k) P(X ) ， X=k，k+1，…，n X k
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3.二项分布的应用条件
⑴试验结果只出现对立事件A或A ，两者只能出现其中之
一。
⑵试验结果是相互独立，互不影响的。
A
⑶每次试验中，出现事件A的概率为π，而出现对立事件 的概率为１-π。则有总概率π+(1-π)=1。
10 …………… 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
……
……………
图 杨辉三角模式图
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二项展开式的性质为：
⑴展开式的项数为n+1。
⑵展开式每项π和（1-π）指数之和为n。
⑶展开式每项π的指数从0到n；（1-π）的指数从n到0。。
数理统计证明：二项分布资料进行n次独立试验，每一 次试验结果出现阳性结果的概率均为π，阳性次数X的平 均值为：
n
阳性次数X的方差为：
2 n (1 )
标准差为： n (源自文库 )
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由于0≤π≤1，当π=0.5时，σ2=nπ(1-π)最大，最大值为0.25n。
概率、正态分布的分布函数的计算方法；
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医学参考值的计算。
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第一节 二项分布
一、 二项分布的概念、概率函数和应用条件
1、二项分布的概念 二项分布（binomial distribution）是一种重要的离散型 分布，是由法国数学家J.Bernoulli于1713年提出，故亦称 Bernoulli分布。 在医学上常遇到属于两分类的资料，每一观察单位只具 2020/11/19Th有ursday相互独立的一种结果，如检查结果的阳性和阴性，动物实 3
n较小时，可直接利用杨辉三角将二项分布展开式各项的 系数写出来，应用十分方便。
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试验次数 （n）
系数
1 ……………………………… 1 1
2 ……………………………… 1 2 1
3 ……………………………… 1 3 3 1
4 …………………………… 1 4 6 4 1
如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为π，阴性结果的 发生概率均为（1-π）；而且各个观察对象的结果是相互独立 的，那么，观察n个人，发生阳性结果的人数X的概率分布为 二项分布，记为X～B(n,π)。
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2、二项分布的概率函数和累积概率
公式中含有 的X 每一项，表示在n试验中出现阳性次数
概率的加法法则：几个互不相容的事件中，任一事件发生
的概率等于这几个事件的概率之和。表7-1中即为每种组合
的概率。
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在n例中至多有k例阳性的概率为P(0)+P(1)+…+P(k)，即
k
P(X k) P(X ) X 0
， X=0,1,2，…，k
在n例中至少有k例阳性的概率为P(k)+P(k+1)+…+P(n)，即
如果已知发生某一结果（如阳性）的概率为π，其对立结 果（阴性）的概率为（1-π），且各观察单位的观察结果相 互独立，互不影响，则从该总体中随机抽取n例，其中出现 阳性数为X (X=0,1,2,3,…，n)的概率可由二项展开式的各项 求得，即
n
[ (1 )]n CnX X (1 )nX Cn0 0 (1 )n Cn1 1(1 )n1 X 0 Cnn1 n1(1 )1 Cnn n (1 )0 1
5 ………………………… 1 5 10 10 5 1
6 ……………………… 1 6 15 20 15 6 1
7 …………………… 1 7 21 35 35 21 7 1
8 ………………… 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 ……………… 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
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上式第一项即为样本出现X=0的概率，第二项即为样本出现
X=1的概率，依此类推。 Cnx 为二项式展开后各项的系数，
即为组合的公式，表示在n试验中出现阳性次数为X的各种组
合数。其计算公式为：
CnX
n! X!(n X )!
该系数Cnx 也可用杨辉三角来表示，见下图。当试验次数
第四章 常用概率分布
二项分布、Poisson分布和正态分布 是医学研究资料最常见的三种分布形式。
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第四章 常用概率分布
[学习要求]
了解：质量控制的意义、原理和方法。
熟悉：三个常用概率分布的特征。
掌握：掌握三个常用概率分布的概念；
二项分布及Poisson分布的概率函数与累积
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公式（3）表示在n例中恰有X例阳性的概率，如例7.1中3名 产妇中生2男孩的概率为 P(2) C32 (0.5)2 (1 0.5)32 =0.375。
概率的乘法法则：几个相互独立事件同时发生的概率等于 各独立事件的概率之积。表7-1中即为每种排列的概率。