高阶非线性中立型微分方程的周期解
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第１ ３卷 第 ２期
２１ ０ ２年 ４月
北华大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ ＥＨ Ａ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｎ ｔ ａ Ｓｉｎｅ Ｏ Ｒ Ａ Ｆ Ｂ Ｉ Ｕ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＹ（ ａ ｒｌ ｃ ｃ） ｕ ｅ
Ｖｏ ．１ ． １ ３ Ｎｏ ２ Ａｐｒ ２ ２ ． ０１
０ 引
言
［ （）＋ｃ（ 一丁 ］ ＋ （） （）＋ｇ （ ｒ ） ＝Ｐ（） ｔ ） ‘ ） （ ｔ—ｏ ） ｔ，
ｒ
考虑 ｎ阶非线 性 中立 型泛 函微 分方 程 （） １ 其 中 ： ｏ和 Ｃ ， ｒ 是常数 ， ≥０， ≥ ０ ｆ∈Ｃ（ ， ）ｇ ∈Ｃ ， ）且 对 中任 一有界 区间 Ｅ，（ ｏ ｒ ； ， （ ， ｇ ）在 Ｅ
ｉ）当ｔ 和Ｉ Ｉ ｉ ∈ ≥Ｄ时， （）＞０ ｘ ｘ ｇ ；
ｉ ）当 ｔ∈ 且 ≤ 一Ｄ 时 ， （ ）≥一Ｍ． ｉ ｉ ｇｘ
则当
＋Ｉ ｝ 时， ＜１ 方程（ ） ｃ １ 至少存在一个 周期解．
为 了给 出并 证 明本 文 的主要 结果 ， 我们 需要做 一些 准备 工作．
文 章 编 号 ：０ ９４ ２ （０ ２ ０ －１５０ １０ －８２ ２ １ ）２０ ３ －６
高 阶非 线性 中立型 微 分 方 程 的周 期解
陈新 一
（ 西北 民族大学 中国 民族信息技术研究院 ， 甘肃 兰州 ７０ ３ ） ３ ００
摘要： 利用重合度理论 ， 研究高 阶非线性 中立 型泛 函微分 方程 ［ ｔ （）＋“（ —ｒ ］ ＋ （ ￡ ） （ ） ｇ（ ｔ ｔ ） ／ （） ￡ （ 一
ＣＨ源自文库Ｎ ｎ ｙ Ｘｉ — ｉ
（ ｈｎ ｎ ｎ＆ ｆｒ ａｉ ｅ ｎｌ ｙＩｓ ｔ ｅＮ ｒ ｗ ｓ Ｕ ｉ ｒｔ Ｃ ｉ Ｍｉｏ ｔｓ ｎｏｍ ｔ ｎＴｃ ｏ ｇ ｔｕ ， ｏ ｈ ｅ ｎｖ ｓｙ ａ Ｉ ｏ ｈ ｏ ｎｉｔ ｔ ｔ ｅ ｉ
厂ｒ ａｉ ａｉｅ，ａ ｚｏ ３０ ０ Ｃ ｉ ） ０ Ｎ ｔ ｎｌｉ Ｌ ｎｈ ｕ７０ ３ ， ｎ ｏ ｔｓ ｈａ
收 稿 日期 ：０ ２０ －７ ２ １－１２
作者简介 ： 陈新一（ ９７一）， 教授 ， １５ 男， 主要从事微分方程研究
北华大学学报 （ 自然科 学版 ）
第 １ ３卷
１ 定 理 和 引 理
本文 的主要 结果 如下 ：
定理 １ 如果存 在 正数 Ｄ， 日和 ， 得 使
ｉ ｌ ）ｌ ）／ ≤Ｈ， ∈ ； Ｖ
极 大关注 ， 出现 了一些 好 的研究成 果 ¨ 文献 ［ ，－ ］ 究 了一 阶 中立 型种 群 模 型周期 解 的存 在 性 ； 并 引． ２ ５６ 研 文
献 ［．］ ７８ 利用 Ｆｕｉ 级数理论研究了二阶常系数线性中立型方程周期解的存在性 ； ｏｒ ｒ ｅ 文献 ［ ］ ９ 则利用重合
度 理 论研究 了一 类二 阶非 线性 中立 型泛 函微分 方程 （）＋ｇ （ —ｏ） ｔ （ ｔ ｒ ）＝Ｐ ｔ 周期 解 的存 在性 问题 ． （） 但
设 ＝｛ ∈ｃ（ ， ｌ（ ＋ ） ￡ ）＝ ｝并在Ｘ上定义范数 Ｉ 黔］｛（ ｌ （）， （ ， ） ｌ ： ｛ ， ｆｌ ） Ｉ …， ｌ‘ （ ｆ， ｝ 又设 ＝｛∈ｃ ， ）Ｚ ＋ ’ ） ｚ （ （ ）＝ｚ ） ， （｝ 且在ｚ 上定义范数 ｌ ＝ 黔］ｚｔＩ ， ｌ 。 ｌ ）， （ 则（
上满足 Ｌ ｓ ｉ 条件， ｉｃ ｔ ｐ ｈｚ Ｐ∈Ｃ ， ） （ ＋ ）＝ （） （ ｄ ＝０ （ ， ｔ Ｔ Ｐ ｔ 且Ｉ ｔ ｔ ． Ｐ Ｐ ）
由于 泛 函微 分 方程周 期解 的存 在性 在生态 学 和控制 理论 等 领 域都 有重 要 的应用 ， 经引 起 了人 们 的 已
Ａ ｓ ａｔ Ｔ ｅｏｏ ｉｇｎｎｎａ ｅｔ ｌ ｅ ｙｅｕｔｎ［ （）＋ ｘ ｔ ） ‘ ＋ （ ｔ ｘ（）＋ｇ ｘ ｔ ） ｂｔ ｃ： ｈ ｌｗｎ ｏｌｅｒ ｕｒ ｌ ｑａｉ ｓｘ ｔ ｃ（ 一７ ］” ， （） ｒ ｆｌ ｉ ｎ ａｄ ａ ｏ ’ （（一 ）
ｐ ｔ ｒ ｉ ｕｓｄ ｂ ｓ ｇｔｅｃｉｃｄｎ ｅｄ ｇｅ ｅｒ， ｆｃ ｎ ｃｎ ｉｏ ｒ ｈ ｘｓ ｎｅｏ ｅｉ ｉ （ ）ａｅｄｓ ｓｅ ． ｙｕｉ ｏ ｉｅｃ ｅｒｅｔ ｏｙ ａｓｉ ｉ ｔ ｏ ｄｔ ｎｆ ｅｅｉｅ ｃ ｆ ｒ ｄｃ ｃ ｎ ｈ ｎ ｈ ｕ ｅ ｉ ｏｔ ｔ ｐ ｏ
ｓ ｌ ｔ ｎ ｏ ｈ ｑ ａｉ ｎ ｉ ｇｖ ｎ， ｎ ｈ ｎ ｗｎ ｒ ｓ ｌ ｙ ｅ ｅ ａｉｅ ． ｏ ｕｉ ｆｔ ｅ ｅ ｕ ｔ ｓ ｉ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｋ ｏ ｅ ｕ ｔ ａ ｅ ｇ ｎ ｒ ｌ ｄ ｏ ｏ ｓ ｚ
Ｋｅ ｒ ｓ：ｎｅ ｔａ ｅａ ｑ ａｉｎ； ｏ ｌｎ ａ ； ｅ ｉｄ ｃ ｓ ｌ ｔ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ｕ ｒ ｌｄ ｌｙ ｅ ｕ ｔｏ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｐ ｒｏ ｉ ｏ ｕｉ ｏ
是对于高阶非线性 中立型方程（ ）的周期解 的存在问题 ， １ 还未见有文献报道研究结果． 显然上述文献所述 的这些研 究方 法 已难 于应用 到方程 （ ）上 去 ， 际上 文献 ［ ］所讨论 的方 程 只是 方 程 （ ）的特 例． 文采 １ 实 ９ １ 本
用 类似 文献 ［０ １ ］的方 法 ， 用重 合度 理论 ， 出方程 （ ）存在 周期 解 的充分性 定理 ． 应 给 １
） ｐ ｔ 的周期解 的存在性 ， ）＝ （） 给出了该方程存 在周期解 的充分性定理 ， 推广 了已有 的结果．
关键词 ： 中立型微分方程 ； 非线性 ； 周期解
中 图 分 类 号 ： １５ １ Ｏ ７ ．４ 文 献标 志码 ： Ａ
Ｐｅ ｉ ｄ ｃ Ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｏ ｇ ｅ ｄ ｒ Ｎｏ ｉ ｅ ｒ Ｎｅ ｔ ａ ｌ ｙ Ｅｑ ａ ｉ ｎ ｒ ｏ ｉ ｏ ｕ ｉ ｎ ｆ Ｈｉ ｈ ｒ Ｏｒ ｅ ｎｌ ａ ｕ ｒ ｌＤｅ ａ ｕ ｔｏ ｓ ｎ
２１ ０ ２年 ４月
北华大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ ＥＨ Ａ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｎ ｔ ａ Ｓｉｎｅ Ｏ Ｒ Ａ Ｆ Ｂ Ｉ Ｕ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＹ（ ａ ｒｌ ｃ ｃ） ｕ ｅ
Ｖｏ ．１ ． １ ３ Ｎｏ ２ Ａｐｒ ２ ２ ． ０１
０ 引
言
［ （）＋ｃ（ 一丁 ］ ＋ （） （）＋ｇ （ ｒ ） ＝Ｐ（） ｔ ） ‘ ） （ ｔ—ｏ ） ｔ，
ｒ
考虑 ｎ阶非线 性 中立 型泛 函微 分方 程 （） １ 其 中 ： ｏ和 Ｃ ， ｒ 是常数 ， ≥０， ≥ ０ ｆ∈Ｃ（ ， ）ｇ ∈Ｃ ， ）且 对 中任 一有界 区间 Ｅ，（ ｏ ｒ ； ， （ ， ｇ ）在 Ｅ
ｉ）当ｔ 和Ｉ Ｉ ｉ ∈ ≥Ｄ时， （）＞０ ｘ ｘ ｇ ；
ｉ ）当 ｔ∈ 且 ≤ 一Ｄ 时 ， （ ）≥一Ｍ． ｉ ｉ ｇｘ
则当
＋Ｉ ｝ 时， ＜１ 方程（ ） ｃ １ 至少存在一个 周期解．
为 了给 出并 证 明本 文 的主要 结果 ， 我们 需要做 一些 准备 工作．
文 章 编 号 ：０ ９４ ２ （０ ２ ０ －１５０ １０ －８２ ２ １ ）２０ ３ －６
高 阶非 线性 中立型 微 分 方 程 的周 期解
陈新 一
（ 西北 民族大学 中国 民族信息技术研究院 ， 甘肃 兰州 ７０ ３ ） ３ ００
摘要： 利用重合度理论 ， 研究高 阶非线性 中立 型泛 函微分 方程 ［ ｔ （）＋“（ —ｒ ］ ＋ （ ￡ ） （ ） ｇ（ ｔ ｔ ） ／ （） ￡ （ 一
ＣＨ源自文库Ｎ ｎ ｙ Ｘｉ — ｉ
（ ｈｎ ｎ ｎ＆ ｆｒ ａｉ ｅ ｎｌ ｙＩｓ ｔ ｅＮ ｒ ｗ ｓ Ｕ ｉ ｒｔ Ｃ ｉ Ｍｉｏ ｔｓ ｎｏｍ ｔ ｎＴｃ ｏ ｇ ｔｕ ， ｏ ｈ ｅ ｎｖ ｓｙ ａ Ｉ ｏ ｈ ｏ ｎｉｔ ｔ ｔ ｅ ｉ
厂ｒ ａｉ ａｉｅ，ａ ｚｏ ３０ ０ Ｃ ｉ ） ０ Ｎ ｔ ｎｌｉ Ｌ ｎｈ ｕ７０ ３ ， ｎ ｏ ｔｓ ｈａ
收 稿 日期 ：０ ２０ －７ ２ １－１２
作者简介 ： 陈新一（ ９７一）， 教授 ， １５ 男， 主要从事微分方程研究
北华大学学报 （ 自然科 学版 ）
第 １ ３卷
１ 定 理 和 引 理
本文 的主要 结果 如下 ：
定理 １ 如果存 在 正数 Ｄ， 日和 ， 得 使
ｉ ｌ ）ｌ ）／ ≤Ｈ， ∈ ； Ｖ
极 大关注 ， 出现 了一些 好 的研究成 果 ¨ 文献 ［ ，－ ］ 究 了一 阶 中立 型种 群 模 型周期 解 的存 在 性 ； 并 引． ２ ５６ 研 文
献 ［．］ ７８ 利用 Ｆｕｉ 级数理论研究了二阶常系数线性中立型方程周期解的存在性 ； ｏｒ ｒ ｅ 文献 ［ ］ ９ 则利用重合
度 理 论研究 了一 类二 阶非 线性 中立 型泛 函微分 方程 （）＋ｇ （ —ｏ） ｔ （ ｔ ｒ ）＝Ｐ ｔ 周期 解 的存 在性 问题 ． （） 但
设 ＝｛ ∈ｃ（ ， ｌ（ ＋ ） ￡ ）＝ ｝并在Ｘ上定义范数 Ｉ 黔］｛（ ｌ （）， （ ， ） ｌ ： ｛ ， ｆｌ ） Ｉ …， ｌ‘ （ ｆ， ｝ 又设 ＝｛∈ｃ ， ）Ｚ ＋ ’ ） ｚ （ （ ）＝ｚ ） ， （｝ 且在ｚ 上定义范数 ｌ ＝ 黔］ｚｔＩ ， ｌ 。 ｌ ）， （ 则（
上满足 Ｌ ｓ ｉ 条件， ｉｃ ｔ ｐ ｈｚ Ｐ∈Ｃ ， ） （ ＋ ）＝ （） （ ｄ ＝０ （ ， ｔ Ｔ Ｐ ｔ 且Ｉ ｔ ｔ ． Ｐ Ｐ ）
由于 泛 函微 分 方程周 期解 的存 在性 在生态 学 和控制 理论 等 领 域都 有重 要 的应用 ， 经引 起 了人 们 的 已
Ａ ｓ ａｔ Ｔ ｅｏｏ ｉｇｎｎｎａ ｅｔ ｌ ｅ ｙｅｕｔｎ［ （）＋ ｘ ｔ ） ‘ ＋ （ ｔ ｘ（）＋ｇ ｘ ｔ ） ｂｔ ｃ： ｈ ｌｗｎ ｏｌｅｒ ｕｒ ｌ ｑａｉ ｓｘ ｔ ｃ（ 一７ ］” ， （） ｒ ｆｌ ｉ ｎ ａｄ ａ ｏ ’ （（一 ）
ｐ ｔ ｒ ｉ ｕｓｄ ｂ ｓ ｇｔｅｃｉｃｄｎ ｅｄ ｇｅ ｅｒ， ｆｃ ｎ ｃｎ ｉｏ ｒ ｈ ｘｓ ｎｅｏ ｅｉ ｉ （ ）ａｅｄｓ ｓｅ ． ｙｕｉ ｏ ｉｅｃ ｅｒｅｔ ｏｙ ａｓｉ ｉ ｔ ｏ ｄｔ ｎｆ ｅｅｉｅ ｃ ｆ ｒ ｄｃ ｃ ｎ ｈ ｎ ｈ ｕ ｅ ｉ ｏｔ ｔ ｐ ｏ
ｓ ｌ ｔ ｎ ｏ ｈ ｑ ａｉ ｎ ｉ ｇｖ ｎ， ｎ ｈ ｎ ｗｎ ｒ ｓ ｌ ｙ ｅ ｅ ａｉｅ ． ｏ ｕｉ ｆｔ ｅ ｅ ｕ ｔ ｓ ｉ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｋ ｏ ｅ ｕ ｔ ａ ｅ ｇ ｎ ｒ ｌ ｄ ｏ ｏ ｓ ｚ
Ｋｅ ｒ ｓ：ｎｅ ｔａ ｅａ ｑ ａｉｎ； ｏ ｌｎ ａ ； ｅ ｉｄ ｃ ｓ ｌ ｔ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ｕ ｒ ｌｄ ｌｙ ｅ ｕ ｔｏ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｐ ｒｏ ｉ ｏ ｕｉ ｏ
是对于高阶非线性 中立型方程（ ）的周期解 的存在问题 ， １ 还未见有文献报道研究结果． 显然上述文献所述 的这些研 究方 法 已难 于应用 到方程 （ ）上 去 ， 际上 文献 ［ ］所讨论 的方 程 只是 方 程 （ ）的特 例． 文采 １ 实 ９ １ 本
用 类似 文献 ［０ １ ］的方 法 ， 用重 合度 理论 ， 出方程 （ ）存在 周期 解 的充分性 定理 ． 应 给 １
） ｐ ｔ 的周期解 的存在性 ， ）＝ （） 给出了该方程存 在周期解 的充分性定理 ， 推广 了已有 的结果．
关键词 ： 中立型微分方程 ； 非线性 ； 周期解
中 图 分 类 号 ： １５ １ Ｏ ７ ．４ 文 献标 志码 ： Ａ
Ｐｅ ｉ ｄ ｃ Ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｏ ｇ ｅ ｄ ｒ Ｎｏ ｉ ｅ ｒ Ｎｅ ｔ ａ ｌ ｙ Ｅｑ ａ ｉ ｎ ｒ ｏ ｉ ｏ ｕ ｉ ｎ ｆ Ｈｉ ｈ ｒ Ｏｒ ｅ ｎｌ ａ ｕ ｒ ｌＤｅ ａ ｕ ｔｏ ｓ ｎ