非线性时间序列

近代时间序列分析选讲:

一. 非线性时间序列

二. GARCH模型

三. 多元时间序列

四. 协整模型

非线性时间序列

第一章.非线性时间序列浅释

1.从线性到非线性自回归模型

2.线性时间序列定义的多样性第二章. 非线性时间序列模型

1. 概述

2. 非线性自回归模型

3.带条件异方差的自回归模型

4.两种可逆性

5.时间序列与伪随机数

第三章.马尔可夫链与AR模型

1. 马尔可夫链

2. AR模型所确定的马尔可夫链

3. 若干例子

第四章. 统计建模方法

1. 概论

2. 线性性检验

3.AR模型参数估计

4.AR模型阶数估计

第五章. 实例和展望

1. 实例

2.展望

第一章.非线性时间序列浅释

1. 从线性到非线性自回归模型

时间序列{x t}是一串随机变量序列, 它有广泛的实际背景, 特别是在经济与金融领域中尤其显著. 关于它们的从线性与非线性概念, 可从以下的例子入手作一浅释的说明.

考查一阶线性自回归模型---LAR(1):

x t=αx t-1+e t, t=1,2,…(1.1)

其中{e t}为i.i.d.序列，且Ee t=0, Ee t=σ2<∞, 而且e t与{x t-1,x t-1,…}独立. 反复使用(1.1)式的递推关系, 就可得到

x t=αx t-1+e t

= e t + αx t-1

= e t + α{ e t-1 + αx t-2}

= e t + αe t-1 + α2 x t-2

=…

= e t + αe t-1 + α2e t-2

+…+ αn-1e t-n+1 +αn x t-n. (1.2)

如果当n→∞时,

αn x t-n→0, (1.3)

{e t+αe t-1+α2e t-2+…+αn-1e t-n+1}

→∑j=0∞αj e t-j . (1.4)

虽然保证以上的收敛是有条件的, 而且要涉及到具体收敛的含义, 但是, 对以上的简单模型, 不难相信, 当|α|<1时, (1.3)(1.4)式成立. 于是, 当|α|<1时, 模型LAR(1)有平稳解, 且可表达为

x t=∑j=0∞αj e t-j . (1.5)

通过上面叙述可见求LAR(1)模型的解有简便之优点, 此其一. 还有第二点, 容易推广到LAR(p)模型. 为此考查如下的p阶线性自回归模型LAR(p):

x t =α1x t-1+α2x t-2+...+αp x t-p +e t ,

t=1,2,… (1.6)

其中{e t }为i.i.d.序列，且Ee t =0, Ee t =σ2<∞, 而且e t 与{x t-1, x t-1,…}独立.虽然反复使用(1.6)式的递推式, 仍然可得到(1.2)式的类似结果, 但是,用扩张后的一阶多元AR 模型求解时, 可显示出与LAR(1)模型求解的神奇的相似. 为此记

X t =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+--11p t t t x x x , U=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 , A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000121 p

ααα, (1.7)

于是(1.6)式可写成如下的等价形式:

X t=A X t-1+ e t U. (1.8)

反复使用此式的递推关系, 形式上仿照(1.2)式可得

X t=AX t-1+e t U

= e t U+e t-1AU+A2x t-2

=⋯

=e t U+e t-1AU+e t-2A2U+…

+e t-n+1A n-1U+A n x t-n.

如果矩阵A的谱半径(A的特征值的最大模)λ(A), 满足如下条件

λ(A)<1, (1.10)

由上式可猜想到(1.8)式有如下的解:

X t=∑k=0∞A k Ue t-k. (1.11)

其中向量X t的第一分量x t形成的序列{x t}, 就是模型(1.6)式的解. 由此不难看出, 它有

以下表达方式

x t=∑k=0∞ϕk e t-k. (1.11)

其中系数ϕk由(1.6)式中的α1,α2, ... ,αp确定, 细节从略. 不过, (1.11)式给了我们重要启发, 即考虑形如

x t=∑k=0∞ψk e t-k, ∑k=0∞ψk2<∞, (1.12)

的时间序列类(其中系数ψk能保证(1.12)式中的x t有定义). 在文献中, 这样的序列{x t}就被称为线性时间序列.

虽然以上给出了线性时间序列的定义, 以下暂时不讨论什么是非线性时间序列, 代之先讨论一阶非线性自回归模型---NLAR(1), 以便与LAR(1)模型进行比较分析. 首先写出NLAR(1)模型如下

x t=ϕ(x t-1)+e t,t=1,2,…(1.13)

其中{e t}为i.i.d.序列，且Ee t=0, Ee t=σ2<∞, 而

且e t与{x t-1,x t-2,…}独立, 这些假定与LAR(1)模型相同, 但是, ϕ(x t-1)不再是x t-1的线性函数, 代之为非线性函数, 比如

ϕ(x t-1)=x t-1/{a+bx t-12}.

此时虽然仍可反复使用(1.13)式进行迭代, 但是所得结果是

x t=ϕ (x t-1) +e t

= e t+ ϕ (x t-1)

= e t+ ϕ ( e t-1+ ϕ (x t-2))

= e t+ ϕ ( e t-1+ ϕ ( e t-2+ ϕ (x t-3)))

=…

=e t+ϕ ( e t-1+ ϕ ( e t-2+ …+ϕ (x t-n))…).

(1.14)

根据此式, 我们既不能轻易判断ϕ(x t-1)函数满足怎样的条件时, 上式会有极限, 也不能猜测其极限有怎样的形式.

对于p阶非线性自回归模型