高中数学排列组合.ppt
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2.从n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的 一个全排列.这时公式中m n,
即有Ann nn 1n 23 2 1,
注:规定 0! 1,其中 m ≤ n
例题选讲
例1.下列问题中哪些是排列问题？ （1）10名学生中抽2名学生开会 （2）10名学生中选2名做正、副组长
（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 （4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除
到.因此,
所有不同填法的种数就是排列数A
2 n
.
现在我们计算有多少种填法.完成填空这件
事可分为两个步骤:
第1步,填第1个位置的元素,可以从这n个元
素中任选1个,有n种方法;
第2步,填第2个位置的元素,可以从剩下的
n 1个元素中任选1个,有n 1种方法.
根据分步乘法计数原理,2个空位的填法种
数为A
解 1从5本不同的书中选出3本送给3名同
学,对应于从 5个不同元素中任取 3个元素的
一个排列,因此不同送法的种数是
A
3 5
543
60.
2由于有5种不同的书,送给每个同学的1本
书都有5种不同的选购方法,因此送给3名同
学每人各1本书的不同方法种数是
5 5 5 125.
例3中两两个问题的区别在 : 1是从5本
A 39个 百位 十位 个位
0
A 29 个 百位 十位 个位
0
A93 A92 A92 648个.
A 29 个
图2
解法3 从0到9这10个数字中任取3个数字的排
列数为A
3 9
,其中0在在百位上的排列数是A
92,它们
的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的
三位数的个数,即所求的三位数的个数是
A
解 任意两队间进行1次主场比赛与1次 客场比赛,对应于从14 个元素中任取 2 个 元素的一个排列.因此,比赛的总场次是 A124 14 13 182.
例3.1从5本不同的书中选3本送给3名同
学 ,每人各1 本, 共有多少种不同的送法?
2从5种不同的书中买 3本送给3名同学, 每
人各1本, 共有多少种不同的送法?
如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定 是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆 的顺序不同，那么也是不同的排列．
对“n取m的一个排列”的认识：
1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能 重复。
2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一 个问题是否是排列问题的关键。
3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素 完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。
第1位 第2位 第3位
第m位
n种 n 1种 n 2种
n m 1种
填空可分为m个步骤: 第1步,第1位可以从n个元素中任选一个填上,共有
n种选法;
第2步,第2位只能从余下的n 1个元素中任选一 个填上,共有n 1种选法;
第3步,第3位只能从余下的n 2个元素中任选一
个填上,共有n 2种选法;
就是说,n 个不同元素全部取出的排列数, 等 于 正 整 数1 到n的 连 乘 积.正 整 数1到n的 连乘积,叫做n的 阶乘 ,用 n! 表示.所以n 个 不 同 元 素 的 全 排 列 数 公式 可 以 写 成
Ann n!
另外,我们规定0! 1.
事实上,Amn nn 1n 2 n m 1
多少?
A
n3,
A
m n
m
n又
各
是多
少?
根据解问题1.2的经验,求排列数An2可以这样
考虑 :
假定有排好顺序的两个 第1位 第2位
空位 (图1.2 3) ,从n个
元素 a1,a2, ,an 中任意 n种 n 1种
取2个去填空,一个空位
图1.2 3
填一个元素,每一种填法就得到一个排列;反
过来,任一个排列总可以由这样一种填法得
问题2 从1,2,3,4这4个数字中,每次取出3个排成 一个三位数,共可以得到多少个不同的三位数? 显然,从4个数字中,每次取出3个,按"百""十""个" 位 的顺序排成一列,就得到一个三位数.因此有多少种 不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分 三个步骤来解决这个问题 : 第1步,确定百位上的数字,在1,2,3,4这4个数字中任 取1个,有4种方法; 第2步,确定十位上的数字,当百位上的数字确定后, 十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取,有 3 种方法;
2 n
nn 1.
同理,求排列数An3可依次填3个空位来考虑,
有 An3 nn 1n 2.
一般地, 求排列数Anm可以按依次填m个空位 来考虑 : 假定有排好顺序的m个空位 ,从 n个元素 a1, a2 ,, an 中任意取m个去填空,一个空位 填一个元素 ,每一种填法就对应一个排列.
因此, 所有不同填法的种数就是排列数Anm .
解决这一问题可分两个步骤 : 第 1步,确定参加上
午活动的同学,从3人中任选1人,有3种方法;第2步,
确定参加下午活动的同学 ,当参加上午活动的同
学确定后,参加下午活动的同学只能从余下的2人
中去选,于是有2种方法. 根据分步乘法计数原理,
在3名同学中选出2名, 按
上午 下午 相应的排法
乙 甲丙
甲乙 甲丙
1.2 排列与组合
一、 排列与排列数
什么是分类计数原理？ 什么是分步计数原理？ 应用这两个原理时应注意什么问题？
排列
问题1 从甲、乙、丙3 名同学中选出2名参加 一项活动,其中1 名同学参加上午的活动,另1名 同 学 参 加 下 午 的 活 动, 有 多 少 种 不 同 的 选 法?
我们可以这样来分析这个问题 : 从甲、乙、丙 3名同学中选出2 名,按照参加上午的活动在前, 参加下午的活动在后的 顺 序排列 ,求一共有多 少种不同排法.
1
2
3
4
23 4 1 34 1 24 1 23
34 24 23 341413 241412 231312
1
2来自百度文库
同样,问题2可归结为:
23 4 1 34
34 24 23 341413
3
4
1 24 1 2 3
从 4 个不同的元素a,b,c,d 中取出3 个 ,然后按照一定 的顺序排成一列,共有多少 种不同的排列方法?
n
表
示.
A是英文字arrangemen t排列的第一个字母.
上面的问题1,是求从3个不同元素中取出2个元素
的排列数,
记为A
32,已经算得
A
2 3
32
6;
上面的问题2,是求从4个不同元素中取出3个元素
的排列数,
记为A
3 4
,已经算得
A
3 4
432
24.
探究 从n个不同元素中取出2个元素的排列
数A
n2是
照参加上午活动在前, 参 加下 午活动在后的顺序 排列的不同方法共有3 2 6种,如图.
乙甲 丙
丙甲 乙
乙甲 乙丙
丙甲
丙乙
把上面问题中被取的对象叫做元素,
于是问题可叙述为: 从3个不同元素a,b,c中任取2个,然后 按照一定的顺序排成一列,一共有多 少种不同的排列方法?
所有不同的排列是 ab, ac, ba, bc, ca, cb,共有3 2 6种.
（5）20位同学互通一次电话 （6）20位同学互通一封信
（7）以圆上的10个点为端点作弦 （8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作 过另一个点的射线
（9）有10个车站，共需要多少种车票？ （10）有10个车站，共需要多少种不同的票价？
例2.某年全国足球甲级 A组 联赛有14
个队参加, 每队要与其余各队在主、客场 分别比赛一次, 共进行多少场比赛?
3 10
A
2 9
10 9 8
98
648.
对于例4这类计数问题,可用适当的方法把问
题分解,而且思考的角度不同,就可以有不同
的解题方法.解法1根据百位数字不能是0要求,
4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排 列。
5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏， 最好采用“树形图”。
2、排列数
从n个 不 同 元 素 中 取 出mm n个 元 素 的 所 有
不 同 排 列 的 个 数 叫 做 从n个 不 同 元 素 中 取 出m
个
元
素
的排
列数
,
用
符
号A
m
百位 十位 个位
的9个数字中任选2个, 有A92种选法, 如图1
根据分步乘法原理 ,所求的三位数有
A19个 A29个
A91 A92 9 98 648(个). 解法2 如图2所示,符合条件
图1
百位 十位 个位
的三位数可分成3类.每一位数字都
不是0的三位数有A93个, 个位数字是 0的三位数有A92个, 十位数字是0的 三位数有A92个.根据分类加法计数 原理, 符合条件的三位数有
排列数公式.
根据排列数公式,我们就能方便地计算
出从n个不同元素中取出mm n个元
素的所有排列的个数.
例如
A
2 5
5
4,
A
3 8
8 7 6.
你能概括一下排列数公式的特点吗?
n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做
n个元素的一个全排列.这时公式中m n,
即
有A
m n
nn
1n
2 3 2 1,
第3步,确定个位上的数字,当百位、十位上的数
字确定后,个位上的数字只能从余下的 2 个数字
中去取,有 2种方法; 根据分步乘法计数原理, 从1,2,3,4这4个不同的数
字中, 每次取出3个数字, 按"百""十""个"位的顺序
排成一列, 共有 4 3 2 24 种不同的排法,因而
共可得到24个不同的三位数, 如图.
第m步,当前面的m 1个空位都填上后,第m位只
能从余下的n m 1 个元素中任选一个填上,共
有n m 1种选法.
根据分步乘法计数原理,全部填满m个空位共有
nn 1n 2 n m 1种填法.
这样,我们就得到公式
Amn nn 1n 2 n m 1.
这里, n, m N ,并且m n.这个公式叫做
1、排列定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列.
排列的定义中包含两个基本内容： 一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定 顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问 题的重要标志．
根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排 列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．
思考 上述问题1,2 的共同特点是什么?你能将它 们推广到一般情形吗?
一般地,从n个不同的元素中取出m(m n)个元素, 按 照 一 定 顺 序 排 成 一 列,叫 做 从n个 不 同 元 素 中 取
出m个元素的一个排列 (arrangement).
思考 你能归纳一下排列的特征吗?
根据排列的定义,两个排列相同,当且仅当两个排 列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.例 如在问题2中,123与134的元素不完全相同,它们 是 不 同 的 排 列;123与132虽 然 元 素 完 全 相 同, 但 元 素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.
241412 231312
由此可写出所有的三位数 : 123,124,132,134,142,143, 213,214,231,234,241,243, 312,314,321,324,341,342, 412,413,421,423,431,432,
所有不同的排列有 abc,abd,acb,acd,adb,adc, bac,bad,bca,bcd,bda,bdc, cab,cad,cba,cbd,cda,cdb, dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. 共有4 3 2 24种.
不同的书同的书 3本送 3名同学 , 各人得
到的书的书,属于求排列数问题 ;而 2中,
由于不同的人得到的 书可能相同,因此不 符合使用排列数公式的 条件,只能用分 步乘法计数原理进行计 算.
例 4.用0 到 9 这10 个数字, 可以组成多少个没有 重复数字的三位数 ?
分析 在本问题的0到9这10个数字中,因为0不 能排在百位上,而其他数可以排在任意位置上, 因此0是一个特殊的元素.一般的,我们可以从特 殊元素的排列位置入手来考虑问题. 解法1 由于没有重复数字的三位 数中,百位上的 数字不能是 0,因此可分两步完成排列.第1步,百位 上的数字,可以从0到9这九个数字中任选1个,有A19 种选法;第2步,排十位和个位上的数字,可以从余下
nn
1n
2 n n m
m 1n
2 1
m
2
1
n! nm!
A
n n
A nm nm
.
因此,
排列数公式还可以写成
A
m n
n
n!
m!
.
3、排列数公式
Anm n(n 1)(n 2)...(n m 1) n n!m!.
1.排列数公式的特点：第一个因数是n,后面每一个因数 比它前面一个因数少1,最后一个因数是n－m＋1,共有m 个因数．
即有Ann nn 1n 23 2 1,
注:规定 0! 1,其中 m ≤ n
例题选讲
例1.下列问题中哪些是排列问题？ （1）10名学生中抽2名学生开会 （2）10名学生中选2名做正、副组长
（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 （4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除
到.因此,
所有不同填法的种数就是排列数A
2 n
.
现在我们计算有多少种填法.完成填空这件
事可分为两个步骤:
第1步,填第1个位置的元素,可以从这n个元
素中任选1个,有n种方法;
第2步,填第2个位置的元素,可以从剩下的
n 1个元素中任选1个,有n 1种方法.
根据分步乘法计数原理,2个空位的填法种
数为A
解 1从5本不同的书中选出3本送给3名同
学,对应于从 5个不同元素中任取 3个元素的
一个排列,因此不同送法的种数是
A
3 5
543
60.
2由于有5种不同的书,送给每个同学的1本
书都有5种不同的选购方法,因此送给3名同
学每人各1本书的不同方法种数是
5 5 5 125.
例3中两两个问题的区别在 : 1是从5本
A 39个 百位 十位 个位
0
A 29 个 百位 十位 个位
0
A93 A92 A92 648个.
A 29 个
图2
解法3 从0到9这10个数字中任取3个数字的排
列数为A
3 9
,其中0在在百位上的排列数是A
92,它们
的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的
三位数的个数,即所求的三位数的个数是
A
解 任意两队间进行1次主场比赛与1次 客场比赛,对应于从14 个元素中任取 2 个 元素的一个排列.因此,比赛的总场次是 A124 14 13 182.
例3.1从5本不同的书中选3本送给3名同
学 ,每人各1 本, 共有多少种不同的送法?
2从5种不同的书中买 3本送给3名同学, 每
人各1本, 共有多少种不同的送法?
如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定 是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆 的顺序不同，那么也是不同的排列．
对“n取m的一个排列”的认识：
1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能 重复。
2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一 个问题是否是排列问题的关键。
3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素 完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。
第1位 第2位 第3位
第m位
n种 n 1种 n 2种
n m 1种
填空可分为m个步骤: 第1步,第1位可以从n个元素中任选一个填上,共有
n种选法;
第2步,第2位只能从余下的n 1个元素中任选一 个填上,共有n 1种选法;
第3步,第3位只能从余下的n 2个元素中任选一
个填上,共有n 2种选法;
就是说,n 个不同元素全部取出的排列数, 等 于 正 整 数1 到n的 连 乘 积.正 整 数1到n的 连乘积,叫做n的 阶乘 ,用 n! 表示.所以n 个 不 同 元 素 的 全 排 列 数 公式 可 以 写 成
Ann n!
另外,我们规定0! 1.
事实上,Amn nn 1n 2 n m 1
多少?
A
n3,
A
m n
m
n又
各
是多
少?
根据解问题1.2的经验,求排列数An2可以这样
考虑 :
假定有排好顺序的两个 第1位 第2位
空位 (图1.2 3) ,从n个
元素 a1,a2, ,an 中任意 n种 n 1种
取2个去填空,一个空位
图1.2 3
填一个元素,每一种填法就得到一个排列;反
过来,任一个排列总可以由这样一种填法得
问题2 从1,2,3,4这4个数字中,每次取出3个排成 一个三位数,共可以得到多少个不同的三位数? 显然,从4个数字中,每次取出3个,按"百""十""个" 位 的顺序排成一列,就得到一个三位数.因此有多少种 不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分 三个步骤来解决这个问题 : 第1步,确定百位上的数字,在1,2,3,4这4个数字中任 取1个,有4种方法; 第2步,确定十位上的数字,当百位上的数字确定后, 十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取,有 3 种方法;
2 n
nn 1.
同理,求排列数An3可依次填3个空位来考虑,
有 An3 nn 1n 2.
一般地, 求排列数Anm可以按依次填m个空位 来考虑 : 假定有排好顺序的m个空位 ,从 n个元素 a1, a2 ,, an 中任意取m个去填空,一个空位 填一个元素 ,每一种填法就对应一个排列.
因此, 所有不同填法的种数就是排列数Anm .
解决这一问题可分两个步骤 : 第 1步,确定参加上
午活动的同学,从3人中任选1人,有3种方法;第2步,
确定参加下午活动的同学 ,当参加上午活动的同
学确定后,参加下午活动的同学只能从余下的2人
中去选,于是有2种方法. 根据分步乘法计数原理,
在3名同学中选出2名, 按
上午 下午 相应的排法
乙 甲丙
甲乙 甲丙
1.2 排列与组合
一、 排列与排列数
什么是分类计数原理？ 什么是分步计数原理？ 应用这两个原理时应注意什么问题？
排列
问题1 从甲、乙、丙3 名同学中选出2名参加 一项活动,其中1 名同学参加上午的活动,另1名 同 学 参 加 下 午 的 活 动, 有 多 少 种 不 同 的 选 法?
我们可以这样来分析这个问题 : 从甲、乙、丙 3名同学中选出2 名,按照参加上午的活动在前, 参加下午的活动在后的 顺 序排列 ,求一共有多 少种不同排法.
1
2
3
4
23 4 1 34 1 24 1 23
34 24 23 341413 241412 231312
1
2来自百度文库
同样,问题2可归结为:
23 4 1 34
34 24 23 341413
3
4
1 24 1 2 3
从 4 个不同的元素a,b,c,d 中取出3 个 ,然后按照一定 的顺序排成一列,共有多少 种不同的排列方法?
n
表
示.
A是英文字arrangemen t排列的第一个字母.
上面的问题1,是求从3个不同元素中取出2个元素
的排列数,
记为A
32,已经算得
A
2 3
32
6;
上面的问题2,是求从4个不同元素中取出3个元素
的排列数,
记为A
3 4
,已经算得
A
3 4
432
24.
探究 从n个不同元素中取出2个元素的排列
数A
n2是
照参加上午活动在前, 参 加下 午活动在后的顺序 排列的不同方法共有3 2 6种,如图.
乙甲 丙
丙甲 乙
乙甲 乙丙
丙甲
丙乙
把上面问题中被取的对象叫做元素,
于是问题可叙述为: 从3个不同元素a,b,c中任取2个,然后 按照一定的顺序排成一列,一共有多 少种不同的排列方法?
所有不同的排列是 ab, ac, ba, bc, ca, cb,共有3 2 6种.
（5）20位同学互通一次电话 （6）20位同学互通一封信
（7）以圆上的10个点为端点作弦 （8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作 过另一个点的射线
（9）有10个车站，共需要多少种车票？ （10）有10个车站，共需要多少种不同的票价？
例2.某年全国足球甲级 A组 联赛有14
个队参加, 每队要与其余各队在主、客场 分别比赛一次, 共进行多少场比赛?
3 10
A
2 9
10 9 8
98
648.
对于例4这类计数问题,可用适当的方法把问
题分解,而且思考的角度不同,就可以有不同
的解题方法.解法1根据百位数字不能是0要求,
4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排 列。
5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏， 最好采用“树形图”。
2、排列数
从n个 不 同 元 素 中 取 出mm n个 元 素 的 所 有
不 同 排 列 的 个 数 叫 做 从n个 不 同 元 素 中 取 出m
个
元
素
的排
列数
,
用
符
号A
m
百位 十位 个位
的9个数字中任选2个, 有A92种选法, 如图1
根据分步乘法原理 ,所求的三位数有
A19个 A29个
A91 A92 9 98 648(个). 解法2 如图2所示,符合条件
图1
百位 十位 个位
的三位数可分成3类.每一位数字都
不是0的三位数有A93个, 个位数字是 0的三位数有A92个, 十位数字是0的 三位数有A92个.根据分类加法计数 原理, 符合条件的三位数有
排列数公式.
根据排列数公式,我们就能方便地计算
出从n个不同元素中取出mm n个元
素的所有排列的个数.
例如
A
2 5
5
4,
A
3 8
8 7 6.
你能概括一下排列数公式的特点吗?
n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做
n个元素的一个全排列.这时公式中m n,
即
有A
m n
nn
1n
2 3 2 1,
第3步,确定个位上的数字,当百位、十位上的数
字确定后,个位上的数字只能从余下的 2 个数字
中去取,有 2种方法; 根据分步乘法计数原理, 从1,2,3,4这4个不同的数
字中, 每次取出3个数字, 按"百""十""个"位的顺序
排成一列, 共有 4 3 2 24 种不同的排法,因而
共可得到24个不同的三位数, 如图.
第m步,当前面的m 1个空位都填上后,第m位只
能从余下的n m 1 个元素中任选一个填上,共
有n m 1种选法.
根据分步乘法计数原理,全部填满m个空位共有
nn 1n 2 n m 1种填法.
这样,我们就得到公式
Amn nn 1n 2 n m 1.
这里, n, m N ,并且m n.这个公式叫做
1、排列定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列.
排列的定义中包含两个基本内容： 一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定 顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问 题的重要标志．
根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排 列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．
思考 上述问题1,2 的共同特点是什么?你能将它 们推广到一般情形吗?
一般地,从n个不同的元素中取出m(m n)个元素, 按 照 一 定 顺 序 排 成 一 列,叫 做 从n个 不 同 元 素 中 取
出m个元素的一个排列 (arrangement).
思考 你能归纳一下排列的特征吗?
根据排列的定义,两个排列相同,当且仅当两个排 列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.例 如在问题2中,123与134的元素不完全相同,它们 是 不 同 的 排 列;123与132虽 然 元 素 完 全 相 同, 但 元 素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.
241412 231312
由此可写出所有的三位数 : 123,124,132,134,142,143, 213,214,231,234,241,243, 312,314,321,324,341,342, 412,413,421,423,431,432,
所有不同的排列有 abc,abd,acb,acd,adb,adc, bac,bad,bca,bcd,bda,bdc, cab,cad,cba,cbd,cda,cdb, dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. 共有4 3 2 24种.
不同的书同的书 3本送 3名同学 , 各人得
到的书的书,属于求排列数问题 ;而 2中,
由于不同的人得到的 书可能相同,因此不 符合使用排列数公式的 条件,只能用分 步乘法计数原理进行计 算.
例 4.用0 到 9 这10 个数字, 可以组成多少个没有 重复数字的三位数 ?
分析 在本问题的0到9这10个数字中,因为0不 能排在百位上,而其他数可以排在任意位置上, 因此0是一个特殊的元素.一般的,我们可以从特 殊元素的排列位置入手来考虑问题. 解法1 由于没有重复数字的三位 数中,百位上的 数字不能是 0,因此可分两步完成排列.第1步,百位 上的数字,可以从0到9这九个数字中任选1个,有A19 种选法;第2步,排十位和个位上的数字,可以从余下
nn
1n
2 n n m
m 1n
2 1
m
2
1
n! nm!
A
n n
A nm nm
.
因此,
排列数公式还可以写成
A
m n
n
n!
m!
.
3、排列数公式
Anm n(n 1)(n 2)...(n m 1) n n!m!.
1.排列数公式的特点：第一个因数是n,后面每一个因数 比它前面一个因数少1,最后一个因数是n－m＋1,共有m 个因数．