高等数学：第三节 函数的极限

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例5 证明 lim x2 1 2. x1 x 1
证 函数在点x=1处没有定义.
f (x) A x2 1 2 x 1 ,
x1 任给 0, 要使 f ( x) A , 只要取 ,
则当0 x 1 时,就有
x2 1 2 ,
x1
x2 1
lim
2.
x1 x 1
类比数列极限的定义，可用如下的数学语言刻画 “自变量无限增大”、 “函数无限接近于A”: x X 表示x 的过程;
f ( x) A 表示 f ( x) A 可任意小.
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定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总
存在着正数 X ,使得当 x X 时,有
f (x) A ,
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例6
证明 lim
x2
1 .
x2 x2 4 4
条件放大法
证 因为x 2，故不妨假设 x 2 1,即1 x 3,
x2 1 1 x2 1 x2 x2
x2 4 4 4 x 2 4 1 2 12
第三节 函数的极限
一、自变量趋向无穷时函数的极限 二、自变量趋向有限值时函数的极限 三、函数极限的性质 四、小结、思考题、作业
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数列极限：un f (n), n N un a : n 时，f (n) a 函数极限：y f ( x) y A :自变量x的某个变化过程中时，
相应函数值f ( x)无限接近于A 自变量无限变化方式的差异：
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20. x 情形 : lim f ( x) A x
定义 2 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总
存在着正数 X ,使得当 x X 时,有
f (x) A ,
那么常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作
lim f ( x) A 或
x
f ( x) A(当x ) .
那么常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作
lim f ( x) A 或
x
f ( x) A(当x ) .
" X "定义
lim f ( x) A
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
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例1.验证：lim x2 1 1. x x＋
总存在正数 ,使得当0 x x0 时,都有 f (x) A ,
那么常数 A就叫函数 f ( x)当 x x0时的极限,记作
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A(当x x0 ).
" "定义 0, 0,使当0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
4x2 1
3
| f ( x) A | 2x2 1 2 2x2 1 ,
要使 |
f (x)
A
|
,
只需
2
x
3 2
1
,即|
x |
( 3 1) / 2
取
X
max
1, 2
(3
1)
/
2
,则当
|
x
|
X时恒有
4x2 2x2
1 1
2
.
4x2 1
lim
x
2
x2
1
2.
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二、自变量趋向有限值时函数的极限
问题:函数 y f (x)在x x0 的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
0 x x0 表示x x0的过程.
x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
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定义 4 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),
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例3 证明 lim sin x 0. x x
证
0,
sin x x
0
sin x x
1 x
要使
sin x x
0
,
只需要
1 x
,即 x
1
取 X 1 , 则当 x X时恒有
sin x 0 , x
故
lim sin x 0.
x x
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几
y sin x
x
何
A
.
解
释
X
X
x
当x X或x X时,函数y f ( x)图形完全落在以
(1)
，只需
1 x2
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故x2 1 ,
x 1
x0
取 X 1,
则当 x X时恒有
x2 1 (1) .
x
x2 1
lim
1.
x x
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练习：用定义证明
lim arctan x ，
x
2
lim arctan x - .
x-
2
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30. x 情形 : lim f ( x) A x
直线y A为中心线,宽为2的带形区域内.
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注：lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
是由例1、例2可知：
lim x2 1 不存在! x x
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例4
证明
:
lim
x
4x2 2x2
1 1
2.
证 0, 不妨设x2 1 ,
2
定义 3 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总
存在着正数 X ,使得当 x X 时,有
f (x) A , 那么常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作
lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x ).
x
" X "定义
ห้องสมุดไป่ตู้
lim f ( x) A
x
0, X 0,使当 x X时, 恒有 f ( x) A .
数列：只有一种，n (实际为 n ! )
函数：多种，主要讨论以下几种:
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10、x ：表示x 0且x无限增大；
20、x
：表示x
0且x无限减小；
lim
f
(x)
A
30、x ：表示|x | 无限增大；
4、x x0：x无限接近某有限值x0.
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一、自变量趋向无穷时函数的极限
10、x 情形 : lim f ( x) A x
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注：
1. 函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关;
2. 与任意给定的正数 有关.
3.几何解释:
当x在x0的去心邻 域时,函数y f ( x) 图形完全落在以直
y
A
A
A
线y A为中心线,
宽为2的带形区域内. o
y f (x)
x0 x0 x0
x
显然,找到一个后, 越小越好.
" X "定义
lim f ( x) A
x
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
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例2. 证明 lim x2 1 1.
x
x
证 0, 因x ，故不妨设x 0,
x2 1 (1) x
x2 1 1
x
x(
1
x2 1 x)
1 x
x
1 x2
要使
x2 1 x