反证法有关

反证法是一类常用的间接证法，特别适用于否定性、存在性、唯一性问题。

应该说“反证法是一个积极的、主动的证明大法”。

（注Ⅰ）
然而，对于反证法的理论依据，人们在认识上并不一致。

现摘抄最近出版的几份教辅资料，便可知分岐之所在。

1．人民教育出版社、延边教育出版社联合出版的《全日制普通高中（人教版）教案系列丛书•数学第一册上教案》第55页第19行写到：反证法证题的理论依据：原命题与其逆否命题同真假，即要证“若P则q”为真，可证“若┐q则P”为假，从而“若┐q则┐P”为真（真值表），所以“若P则q”为真。

为了方便，我们暂且将该书的观点称为“原命题与其逆否命题同真假”说，简称为“同真假说”。

2．陕西师范大学出版社出版的《人教社新教材同步学案•黄冈兵法•高一数学上》第69页第5行写到：反证法是证明命题的一种间接方法，因为“若P则q”的否定形式是“若P则非q”，由真值表可知，若证得“若P则非q”是假命题，则“若P则q”必为真命题。

它与证明原命题的逆否命题有着极大的区别，它的使用具体体现了数学解题中“正难则反”的辩证思想，因此除掌握好使用反证法的步骤外，还要注意掌握使用反证法的时机。

显然，该书不同意“同真假说”，而认为反证法的理论依据是证原命题的否定为假。

我们暂且将该书的观点称为“原命题的否定为假，必有原命题为真”说，简称为“命题否定说”。

3．苏州大学出版社出版的《高一数学教学与测试（学生用书）》第24页倒数第2行写到：用反证法证明“若P则q”为真的方法是证明它的否定“若P且非q” 为假，因此从“非q”出发引出矛盾是反证法的特征。

很明显，该书的观点应属于“命题否定说”，但与黄冈兵法的叙述稍有不同。

“同真假说”与“命题否定说”，针锋相对，孰对孰错呢？是不全对还是全不对呢？这正是本文所要辩析的问题。

问题的辩析
高一数学（人教版）第32页对反证法证明命题的三个步骤明示得十分清楚，大家在这方面无任何异意。

为简便起见，不妨将三个步骤分别称为“反设”、“归谬”、及“结论”。

“归谬”部分既是反证法的核心，也是其精神实质的具体体现。

反证法的理论依据之所以认识不尽一致，恐怕也源于此。

为明辨是非，我们有必要逐层剖析。

1．“归谬”的“出发点”是什么？是单独的“┐q”，还是“┐q且P”？笔者认为，一般情况是“┐q 且P”，特殊情况下，才不用P而仅用“┐q”。

先看下例：
题1、已知a、b、c是一组勾股数，求证a、b、c不能都是奇数。

证明：旁白：
假设a、b、c都是奇数，“反设”（┐q）
则a2，b2，c2 都是奇数，依据“┐q”推理
由题设得a2+b2 = c2 用到了条件p
∴a2+b2 = c2 为偶数依据“┐q且P”推理
这与c2是奇数矛盾推出矛盾
故原命题成立得出结论
此题说明，在一般情况下，“归谬”的“出发点”是“┐q且P”
题2、高一数学教材（人教版）第32页例3，用反证法证明：如果a> b >0, 那么√a >√b [分析]此题应改为:当：a > 0, b> 0 时，若a > b ，则√a >√b 。

这样改动是将原命题仿本页的例2改成，“当a > 0, b> 0 时”是大前提，“若a > b”是条件P ，“则√a >√b ”是结论q
证明：旁白：
假设√a不大于√b “反设”
即或√a <√b ，或√a =√b 得“┐q”
∵a > 0 , b > 0 照用大前提,未用条件P
∴√a <√b = √a ·√a<√b·√a
与√a·√b<√b·√b = a< b 依据“┐q”推理
√a =√b = a= b
这与已知条件a > b矛盾归谬于“a≤b”与“a > b”矛盾
∴√a >√b 得出结论
此题说明,在特殊情况下,归谬的“出发点”仅是“┐q”。

2．“归谬”的“落脚点”是什么？众所周知，“归谬”中的推理必须是严谨无误的，推理的“落脚点”是推出矛盾。

其中又按“归谬”的“出发点”不同，归谬的“落脚点”也不尽相同：凡是以“┐q且P”为“出发点”者，往往落脚到与公理、定理、推论、性质相矛盾，或出现“自相矛盾”的情况，而不会出现与已知条件相矛盾（如上述题1）；凡是仅以“┐q”为“出发点”者，大都会落脚到与已知条件相矛盾（如上述题2）。

3.“命题否定说”，错在哪里？如前所述，“命题否定说”的核心是：“如果能证得‘若p则非q’是假命题，那么‘若p则q’必为真命题”。

应该肯定，这个核心本身就是一个命题，而且是一个不容争论的真命题。

然而，这个核心命题的“条件”——“如果能证得‘若p则非q’是假命题”——如何实现呢？“命题否定说”并未指明。

事实上，反证法的“归谬”部分，与实现核心命题的“条件”，毫无共同之处；一是出发点不同。

反证法以“┐q且p”或“┐q”为出发点，而实现核心命题的“条件”，必须从“p”出发。

二是落脚点不同。

反证法以“推出矛盾”为落脚点，而实现核心命题的“条件”，必须以“推不出┐q”为落脚点。

显然，核心命题的“条件”无法实现时，其“结论”——“那么‘若p则q’必为真命题”——也就成为“空中楼阁”了。

4．“同真假说”不全对在何处？“同真假说”的核心是“要证明‘若p则q’为真，可证‘若┐q则p’为假，从而‘若┐q则┐p’为真”，显然，这段论述也是正确的，而且能够实现的。

然而，实现上述论述仅限于“┐q”为“出发点”，即从“┐q”出发，推出与p相矛盾的“┐p”。

而多数反证法，都是以“┐q且p”为出发点，落脚到推出的r与┐r相矛盾。

因此，“同真假说”不全对。

问题的结论
通过上述的辩析，笔者认为，反证法的理论依据，既不是“命题否定说”也不全是“同真假说”，而应该是“否定——推理——否定”的间接肯定公式。

说得具体点，就是“先否定命题的结论而肯定其条件，以此为前提进行严密推理，推出矛盾后达到新的否定，从而实现间接的肯定”。

以“间接肯定公式”为理论依据的反证法，其核心部分——“归谬”的前提条件一般是“┐q且p”，从此出发进行正确推理，推得r与┐r矛盾。

特别地，当r=p时，推得与已知条件矛盾，转化为证原命题的逆否命题成立。

[注Ⅰ]罗增儒主编的《高中数学竞赛辅导》（陕西师范大学出版社出版，p31.）
反证法
[教学目的]
使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题.
[教学过程]
一、引入
古希腊哲学家是怎样觉察到自己的脸给涂黑了的？
答：为了方便，用甲、乙、丙分别代表三个科学家，并不妨设甲已发觉自己的脸给涂黑了.那么甲这样想：“我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑，如果我的脸没被涂黑，那么乙能看到（当然对于丙也是一样），乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认为他的脸也没给涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪.因为在这种情况下（甲、
乙的脸都是干净的），丙是没有可笑的理由了.然而现在的事实是乙对丙的发笑并不感到奇怪，可见乙是在认为丙在笑我.由此可知，我的脸也给涂黑了.
这里应着重指出的是，甲并没有直接看到自己的脸是否给涂黑了，他是根据乙、丙两人的表情进行分析、思考，而说明了自己的脸给涂黑了.简单地说，甲是通过说明脸被涂黑了的反面—没被涂黑是错误的，从而觉察了自己的脸被涂黑了.因此这是一种间接的证明方法.显然这种证明方法也是不可缺少的.
像这样，为了说明某一个结论是正确的，但不从正面直接说明，而是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的方法，就叫做“反证法“.
我们证明数学命题，一般多用直接证法[就是直接从命题的题设(已知部分)出发，经过推理，推出命题的结论（求证部分）正确] .但有时用直接证法不易实现，则可采用间接证法，如反证法就是其中的一种，下面我们把上述问题变成数学上的叙述.
二、学习、讲解新课
⒈什么是反证法？
要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的. 即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法.
例如，在上述例子中，要证明的结论是“甲的脸也给涂黑了”.在证明这个结论时，是先提出与结论相反的假设：“甲的脸没被涂黑”，然后根据乙对丙的笑不感到奇怪这个事实（本来由“甲的脸没被涂黑”应推出“乙对丙的笑应感到奇怪”），推导出这个与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论成立.
关于反证法，实际上我们在初中学习平行线时，就早已遇到过了.
我们知道，在同一个平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种.我们学过了平行公理：“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”.下面我们用反证法来证明它的一个推论：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.
已知：如图，AB∥EF，CD∥EF，求证：AB∥CD.
证明：假设AB不平行于CD，则AB与
CD就要交于一点，设交点为P.∵AB∥EF，
CD∥EF，于是经过点P就将有两条直线AB
和CD都与EF平行，根据平行公理，这是不可能的.∴AB与CD
不能相交，只能平行.
以上例子说明，无论是在日常生活中还是在数学中，都经常应用反证法.而且在某些情形下它还是一种比较简捷的证明方法.
⒉反证法的主要步骤
仔细分析上述问题不难看出，运用反证法时，其主要步骤可以概括为：否定—推理—否定—肯定，四个步骤，即
⑴否定结论—假设命题的结论不对，即肯定结论的反面成立；
⑵推出矛盾—由结论的反面（称为“暂时假设”）出发，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾；
⑶否定假设—由正确推理导出了矛盾，说明“暂时假设”不对；
为什么根据这个矛盾就可以断定原来的假设错了呢？因为在人们的思维中，有这样一个规律：在同一时间内，对于同一个对象的两个相互矛盾的思想，不可能都是对的，无论如何至少有一种是错误的.如一个说今天是星期一，另一个说今天是星期二，显然这两个说法不可能都对，至少有一个说法是错误的，因为对同一天来说不可能又是星期
一，又是星期二.这个规律在逻辑学中叫做矛盾律.
⑷肯定结论—由于否定结论是不对的，于是肯定结论成立.
为什么由否定结论是不对的，便可肯定结论成立呢？这是因为在人们的思维过程中，还要遵守这样一个规律：如果一种思想肯定某种东西，而另一种思想却断然否定这同一种东西，那么在这两种思想中必然有一种是正确的，而另一种是错误的，即若肯定是对的，那么否定就是错误的；若否定是正确的，那么肯定就是错误的.在这肯定与否定之间不会再有第三种解决的办法.如关于同一个时间，一个说现在是12点正，另一个说不，不是12点正，那么或者第一种说法是对的，或者第二种说法是对的；又如，这张纸是白的，不，这张纸不是白的，那么或者纸是白的对，或者纸不是白的对，不可能有第三种解答.这个规律在逻辑学中叫做排中律.
在上述四步中，关键是第二步，即“由‘暂时假设’推出矛盾”，怎样导出矛盾？通常有以下几种情况：
①推出与定义、公理、定理相矛盾的结论；
②推出与已知条件相矛盾的结论；
③推出与“暂时假设”相矛盾的结论；
④在证明过程中，推出自相矛盾的结论.
⒊例题巩固，反馈矫正
a>.
例1（P32例3）用反证法证明：如果a>b>0，那么b
证明：假设a不大于b，则或者a<b,或者a=b.∵a>0，b>0，∴a<b ⇒a a<b a与a b<b b⇒ab
a<与b
ab<⇒a<b；a=b⇒a=b.
a>.
这些都同已知条件a>b>0矛盾，∴b
例2（P32例4）用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，
且AB、CD不是直径.
求证：弦AB、CD不被P平分.
分析：假设弦AB、CD被P平分，连结OP后，可推出AB、CD
都与OP垂直，则出现矛盾.
证明：假设弦AB、CD被P平分，由于P点一定不是圆心O，
连结OP，根据垂径定理的推论，有OP⊥AB，OP⊥CD，即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾. ∴弦AB、CD不被P平分.
练习：课本P33练习：1，2.
提示：1.设b2-4ac≤0，则方程没有实数根，或方程有两个相等的实数根，得出矛盾.
2.设∠B≥900，则∠C+∠B≥1800，得出矛盾.
三、小结
本节主要学习了反证法的基本原理及其四个步骤.它的四个步骤实则是两大阶段，前三步是第一阶段，它是以矛盾律为依据，采用了一种特殊方法—先假设论题A的反面为真，然后进行推理，推出一个与已知的事实相矛盾的结果，从而说明A的反面是谬误的；于是进入第二阶段，它是根据排中律说明，既然A的反面是谬误的，那么论题A就一定是正确的，至此，论题得证.
四、布置作业
(一)复习：课本内容，熟悉巩固反证法的原理和步骤.
(二)书面：课本P33-34习题1.7：5.
补充题：⒈若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.
⒉试证：一个命题与它的逆否命题是等价的.
提示：5.已知∆ABC中，AB≠AC，设∠B=∠C，则AB=AC，得出矛盾.
补充题：⒈假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可令a=2m+1(m为整数),由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,此结果表明a2是奇数，这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾,∴a能被2整除.
⒉分析：所谓一个命题与它的逆否命题是等价的，是说这两个命题同真、同假.即有一个为真，二者都真；有一个为假，二者都假.因此，这个题要分以下四种情况来证明.
①已知：命题“若有A，则有B”为真.
求证：它的逆否命题“若无B，则无A”也真.
证明：假设“若无B，则无A”是假的，那么，‘若无B，则有A’就是真的，又已知‘若有A，则有B’，∴得‘若无B，则有A，若有A，则又有B’，即若无B，则又有
B.这是一个同时无B又有B的自相矛盾的结果，∴命题“若无B，则无A”也真的.
②同理可证：如果“若无B，则无A”为真，那么“若有A，则有B”也真.（请自己完成）
③已知：命题“若有A，则有B”为假.
求证：它的逆否命题“若无B，则无A”也假.
证明：假设“若无B，则无A”是真的，那么，由②知‘若有A，则有B’也是真的，这个结果与已知条件“若有A，则有B”为假相矛盾，∴命题“若无B，则无A”是假的.
④同理可证：如果“若无B，则无A”为假，那么“若有A，则有B”也假.
综上所述，此题证毕.
(三)思考题：求证：世界上至少有两个人的头发根数相等.
答：这一命题若用直接证法，就应该把全世界许多人的头发数一数，然后进行比较，当然这是很难做到的.于是我们考虑用反证法.
假设世界上任何两个人的头发根数都不相等，那么我们可以按照头发根数将人编号：秃顶的编为0号，一根头发的编为1号，两根头发的编为2号，“三毛”编为3号……由于全世界的人口已超过50亿，所以一定有人的编号大于50亿，假定中国的李四就是其中的一个人.但根据常识，人的头皮（能长头发的部位）的面积小于103cm2，并且每平方厘米的头发根数都小于103⨯103=106，即任何人的编号都应小于106，而106这个数远远小于50亿，这就与李四的编号大于50亿矛盾，所以“世界上至少有两个人的头发根数相等”成立.
(四)预习：课本1.8.
日常生活中使用反证法的例子：甲说：“刚才没有下大雨.”乙说：“何以见得？”甲说：“如果下过大雨，地上就要很湿，现在你看地上并不湿，可见刚才没有下过大雨.”这个例子中，要证明的结论是“刚才没有下过大雨”.在证明这个结论时，是先提出与结论相反的假设：“如果刚才下过大雨”，然后根据地上不湿的实际情况，推导出这个与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论成立.。