反证法有关

反证法是一类常用的间接证法，特别适用于否定性、存在性、唯一性问题。应该说“反证法是一个积极的、主动的证明大法”。（注Ⅰ）

然而，对于反证法的理论依据，人们在认识上并不一致。现摘抄最近出版的几份教辅资料，便可知分岐之所在。

1．人民教育出版社、延边教育出版社联合出版的《全日制普通高中（人教版）教案系列丛书•数学第一册上教案》第55页第19行写到：反证法证题的理论依据：原命题与其逆否命题同真假，即要证“若P则q”为真，可证“若┐q则P”为假，从而“若┐q则┐P”为真（真值表），所以“若P则q”为真。为了方便，我们暂且将该书的观点称为“原命题与其逆否命题同真假”说，简称为“同真假说”。

2．陕西师范大学出版社出版的《人教社新教材同步学案•黄冈兵法•高一数学上》第69页第5行写到：反证法是证明命题的一种间接方法，因为“若P则q”的否定形式是“若P则非q”，由真值表可知，若证得“若P则非q”是假命题，则“若P则q”必为真命题。它与证明原命题的逆否命题有着极大的区别，它的使用具体体现了数学解题中“正难则反”的辩证思想，因此除掌握好使用反证法的步骤外，还要注意掌握使用反证法的时机。显然，该书不同意“同真假说”，而认为反证法的理论依据是证原命题的否定为假。我们暂且将该书的观点称为“原命题的否定为假，必有原命题为真”说，简称为“命题否定说”。

3．苏州大学出版社出版的《高一数学教学与测试（学生用书）》第24页倒数第2行写到：用反证法证明“若P则q”为真的方法是证明它的否定“若P且非q” 为假，因此从“非q”出发引出矛盾是反证法的特征。很明显，该书的观点应属于“命题否定说”，但与黄冈兵法的叙述稍有不同。

“同真假说”与“命题否定说”，针锋相对，孰对孰错呢？是不全对还是全不对呢？这正是本文所要辩析的问题。

问题的辩析

高一数学（人教版）第32页对反证法证明命题的三个步骤明示得十分清楚，大家在这方面无任何异意。为简便起见，不妨将三个步骤分别称为“反设”、“归谬”、及“结论”。“归谬”部分既是反证法的核心，也是其精神实质的具体体现。反证法的理论依据之所以认识不尽一致，恐怕也源于此。为明辨是非，我们有必要逐层剖析。

1．“归谬”的“出发点”是什么？是单独的“┐q”，还是“┐q且P”？笔者认为，一般情况是“┐q 且P”，特殊情况下，才不用P而仅用“┐q”。先看下例：

题1、已知a、b、c是一组勾股数，求证a、b、c不能都是奇数。

证明：旁白：

假设a、b、c都是奇数，“反设”（┐q）

则a2，b2，c2 都是奇数，依据“┐q”推理

由题设得a2+b2 = c2 用到了条件p

∴a2+b2 = c2 为偶数依据“┐q且P”推理

这与c2是奇数矛盾推出矛盾

故原命题成立得出结论

此题说明，在一般情况下，“归谬”的“出发点”是“┐q且P”

题2、高一数学教材（人教版）第32页例3，用反证法证明：如果a> b >0, 那么√a >√b [分析]此题应改为:当：a > 0, b> 0 时，若a > b ，则√a >√b 。这样改动是将原命题仿本页的例2改成，“当a > 0, b> 0 时”是大前提，“若a > b”是条件P ，“则√a >√b ”是结论q

证明：旁白：

假设√a不大于√b “反设”

即或√a <√b ，或√a =√b 得“┐q”

∵a > 0 , b > 0 照用大前提,未用条件P

∴√a <√b = √a ·√a<√b·√a

与√a·√b<√b·√b = a< b 依据“┐q”推理

√a =√b = a= b

这与已知条件a > b矛盾归谬于“a≤b”与“a > b”矛盾

∴√a >√b 得出结论

此题说明,在特殊情况下,归谬的“出发点”仅是“┐q”。

2．“归谬”的“落脚点”是什么？众所周知，“归谬”中的推理必须是严谨无误的，推理的“落脚点”是推出矛盾。其中又按“归谬”的“出发点”不同，归谬的“落脚点”也不尽相同：凡是以“┐q且P”为“出发点”者，往往落脚到与公理、定理、推论、性质相矛盾，或出现“自相矛盾”的情况，而不会出现与已知条件相矛盾（如上述题1）；凡是仅以“┐q”为“出发点”者，大都会落脚到与已知条件相矛盾（如上述题2）。

3.“命题否定说”，错在哪里？如前所述，“命题否定说”的核心是：“如果能证得‘若p则非q’是假命题，那么‘若p则q’必为真命题”。应该肯定，这个核心本身就是一个命题，而且是一个不容争论的真命题。然而，这个核心命题的“条件”——“如果能证得‘若p则非q’是假命题”——如何实现呢？“命题否定说”并未指明。事实上，反证法的“归谬”部分，与实现核心命题的“条件”，毫无共同之处；一是出发点不同。反证法以“┐q且p”或“┐q”为出发点，而实现核心命题的“条件”，必须从“p”出发。二是落脚点不同。反证法以“推出矛盾”为落脚点，而实现核心命题的“条件”，必须以“推不出┐q”为落脚点。显然，核心命题的“条件”无法实现时，其“结论”——“那么‘若p则q’必为真命题”——也就成为“空中楼阁”了。

4．“同真假说”不全对在何处？“同真假说”的核心是“要证明‘若p则q’为真，可证‘若┐q则p’为假，从而‘若┐q则┐p’为真”，显然，这段论述也是正确的，而且能够实现的。然而，实现上述论述仅限于“┐q”为“出发点”，即从“┐q”出发，推出与p相矛盾的“┐p”。而多数反证法，都是以“┐q且p”为出发点，落脚到推出的r与┐r相矛盾。因此，“同真假说”不全对。问题的结论

通过上述的辩析，笔者认为，反证法的理论依据，既不是“命题否定说”也不全是“同真假说”，而应该是“否定——推理——否定”的间接肯定公式。说得具体点，就是“先否定命题的结论而肯定其条件，以此为前提进行严密推理，推出矛盾后达到新的否定，从而实现间接的肯定”。以“间接肯定公式”为理论依据的反证法，其核心部分——“归谬”的前提条件一般是“┐q且p”，从此出发进行正确推理，推得r与┐r矛盾。特别地，当r=p时，推得与已知条件矛盾，转化为证原命题的逆否命题成立。

[注Ⅰ]罗增儒主编的《高中数学竞赛辅导》（陕西师范大学出版社出版，p31.）

反证法

[教学目的]

使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题.

[教学过程]

一、引入

古希腊哲学家是怎样觉察到自己的脸给涂黑了的？

答：为了方便，用甲、乙、丙分别代表三个科学家，并不妨设甲已发觉自己的脸给涂黑了.那么甲这样想：“我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑，如果我的脸没被涂黑，那么乙能看到（当然对于丙也是一样），乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认为他的脸也没给涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪.因为在这种情况下（甲、