数学概念的教学

第一节 数学概念教学概述

概念的逻辑学基础

1.1数学概念教学的一般要求

由前面的分析可知，数学概念的学习，在多数情况下是在原有认识结构的基础上进行的，也是在数学概念本身的逻辑联系中进行的。因此，对数学概念的教学，特别是对一些重要的数学概念的教学，必须从掌握体系的总体出发。具体达到如下一般要求：

一、使学生认识概念的由来和发展

在数学教学中，应该使学生了解，任何一个数学概念都是某类具体的数学对象的本质属性经过抽象、概括的结果，任何被定义的对象都是客观存在的。还应该使学生认识到，对于某些数学概念来说，是分几个阶段逐步学习的。在一定的学习阶段里，有确定的含义，随着知识的扩充和加深，这些概念也随之不断发展与深化。例如，函数概念、绝对值概念、幂的概念等等，都是如此。

二、使学生掌握概念的内涵、外延及其表达形式

所谓明确概念，主要是明确概念的内涵与外延。学生的数学作业中的许多错误，都是因为概念不明而产生的。例如，由于算术根的概念不明确，在化简93412++x x 会得出32

1+x 的错误结果。学生前面的概念没有弄清楚，对学习后面的知识将会遇到困难。概念不明，学生能力的形成也将严重受阻。因此，在数学教学中，必须使学生对每一个概念都有明确的认识，包括掌握概念的定义、名称、符号等。

原始概念的教学也不容忽视。应该通过实际事例或直接经验让学生把握它们的意义；应该使学生懂得，原始概念是一切其他概念定义的出发点。

三、使学生了解有关概念之间的关系，会对概念进行分类，从而形成一定的概念体系 例如，几何中有关角的概念体系，特殊四边形的概念体系；代数中数的概念体系，方程和不等式的概念体系；概率统计中的概念体系等等，都应该使学生在一定的学习阶段之后分别形成并掌握。

四、使学生能正确运用概念

运用概念是学习概念的主要目的。在运用概念过程中，又可以使生对概念得到更全面、更深刻的理解，从而有利于更牢固地掌握概念。

因此，在数学概念教学中，要经常注意引导学生运用概念去确定数学对象的属性，判断

某一数学对象是否属于某个概念的外延以及运用数学概念去解决各种数学问题。

1.2数学概念的教学途径

一、概念的引入

引入新概念的过程，包括了解该概念的必要性和合理性；初步揭示它的内涵和外延；给概念下定义等过程。教师的主要任务是设法帮助学生完成由感性认识到理性认识的过渡，或者是帮助学生将新材料与原有认知结构发生实质性的联系。

当然，并不是所有数学概念的引入都必须全面经历上面提到的过程，而是各有侧重。对于一些较简单的数学概念，引入的过程也可以是十分简单的。例如，在学习“方程”概念体系中，当给出了“方程”的定义以后，就可以直接给出“方程的解”和“解方程”的定义，不必多费周折。但是，对于一些比较抽象而又十分重要的数学概念，则必须十分重视引入过程。一般来说，有下面几种引入概念的方法：

⑴.以感性材料为基础引入新概念。用来引入数学概念的感性材料是丰富的，可以是学生在日常生活中所接触到的事物，也可以是教材中的实际问题以及模型、图表、图形等等。教学中，教师列举出这些足以反映某一数学概念本质属性的实际材料，引导学生进行观察、分析，抽象出它们在形或数方面的共同性质，在此基础上舍去其非本质属性，突出其本质属性，引入新概念。这种教学方法，由于提供了感性材料，不仅有利于学生接受新概念，概念的存在性也会很自然地被学生所认识。在立体几何教学中，关于空间元素之间的位置关系的许多概念，都可以用这种方法引入。例如，教异面直线概念时，先举出教室内的实例，给学生以异面直线的形象，然后分析实例中的一对直线在位置关系方面所具有的性质；不平行、不相交，不可能在同一个平面内等等。接着抽象出它们的空间形式，在黑板上画出图形最后给出定义。

从具体例子中归纳引入新概念也属于这种方式。例如，先举出匀速运中距离s 和时间t 的函数关系式 440+=t s 以及在放油过程中油箱的余油量 Q 与它的工作时间t 之间的函数关系式Q=60-4t 等实例，然后分析它们的共同本质属性，说明这些函数关系可以归纳为y=kx+b(k ≠0)的形式，最后给出一次函数的定义。

通过实例引入数学概念时，教师选择的感性材料应当是那些能够充分显示出概念的特征属性的事例。因为只有在事物的特征属性能从实际事例中分析出来时，引入的新概念才容易被学生所接受。

⑵在学生已有知识的基础上引入新概念。数学学科中的所有概念，按一定的逻辑联系构成若干概念体系，各个概念体系中的概念之间的逻辑联系，给我们引入新概念提供了条件。

分析概念之间的逻辑关系，也就揭示了引入新概念的必要性和合理性。在具体教学时，又有下面一些做法：

通过与原有概念类比引入。数学中的有些概念，它们的内涵有相似之处，我们常把这些概念进行类比，从原有概念自然地引入新概念。例如，不等式可类比方程引入；分式可类比分数引入；平行平面可类比平行直线引入等等。这种引入新概念的方式，就是前面分析过的并列结合学习方式。

通过对原有概念的限制或概括引入。对原有概念进行限制引入，即增加原有概念的内涵，引入外延较小的新概念。对原有概念进行概括引入，即减少原有概念的内涵，引入外延更大的新概念。这两种方式引入概念都很自然，新概念的存在性明显，学生也容易接受。例如，在“等式”概念的内涵中，加入“含有未知数”这一本质属性，就得出了“方程”的定义。这是通过概念限制引入新概念。“全等三角形”有“三内角对应相等”和 “三边对应成比例且比值为1”等属性，去掉“比值为1这一属性，就得到“相似三角形”的概念。这是通过概念概括引入新概念。

⑶根据运算间的关系引入。数学中有些与运算相关的概念，常与另一些与运算相关的概念存在着互逆或互反的关系。对于这类概念，一般是通过讲清两类概念之间的关系来引入新概念。例如，有理数的减法与除法，分别是有理数的加法和乘法的逆运算。所以，我们可以在分别复习小学学过的“加法”与“减法” 、“乘法”与“除法”的关系的基础上，直接引入有理数的减法和除法的概念。又如在教对数概念时，可以先举出形如a N a b ( ＞0且a ≠1)的具体例子，引导学生复习：在上式中存在a 、b 、N 三个数，已知a 、b,求N 是乘方运算；已知b 、N ，求a 时是开方运算。再提出问题：如果已知a 和N 求b 又是什么运算呢？在此基础上再给出对数的定义。

除了上述引入概念的方式外，对于数学中一些用发生式定义方式给出的概念，常采用揭示事物发生过程的办法来引入。例如，平角、周角、椭圆、双曲线、圆的渐伸线等概念，都可以通过直观演示实验或画图说明的方法，揭示其发生过程。这种引入的方法生动、直观，在引入过程中同时还阐明了概念的客观存在性。

关于被定义概念对象的存在性问题，应该引起学生的足够重视。因为这涉及培养辩证唯物主义观点的问题。

此外，在概念引入过程中，对有些概念定义的合理性必须作出特别说明，才能使学生对