基于银行服务的排队论优化和仿真--随机过程大作业

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针对该问题,目前很多银行都采取了一些相应措施,诸如调整银行网点的设 置、引导顾客使用自助设备等,但效果均不明显。
排队论是研究系统由于随机因素干扰而出现排队现象的一门学科,能够在研 究各种排队系统概率规律性的基础上,解决相应排队系统的最优设计和最优控制 问题。将泊松过程与排队论结合,并应用到银行窗口服务中研究,是解决银行排 队问题的一次新角度尝试。
������������:顾客到达的平均速率,即单位时间内平均到达的顾客数。
������������:平均服务速率,即单位时间内服务完毕离去的顾客数。 ������������:服务强度,表示每个服务窗口单位时间内的平均服务时间,且只有当ρ<1 时
才不会排成无限的队列。
从状态间的转移关系分析 M/M/N 模型,可以得到:
������������������������−N������������! ������������ =N
������������=N
=
(������������⁄������������)������������+1 ������������0
(N − ������������⁄������������)2(������������ − 1)!
=
2428 320
=
7.59人/十五钟。
故该营业厅的客户平均到达率为λ = 0.506 人/分钟。
在实际工作中,客户存取款、转账汇款、缴费、理财、开销户等业务是随机 发生的,客户办理业务的种类不同,服务时间必然有所差别。同时,每位柜员的 业务技能素质也不尽相同,故在现场调查中随机抽取了 4 名柜员办理的 240 笔各 类业务进行统计分析。经过统计测算,240 笔业务的总服务时间为 1229.5 分钟, 平均服务时间为 5.123 分钟/人,故客户平均服务率为µ = 0.1952人/分钟。
1)!
=
(������������⁄������������)������������+1 ������������0
=
(������������⁄������������)������������ ������������0
λ(1 − ������������⁄(������������))2������������������������! µ(N − ������������⁄������������)2(������������ − 1)!

������������
������������������������
=
1
=
������������−1

������������= 0
(������������⁄������������)������������������������0 + ������������!


������������=N
5
理 论 结 果 与 仿 真 结 果 (对m u比= 4) 0.25
仿真结果 理论结果
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
������������������������
=
�(������������⁄���������������������!��� )���������������������0���
������������������������ −N ������������!
,
������������


µ
最后由概率的归一化条件:
(������������ ⁄������������)������������ ������������0 ������������������������ −N ������������!
不难求得:
������������0
=
((1−(���������������������⁄���⁄(���������������������)������������)��� )������������!
下面对该模型的进行理论求解。设客户到达的速率为λ,服务的速率为µ,窗 口数为 N,记 k 状态为队伍里有 k 个人等待时的状态。则有,k 状态时的客户到 达率为������������������������ = λ,k 状态时的服务率为:
µ������������
=
�������������������������µ,,k������������
由此求得顾客需要排队等待的时间的均值为:
������������������������
=
������������ ������������ ������������
=
λ(N
(������������⁄������������)������������+1 ������������0 − ������������⁄������������)2(������������ −
������������=N
=

�(k −
N)
(������������⁄������������)������������������������0
������������=N
������������������������− N ������������!


= ������������0 �� ������������ (������������⁄(N������������))������������ − � ������������ (������������⁄(N������������))�������������
������������������������
=
������������������������−1 µ������������
������������������������−1
由递推法不难得到:
(������������⁄������������)���������������������0��� , k < µ
1)!
=
µ(N

(������������⁄������������)������������ ������������⁄������������)2(������������

1)!
((1
(������������⁄������������)������������ − ������������⁄(������������))������������!
所以在上面假定的银行系统中,客户的平均等待时间为:
������������������������
=
µ(N

(������������⁄������������)������������ ������������0 ������������⁄������������)2(������������ −
现对该模型所用到的一些数量指标符号作下述规定: ������������:平均队长,表示系统中的顾客数,是排队等候的顾客和正在接受服务的顾客 的总和。 ������������ ������������:平均列队长,表示系统中排队等候的顾客数。 ������������:平均逗留时间,包括等待时间和服务时间。 ������������������������ :平均等待时间,也称平均排队等待时间。 ������������0:系统到达平衡时,所有服务台空闲的概率。
基于银行服务的排队论优化与仿真
一、介绍
研究服务管理的专家认为,顾客服务中最重要的问题之一就是如何进行排队 管理。然而,由于服务是生产与消费同时进行,服务企业很难解决服务需求的波动 性问题。顾客的特点是随机到达,并且要求立即得到服务,如果在客户到达时,所 有的服务能力都 已经被占用,那么顾客就需要耐心地排队等待。到达率和要求的 服务时间两者都不是均值,这就导致了排队的产生。顾客排队等待接受服务,在任 何一个服务系统中都是不可避免的。排队管理一直都是管理者面临的一个巨大的 挑战。由于排队的不可回避性,长期以来关于排队的理论研究已有很多,并且因国 内银行的排队问题非常严重,故关于商业银行的排队研究也很丰富。
设模拟的总人数为 n,服务窗口数为 N,首先利用一个 4*N 的矩阵来记录每 个人的信息。其中第一行表示到达时刻,第二行表示服务时间长度,第三行表示 等待时间长度,第四行表示离开时刻。其中到达时刻和服务时间长度可由已知的
λ、µ求得。易知离开的时刻=到达的时刻+服务时间长度+等待时间长度。用长度 为 N 的 serve_state 表示每个窗口的接受服务的人的离开时刻。前 N 个人到达后 不需要等待,故等待时间为零。从第 N+1 个人开始,先由 serve_state 求出 N 个窗口中的最早结束服务的窗口,如果结束服务的时刻小于顾客到来的时刻,则 该顾客的等待时间为零;如果结束服务的时刻大于顾客到来的时刻,则二者之差 为该顾客的等待时间。同时更新该窗口的接受服务的人的离开时刻。在求出所有 顾客的等待时间后,对其求平均值即得到最后要求的平均等待时间。
+
∑������������������������=−01
(������������⁄������������ )������������)−1.
������������!
பைடு நூலகம்
3
队伍中等待的客户数的均值为:

������������������������ = � (k − N)������������������������
二、模型
首先做一些基本假设,在银行等待服务的人数服从参数为 λ 的泊松分布, 银行服务窗口有 r 个,每位银行职员任何时刻只能为一位顾客服务,不同的职员 服务时间长度独立,且都服从参数为 μ 的负指数分布。顾客到达窗口的时间和 职员服务的时间相互独立。
我们给出一般的排队论的数学模型框图如下:
1
客户的到来遵循参数为λ的泊松过程,即任意两个顾客到来的时间间隔遵循 参数为λ的负指数分布;我们都知道在银行里都是取号按到达的先后顺序依次接 受服务的,所以可以将之等同于客户排成一个队列按到达的先后顺序依次接受服 务。在本文的模型中,一共有 N 个服务窗口,假设每个服务窗口服务一次的时间 遵循参数为µ的负指数分布,各个服务窗口之间是相互独立的,且服务窗口与客 户的到来之间也是相互独立的。所以银行排队的模型是一个 M/M/N/∞/∞模型。
+
������������ − 1

������������= 0
(������������⁄������������)������������ ������������!
)−1
根据上述各表达式可以知道,只要确定了顾客到达的平均速率λ和平均服务 速率µ,即可计算出 ������������������������,进而确定服务窗口数量。
< ≥
µµ,
设 k 状态时的概率为������������������������,则由平衡方程知道: µ������������������������������������ = ������������������������−1������������������������−1,进一步得到:
假设服务柜台数为 3 个,ρ = 0.864。
代入公式,可得在队列中的等待时间为:������������������������ = 10.9分钟。在银行的平均逗
留时间W = 16.02分钟。
三、仿真
下面,本文使用 Matlab 编程对比仿真结果和理论结果,以证明理论推导的 正确性[代码见附录 1、2、3]。对仿真思路说明如下:
下面用某银行网点的实际数据代入:
调取某网点连续十天的顾客到达情况数据(以每十五分钟为单位):
到达量������������������������ 频率(������������������������)
0
2
1
2
2
4
3
5
4
4
11
5
19
6
26
7
58
8
81
9
66
≥10
46
合计
320
得λ
=
Σnf Σ������������
2
µ P1 = λ P0 (n +1)µ Pn+1 + λ Pn-1 = (λ + nµ)Pn sµ Pn+1 + λ Pn-1 =(λ + sµ)Pn
(1 ≤ n ≤ s)
这里

∑ Pi =1,ρ ≤ 1
i=0
在本文的模型中,银行的服务窗口数量一方面要考虑消费者的需求,另一方 面也要考虑自身的成本。所以我们最后的目标是求出在不同的客户量(λ)的情 况下的最佳窗口数目(N ∗ )。即得到两者的一个确定的表达式。
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