数值分析第一章误差
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例 解300阶的线性方程组 求6阶矩阵的全部特征值
4
数值代数
主要内容
近似求解线性方程组 (直接解法, 迭代解法)
矩阵特征值的计算
数值逼近：插值法，函数逼近
数值微分与数值积分 非线性方程求解 微分方程近似求解：常微分方程数值解法
5
第一章 误差
§2 误差的基本概念
§3 数值计算中误差的传播
10
◆ 绝对误差、相对误差和有效数字
➢ 绝对误差 设x* 是准确值x 的一个近似值, 记 e=xx* 称 e为近似值 x* 的绝对误差, 简称误差.
绝对误差一般很难准确计算, 但可以估计上界.
若e 满足 | e | e 则称 e为近似值 x* 的绝对误差限, 简称误差限.
e > 0 不唯一, 当然 e 越小越具有参考价值. 11
截断误差 求解数学模型所用的数值方法通常 是一种近似方法, 这种因方法产生的误差称为截 断误差或方法误差.
8
例如, 利用 ln(x+1) 的Taylor公式计算 ln2,
ln( x 1) x 1 x2 1 x3 1 x4 1 x5 2345
实际计算时只能截取有限项代数和计算, 如取前5 项有:
ln 2 1 1 1 1 1 2345
这里产生误差 (记作R5 )截断误差
R5
1 6
1 7
1 8
9
舍入误差 由于计算机只能对有限位数进行 运算, 在运算中像 2, e, 1 3 等都要按舍入 原则保留有限位, 这时产生的误差称为舍入误差。
在数值分析中, 均假定数学模型是准确的, 因而不 考虑模型误差和观测误差, 只讨论截断误差和舍入 误差对计算结果的影响.
§4 数值计算中应注意的问题
6
§2 误差的基本概念
误差：精确解与近似解之间的差
➢ 误差按来源可分为： 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差
7
模型误差 数学模型通常是由实际问题抽象得到 的，一般带有误差, 这种误差称为模型误差.
观测误差 数学模型中包含的一些参数通常是通 过观测和实验得到的, 难免带有误差, 这种误差称为 观测误差.
(a1
1) 10m1
0.5 10mn
可见 x* 至少有 n 位有效数字.
21
§3 数值计算中误差的传播
➢ 基本运算中( )的误差估计 如 | 2 1.414 | 0.5103, | 5 2.236 | 0.5103, 问 | 5 2 2.2361.414 | ? 2 1.414 ? 5 2.236
例 用毫米刻度的米尺测量一长度 x, 如读出的长度 是 x*=765 mm, 由于误差限是 0.5 mm, 故准确值
x [764.5 mm, 765.5 mm].
精确值x , 近似值 x* 和误差限 e 之间满足： x * e x x * e
通常记为
x x * e
12
绝对误差有时并不能完全地反映近似值的好坏, 如测量 100 m 和 10 m 两个长度, 若它们的绝对误 差都是 1 cm, 显然前者的测量结果比后者的准确.
因此, 决定一个量的近似值的精确度, 除了要 看绝对误差外, 还必须考虑该量本身的大小.
13
➢ 相对误差
记 er
e x
x x*, x
称
er 为近似值
x* 的相对误差.
由于 x 未知, 实际使用时总是将 x* 的相对误差取为
er
e x*
x
x* x*
er e | x* | 称为近似值x*的相对误差限. | er | e r .
15
➢ 有效数字 若近似值 x*满足 | x x* | 1 10n , 则称 x*准
2 确到小数点后第n位. 并把从第一个非零数字到这 一位的所有数字均称为有效数字.
例： 3.1415926535897932......; * 3.1415 问： *有几位有效数字？
解： |π * π| 0.5 103
解 由于 2 1.414, 则近似值x*可写为 x* 0.a1a2 an 101, a1 1 0. 令 2 x * 1 101n 105 2
故取 n=6，即取 6 位有效数字. 此时 x*=1.41421.
19
相对误差限与有效数字之间的关系.
有效数字 相对误差限
已知 x* =0.a1a2…an×10m有 n 位有效数字, 则其相 对误差限为
17
有效数字的另一等价定义
数x*总可以写成如下形式 x* 0.a1a2 an 10m.
其中m是整数, ai是0到9中的一个数字, a1 0. x* 作为x的近似值, 具有n位有效数字当且仅当
x* x 1 10mn 2
由此可见, 近似值的有效数字越多, 其绝对误差越小.
18
例 为了使 x 2 的近似值的绝对误差不大于10－5, 问应取几位有效数字?
数值分析
1
教材
丁丽娟, 程杞元,《数值计算方法》, 高等教育 出版社, 2011年.
2
•
数值分析是做什么用的？
输入复杂问题或运算
x,
ax,
ln x,
Ax b,
b f ( x)dx,
d f ( x), ......
a
dx
近似解
计算机
数值 分析
3
研究对象 那些在理论上有解而又无法手工计算的 数学问题
εr
ε x*
0.5 10mn 0.a1a2 ... an 10m
10n 2 0.a1...
1 10n1 2a1
20
相对误差限 有效数字
已知 x* 的相对误差限可写为
εr
1
10n1
2(a1 1)
则
|
x
x*
|
εr
|
x*
|
10n1 2(a1 1)
0.a1a2 ...
Hale Waihona Puke Baidu
10m
10n1 2(a1 1)
* 有4位有效数字，精确到小数点后第3位
16
例 已知下列近似值的绝对误差限都是0.005, 问 它们具有几位有效数字? a=12.175, b=－0.10, c=0.1, d=0.0032
解 由于0.005＝0.5×10－2,
所以 a 有4位有效数字1, 2, 1,7; b 有2位有效数字1, 0; c 有1位有效数字1; d 没有有效数字.
14
例 设 x*=1.24是由精确值 x 经过四舍五入得到的 近似值, 求x*的绝对误差限和相对误差限.
解 由已知可得: 1.235 x 1.245
所以 e =0.005,
er 0.005 1.24 0.4%.
一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似 值, 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.
4
数值代数
主要内容
近似求解线性方程组 (直接解法, 迭代解法)
矩阵特征值的计算
数值逼近：插值法，函数逼近
数值微分与数值积分 非线性方程求解 微分方程近似求解：常微分方程数值解法
5
第一章 误差
§2 误差的基本概念
§3 数值计算中误差的传播
10
◆ 绝对误差、相对误差和有效数字
➢ 绝对误差 设x* 是准确值x 的一个近似值, 记 e=xx* 称 e为近似值 x* 的绝对误差, 简称误差.
绝对误差一般很难准确计算, 但可以估计上界.
若e 满足 | e | e 则称 e为近似值 x* 的绝对误差限, 简称误差限.
e > 0 不唯一, 当然 e 越小越具有参考价值. 11
截断误差 求解数学模型所用的数值方法通常 是一种近似方法, 这种因方法产生的误差称为截 断误差或方法误差.
8
例如, 利用 ln(x+1) 的Taylor公式计算 ln2,
ln( x 1) x 1 x2 1 x3 1 x4 1 x5 2345
实际计算时只能截取有限项代数和计算, 如取前5 项有:
ln 2 1 1 1 1 1 2345
这里产生误差 (记作R5 )截断误差
R5
1 6
1 7
1 8
9
舍入误差 由于计算机只能对有限位数进行 运算, 在运算中像 2, e, 1 3 等都要按舍入 原则保留有限位, 这时产生的误差称为舍入误差。
在数值分析中, 均假定数学模型是准确的, 因而不 考虑模型误差和观测误差, 只讨论截断误差和舍入 误差对计算结果的影响.
§4 数值计算中应注意的问题
6
§2 误差的基本概念
误差：精确解与近似解之间的差
➢ 误差按来源可分为： 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差
7
模型误差 数学模型通常是由实际问题抽象得到 的，一般带有误差, 这种误差称为模型误差.
观测误差 数学模型中包含的一些参数通常是通 过观测和实验得到的, 难免带有误差, 这种误差称为 观测误差.
(a1
1) 10m1
0.5 10mn
可见 x* 至少有 n 位有效数字.
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§3 数值计算中误差的传播
➢ 基本运算中( )的误差估计 如 | 2 1.414 | 0.5103, | 5 2.236 | 0.5103, 问 | 5 2 2.2361.414 | ? 2 1.414 ? 5 2.236
例 用毫米刻度的米尺测量一长度 x, 如读出的长度 是 x*=765 mm, 由于误差限是 0.5 mm, 故准确值
x [764.5 mm, 765.5 mm].
精确值x , 近似值 x* 和误差限 e 之间满足： x * e x x * e
通常记为
x x * e
12
绝对误差有时并不能完全地反映近似值的好坏, 如测量 100 m 和 10 m 两个长度, 若它们的绝对误 差都是 1 cm, 显然前者的测量结果比后者的准确.
因此, 决定一个量的近似值的精确度, 除了要 看绝对误差外, 还必须考虑该量本身的大小.
13
➢ 相对误差
记 er
e x
x x*, x
称
er 为近似值
x* 的相对误差.
由于 x 未知, 实际使用时总是将 x* 的相对误差取为
er
e x*
x
x* x*
er e | x* | 称为近似值x*的相对误差限. | er | e r .
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➢ 有效数字 若近似值 x*满足 | x x* | 1 10n , 则称 x*准
2 确到小数点后第n位. 并把从第一个非零数字到这 一位的所有数字均称为有效数字.
例： 3.1415926535897932......; * 3.1415 问： *有几位有效数字？
解： |π * π| 0.5 103
解 由于 2 1.414, 则近似值x*可写为 x* 0.a1a2 an 101, a1 1 0. 令 2 x * 1 101n 105 2
故取 n=6，即取 6 位有效数字. 此时 x*=1.41421.
19
相对误差限与有效数字之间的关系.
有效数字 相对误差限
已知 x* =0.a1a2…an×10m有 n 位有效数字, 则其相 对误差限为
17
有效数字的另一等价定义
数x*总可以写成如下形式 x* 0.a1a2 an 10m.
其中m是整数, ai是0到9中的一个数字, a1 0. x* 作为x的近似值, 具有n位有效数字当且仅当
x* x 1 10mn 2
由此可见, 近似值的有效数字越多, 其绝对误差越小.
18
例 为了使 x 2 的近似值的绝对误差不大于10－5, 问应取几位有效数字?
数值分析
1
教材
丁丽娟, 程杞元,《数值计算方法》, 高等教育 出版社, 2011年.
2
•
数值分析是做什么用的？
输入复杂问题或运算
x,
ax,
ln x,
Ax b,
b f ( x)dx,
d f ( x), ......
a
dx
近似解
计算机
数值 分析
3
研究对象 那些在理论上有解而又无法手工计算的 数学问题
εr
ε x*
0.5 10mn 0.a1a2 ... an 10m
10n 2 0.a1...
1 10n1 2a1
20
相对误差限 有效数字
已知 x* 的相对误差限可写为
εr
1
10n1
2(a1 1)
则
|
x
x*
|
εr
|
x*
|
10n1 2(a1 1)
0.a1a2 ...
Hale Waihona Puke Baidu
10m
10n1 2(a1 1)
* 有4位有效数字，精确到小数点后第3位
16
例 已知下列近似值的绝对误差限都是0.005, 问 它们具有几位有效数字? a=12.175, b=－0.10, c=0.1, d=0.0032
解 由于0.005＝0.5×10－2,
所以 a 有4位有效数字1, 2, 1,7; b 有2位有效数字1, 0; c 有1位有效数字1; d 没有有效数字.
14
例 设 x*=1.24是由精确值 x 经过四舍五入得到的 近似值, 求x*的绝对误差限和相对误差限.
解 由已知可得: 1.235 x 1.245
所以 e =0.005,
er 0.005 1.24 0.4%.
一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似 值, 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.