关于暂态响应分析中三要素法的推广应用研究

三明师专学报2000(3)

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关于暂态响应分析中三要素法的推广应用研究

魏茂金

(三明师范高等专科学校物理系)

摘要　本文根据线性电路叠加原理,推导了正弦电源激励下一阶电路的全响应表达式,并举例说明求正弦电源激励下一阶电路全响应的三要素法。在此基础上推导并说明了任意周期性电源激励下一阶电路的全响应表达式及三要素法。

关键词　一阶电路;激励;三要素法;全响应

1　问题的提出

暂态过程的分析是电路理论的重要内容之一,电路的暂态过程反映了电路的基本性质和整个动态过程。分析电路暂态响应的方法有数学分析和实验分析两类。在数学分析中常常通过对含有电容元件和电感元件的电路利用KVL 定律列出微分方程求解,这种方法计算过程比较麻烦。对于一阶线性电路,实际上更多地采用了另一种简便的方法——三要素法,即先确定电路换路后的初始值f(0+)、稳态值f(∞)、时间常数 这三个要素,将它们代入阶跃电压作用下的一阶线性电路的全响应表达式

f (t )=f (∞)+[f (0+)-f (∞)]e -t/ (1)求出电路中电压和电流的全响应,不必求解微分方程,简化了计算过程。然而,若一阶电路中含有时变电源激励如正弦电源,在套用上述全响应表达式时,将会得出错误的结论。下面

笔者通过具体的实例分析说明这一点。

图1

如图1所示电路原已达到稳态,e=Emsin( t+ ),在t=

0时刻开关K 由1掷向2位置,求t ≥0时的响应i(t)。

初始值i(0+):i(0-)=E 1R 1+R

根据换路定则i(0+)=i(0-)=E 1R 1+R

稳态值i(∞):由于换路达到稳态后电路已处于正弦交流

稳态,可用相量法分析。

I ・

=U ・Z =E ∠ R+jX L =E ∠ Z ∠!=E Z ∠( -!)

式中, Z =R 2+X 2

L ,!=acrtg X L R

,则 i =E m Z sin ( t + -!

)此式就是电路换路后的稳态分量,相当于i (∞),它是时变函数。

时间常数: =L/R 将i(0+)、i(∞)、 这三要素代入全响应表达式:

i(t)=i(∞)+[i(0+)-i(∞)]e

-t/ =E m Z sin( t+ -!)+[E 1R 1+R -E m Z sin( t+ -!)]e

-t/ 显然,此式与用微分方程求解的结果[1]。

i (t )=

E m Z sin ( t + -!)+[E 1R 1+R -E m Z

sin ( -!)]e -t/ 不同,将它们进行比较后发现,暂态解中的系数是错误的。说明了直流电源激励下的三要素法中公式(1)不能直接套用到正弦电源激励下一阶电路中进行响应分析。2　正弦电源激励下一阶电路的三要素法

在正弦电源激励下一阶电路的响应中,稳态分量是时变函数,令为f s (t),可得

电路零输入响应为:f(0+)e -t /

电路零状态响应为:f s (t)+Ke

-t/ 根据线性电路的叠加原理,电路的全响应等于电路的零输入响应和零状态响应之和。即电路的全响应为:

f(t)=f(0+)e -t/ +f s (t)+Ke

-t/ 式中 为时间常数,系数K 可由初始条件确定。

t =0+时,f (0+)=f (0+)+f s (0+)+K

K=-f s (0+)

因此,f(t)=f s (t)+[f(0+)-f s (0+)]e -t/ (2)式中f s (t)表示换路后电路的稳态分量,f s (0+)表示稳态分量的初始值,只要将f(0+)、f s (t)、f s (0+)及 求出,应用(2)式即可得到正弦电源激励下的全响应,这正是三要素法。上例中,

i(0+)=

E 1R 1+R

,i s (t)==E m Z sin( t+ -!),i s (0+)==E m Z sin( -!)利用(2)式,

i(t)=i s (t)+[i(0+)-i s (0+)]e -t/

=E m Z sin( t+ -!)+[E 1R 1+R -E m Z

sin( -!)]e -t/ 显然,此结论与经典法解微分方程的结果完全一致。因此,正弦电源激励下的全响应表达式应由(1)式推广为(2)式,其中稳态分量f s (t )可用相量法分析。

下面笔者将通过正弦电源激励下一阶RC

电路的全响应分析例子进一步说明。

图2

如图2,一阶RC 电路,e=E m sin( t+ ),当t=0时

开关K 由1位置掷向2,求t ≥0时u c (t )

解法一、三要素法

初始值的确定:u c (0+)=u c (0-)=E 1

稳态分量的确定:用相量法分析。

U ・=E ∠ 式中E 为正弦电动势的有效值。

126三　明　师　专　学　报 2000年

U ・cs =U ・R-jX c (-jX c )=E ∠ Z ∠-!

X c ∠-90°=EX c Z

∠( +!-90°)式中, Z =R 2+X 2C =R 2+(1/ C)2,!=arctg X c R

所以, u cs (t )=E m X c Z sin ( t + +!-90°)=-E m X c Z

cos ( t + +!) u cs (0+)=E m

X c

Z sin( +!-90°)=-E m

X c

Z co s( +!)

时间常数: =RC,R 为换路后电容两端除源等效电阻。

利用(2)式,

u c (t)=u cs (t)+[u c (0+)-u cs (0+)]e -t/

=-E m

X c

Z cos( t+ +!)+[E 1+E m

X c

Z cos( +!)]e -t/

解法二,经典法解微分方程。

利用KVL 定律,

iR +u c =e , RC du c dt +u c =e

du c dt +1RC u c =E m sin( t+ )RC

此方程的余函数为:u h

=Ke -t /R C 令方程的特解为:u p =Asin t +Bco s t

将特解u p 代入微分方程后并令方程两边含t 的正弦项和余弦项的系数相等,得

A RC - B=E m RC co s

A+B RC =E m RC sin

解这两方程得

A =E m X c (X c co s +Rsin )X 2c +R 2

B=E m X c (X c sin -Rco s )

X 2c

+R 2令 Z =R 2+X 2c ,!=arctg X c R

则

A=E m

X c

Z sin(!+ )

B =-E m

X c

Z cos (!+ )

u p =-E m

X c Z co s( t+ +!)

因此,微分方程的全解为:

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