电工学叠加原理
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例3：求下图所示电路中的电流I1、I2和I3
求下图所示电路中的电流I1、I2和I3
R1
R3
＋ I1
Us1 －
I2 Im1
R2
＋ Us2
－
I3 Im2
＋ Us3
－
图2.18
2.10 网 孔 法
采用网孔电流为电路的变量来列写方 程。
设想在每个网孔中, 都有一个电流沿网孔 边界环流, 这样一个在网孔内环行的假想电 流, 叫做网孔电流。
I1"
R3 R1 R3
Is
2
3
3
1
0.6 A
I
" 2
R4 R2 R4
Is
0.5 1 0.5
1
0.333A
I"
I1"
I
" 2
(0.6
0.333)
0.267A
电流源的端电压为
U"
R1I1"
R2
I
" 2
2 0.6
1 0.333
1.5333V
(3) 两个独立源共同作用时, 电压源的电流为
I I ' I " 3.9 0.267 4.167A
(a)
(b)
(c)
使用叠加定理时, 应注意以下几点:
（1） 只能用来计算线性电路的电流和电压, 对非线 性电路,
（2） 叠加时要注意电流和电压的参考方向, 求其代 数和。
（3） 化为几个单独电源的电路来进行计算时, 所谓 电压源不作用, 就是在该电压源处用短路代替, 电 流源不作用, 就是在该电流源处用开路
R1
R3
＋ I1
Us1 －
I2 Im1
R2
＋ Us2
－
I3 Im2
＋ Us3
－
网孔法举例
图2.18
思考：I1、I2、I3、Im1、Im2之间的关系。
选取网孔的绕行方向与网孔电流的参考方向一致。
R1I m1 R2 I m1 R2 I m2 U s1 U s2 0 R 2 I m2 R2 I m1 R3 I m2 U s2 U s3 0
其中: R11=R1+R2、R22=R2+R3分别是网孔 1 与网孔 2 的电阻 之和, 称为各网孔的自电阻。因为选取自电阻的电压与电流 为关联参考方向, 所以自电阻都取正号。 R12=R21=-R2是网孔 1 与网孔 2 公共支路的电阻, 称为 相邻网孔的互电阻。互电阻可以是正号, 也可以是负号。当 流过互电阻的两个相邻网孔电流的参考方向一致时, 互电阻 取正号, 反之取负号。 Us11=Us1-Us2、Us22=Us2-Us3分别是各网孔中电压源电 压的代数和, 称为网孔电源电压。凡参考方向与网孔绕行方 向一致的电源电压取负号, 反之取正号。
推广到具有m个网孔的平面电路, 其网孔方程的规范形式为
R11Im1 R12 Im2 R1m Imm Us11 R21Im1 R22 Im2 R2m Imm Us22
…
Rm1Im1 Rm2 Im2 RmmImm Usmm
例 1： 用网孔法求下图所示电路的各支路电流。
电流源的端电压为
U U ' U" 1.2 1.5333 0.333V
例3 试求下图所示电路中的电流I和电压U。
(a) 两个电源同时作用 (b) 电压源单独作用 (c) 电流源单独作用
2.12 戴 维 南 定 理
戴维南定理: 含独立源的线性二端电阻网络, 对其外部而言, 都可以用电压源和电阻串联 组合等效代替。
2
I6 1
Im3 ＋ 5 V －
＋
10 V －
I4 Im1
I1
I3
I5
2 Im2
1
I2
解 （1） 选择各网孔电流的参考方向, 如图 所示。 计算 各网孔的自电阻和相关网孔的互电阻及每一网孔的电源电压。
R11 1 2 3, R12 R21 2 R22 1 2 3, R23 R32 0 R33 1 2 3, R13 R31 1 Us11 10V ,Us22 5V ,Us33 5V
（4） 不能用叠加定理直接来计算功率。
例 2： 下图a所示桥形电路中R1=2Ω, R2=1Ω, R3=3 Ω, R4=0.5Ω, Us=4.5V, Is=1A。试用叠加定理 求电压源的电流I和电流源的端电压U。
图2.27 例2.12图
解 (1) 当电压源单独作用时, 电流源开路, 各支路电流分别为
I1'
I
' 3
Us R1 R3
4.5 23
0.9 A
I
' 2
I
' 4
Us R2 R4
4.5 1 0.5
3A
I
'
I1'
I
' 2
(0.9
3)
3.9 A
电流源支路的端电压U′为：
U
'
R4
I
' 4
R3 I 3'
(0.5
3
3 0.9)
1.2V
(2) 当电流源单独作用时, 电压源短路, 则各支路电流为：
（2） 列网孔方程组
3I m1 2I m2 I m3 10 2I m1 3I m2 5
I m1 3I m3 5
(3) 求解网孔方程组，可得
Im1 6.25 A, Im2 2.5A, Im3 3.75 A
(4) 任选各支路电流的参考方向, 求各支路电流:
I1 Im1 6.25A, I2 Im2 2.5A I3 Im1 Im2 3.75A, I4 Im1 Im2 2.5A I5 Im3 Im2 1.25A, I6 Im3 3.75A
例2：求下图所示电路中的电流I1、I2和I3
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例 3 求下图所示电路中的各支路电流。
1 I2 2
2
I1 3 A 1
I3
3
7A
0 图2.23例2.10图
例 4 应用网孔电流法求下图所示电路中各支路电流。
5
I1 ＋ 20 V －
1 10 I2 20
I3
＋ 10 V
－
0
2.11 叠 加 定 理
叠加定理是线性电路的一个基本定理。 叠加定理表述如下: 在线性电路中, 当有两个或两个
经过整理后, 得
(R1 R2 I
R2 )Im1 m1( R2
R2 Im2 Us1 Us2 R3 )Im2 Us2 Us3
上式可以进一步写成
R11I m1 R21I m1
R12 I m2 R22 I m2
U s11 U s22
上式就是当电路具有两个网孔时网孔方程的一般形式。
以上的独立电源作用时, 则任意支路的电流或电压, 都可以认为是电路中各个电源单独作用而其他电源 不作用时, 在该支路中产生的各电流分量或电压分 量的代数和。
思考：电压源电流源如何单独工作？
例1：求图a电路中的电流I。
1
1
1
I ＋
I′ ＋
Us －
R2
＝ Us
Is
－
R2
＋
I″
R2
Is
R1
R1
R1
0
0
0
求下图所示电路中的电流I1、I2和I3
R1
R3
＋ I1
Us1 －
I2 Im1
R2
＋ Us2
－
I3 Im2
＋ Us3
－
图2.18
2.10 网 孔 法
采用网孔电流为电路的变量来列写方 程。
设想在每个网孔中, 都有一个电流沿网孔 边界环流, 这样一个在网孔内环行的假想电 流, 叫做网孔电流。
I1"
R3 R1 R3
Is
2
3
3
1
0.6 A
I
" 2
R4 R2 R4
Is
0.5 1 0.5
1
0.333A
I"
I1"
I
" 2
(0.6
0.333)
0.267A
电流源的端电压为
U"
R1I1"
R2
I
" 2
2 0.6
1 0.333
1.5333V
(3) 两个独立源共同作用时, 电压源的电流为
I I ' I " 3.9 0.267 4.167A
(a)
(b)
(c)
使用叠加定理时, 应注意以下几点:
（1） 只能用来计算线性电路的电流和电压, 对非线 性电路,
（2） 叠加时要注意电流和电压的参考方向, 求其代 数和。
（3） 化为几个单独电源的电路来进行计算时, 所谓 电压源不作用, 就是在该电压源处用短路代替, 电 流源不作用, 就是在该电流源处用开路
R1
R3
＋ I1
Us1 －
I2 Im1
R2
＋ Us2
－
I3 Im2
＋ Us3
－
网孔法举例
图2.18
思考：I1、I2、I3、Im1、Im2之间的关系。
选取网孔的绕行方向与网孔电流的参考方向一致。
R1I m1 R2 I m1 R2 I m2 U s1 U s2 0 R 2 I m2 R2 I m1 R3 I m2 U s2 U s3 0
其中: R11=R1+R2、R22=R2+R3分别是网孔 1 与网孔 2 的电阻 之和, 称为各网孔的自电阻。因为选取自电阻的电压与电流 为关联参考方向, 所以自电阻都取正号。 R12=R21=-R2是网孔 1 与网孔 2 公共支路的电阻, 称为 相邻网孔的互电阻。互电阻可以是正号, 也可以是负号。当 流过互电阻的两个相邻网孔电流的参考方向一致时, 互电阻 取正号, 反之取负号。 Us11=Us1-Us2、Us22=Us2-Us3分别是各网孔中电压源电 压的代数和, 称为网孔电源电压。凡参考方向与网孔绕行方 向一致的电源电压取负号, 反之取正号。
推广到具有m个网孔的平面电路, 其网孔方程的规范形式为
R11Im1 R12 Im2 R1m Imm Us11 R21Im1 R22 Im2 R2m Imm Us22
…
Rm1Im1 Rm2 Im2 RmmImm Usmm
例 1： 用网孔法求下图所示电路的各支路电流。
电流源的端电压为
U U ' U" 1.2 1.5333 0.333V
例3 试求下图所示电路中的电流I和电压U。
(a) 两个电源同时作用 (b) 电压源单独作用 (c) 电流源单独作用
2.12 戴 维 南 定 理
戴维南定理: 含独立源的线性二端电阻网络, 对其外部而言, 都可以用电压源和电阻串联 组合等效代替。
2
I6 1
Im3 ＋ 5 V －
＋
10 V －
I4 Im1
I1
I3
I5
2 Im2
1
I2
解 （1） 选择各网孔电流的参考方向, 如图 所示。 计算 各网孔的自电阻和相关网孔的互电阻及每一网孔的电源电压。
R11 1 2 3, R12 R21 2 R22 1 2 3, R23 R32 0 R33 1 2 3, R13 R31 1 Us11 10V ,Us22 5V ,Us33 5V
（4） 不能用叠加定理直接来计算功率。
例 2： 下图a所示桥形电路中R1=2Ω, R2=1Ω, R3=3 Ω, R4=0.5Ω, Us=4.5V, Is=1A。试用叠加定理 求电压源的电流I和电流源的端电压U。
图2.27 例2.12图
解 (1) 当电压源单独作用时, 电流源开路, 各支路电流分别为
I1'
I
' 3
Us R1 R3
4.5 23
0.9 A
I
' 2
I
' 4
Us R2 R4
4.5 1 0.5
3A
I
'
I1'
I
' 2
(0.9
3)
3.9 A
电流源支路的端电压U′为：
U
'
R4
I
' 4
R3 I 3'
(0.5
3
3 0.9)
1.2V
(2) 当电流源单独作用时, 电压源短路, 则各支路电流为：
（2） 列网孔方程组
3I m1 2I m2 I m3 10 2I m1 3I m2 5
I m1 3I m3 5
(3) 求解网孔方程组，可得
Im1 6.25 A, Im2 2.5A, Im3 3.75 A
(4) 任选各支路电流的参考方向, 求各支路电流:
I1 Im1 6.25A, I2 Im2 2.5A I3 Im1 Im2 3.75A, I4 Im1 Im2 2.5A I5 Im3 Im2 1.25A, I6 Im3 3.75A
例2：求下图所示电路中的电流I1、I2和I3
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例 3 求下图所示电路中的各支路电流。
1 I2 2
2
I1 3 A 1
I3
3
7A
0 图2.23例2.10图
例 4 应用网孔电流法求下图所示电路中各支路电流。
5
I1 ＋ 20 V －
1 10 I2 20
I3
＋ 10 V
－
0
2.11 叠 加 定 理
叠加定理是线性电路的一个基本定理。 叠加定理表述如下: 在线性电路中, 当有两个或两个
经过整理后, 得
(R1 R2 I
R2 )Im1 m1( R2
R2 Im2 Us1 Us2 R3 )Im2 Us2 Us3
上式可以进一步写成
R11I m1 R21I m1
R12 I m2 R22 I m2
U s11 U s22
上式就是当电路具有两个网孔时网孔方程的一般形式。
以上的独立电源作用时, 则任意支路的电流或电压, 都可以认为是电路中各个电源单独作用而其他电源 不作用时, 在该支路中产生的各电流分量或电压分 量的代数和。
思考：电压源电流源如何单独工作？
例1：求图a电路中的电流I。
1
1
1
I ＋
I′ ＋
Us －
R2
＝ Us
Is
－
R2
＋
I″
R2
Is
R1
R1
R1
0
0
0