平面向量三点共线讲义

利用共线向量之巧解三点共线问题

如图，A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得PC=λ+（1-λ）．

性质1：已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若A，B，C三点共线，则存在实数λ，使得=λ+（1-λ）．

或叙述为：

已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若A，B，C三点共线，则存在实数λ，μ，使得PC=λ+μ，则有λ+μ=1．

性质2：已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有=λ+μ，且λ+μ=1，则A，B，C三点共线．

练习1：在△ABC中，

1

3

AN NC

=，点P是BC上的一点，若

2

11

AP mAB AC

=+，则实数

m的值为（）

A．9

11

B.

5

11

C.

3

11

D.

2

11

三点共线性质在解题中的应用：

例1．如图，在ABC

∆中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不

同的两点M、N，若=m，=n，则n

m+的值为

例2如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和

OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .

(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．

例3所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设x =，y =，证明：

y

x 11+是定值；

例4．如图，在ABC ∆中，OA OC 41=，OB OD 21=， AD 与BC 交于M 点，设==,． （Ⅰ）用，表示OM ；

（Ⅱ）在已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ．设

p =，q =．求证：17371=+q

p ．

例5．如图，平行四边形ABCD 中，点P 在线段AB 上，且m PB AP =，Q 在线段AD

上，且

n QD AQ =，BQ 与CP 相交于点R ，求RC PR 的值．

例6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______

A ．21

77a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +

课后练习