概率分布期望方差汇总

1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为 1, 2 , 3的三个座位，每位学生坐一个座位

设与座位编号相同的学生的个数是 X.

（1） 求随机变量X 的分布列；

（2） 求随机变量X 的数学期望和方差.

解（1）P （ X=0）= _L =1 - A

33 ；

P （ X=1）=-C3 = 1 ； P （ X=3）= 2 =丄；

A 3 2

A

3 6

(2) E (X ) =1 X 丄 +3 X 丄=1.

2 6

D (X ) =(1-0) 2 1 +(1-1) 2 丄+(3-1) 2 1 =1.

3 2 6

2某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次 随机地摸岀一个球，记下颜色后放回，摸岀一个红球可获得奖金 10元；摸岀两个红 球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定:甲摸一次，乙摸两次，令X 表示 甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求： （1 ） X 的分布列； （2） X 的均值.

解 （1 ） X 的所有可能取值为0，10，20，50，60.

9 1 9

P(X=50)= X =-

10 102 1 000 1 1

P(X=60)= 3 =

. '

103

1 000 故X 的分布列为

P (X=0 ) @ 1 = 729

10 = 1 000

P ( X=10)」X 「2 X C 2

X 丄

10 〔0 丿 10 10 9 X 一 =

243

1 000

P(X=20)= 丄 X C 2 X 丄 X ?=

10 10 10 18

1 000

729 243 18 9

(2 ) E ( X ) =0 X +10 X -243+20 X 18+50 X — +60 X

1 000 1 000 1 000 1 000

1

=3.3（兀）.

1 000 ' '

3 （本小题满分13分）

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生

产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含

（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素x,y满足x》175 ,且y》75时,该产品为优等

品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数•的分布列极其均值（即数学期望）。

& 98

解：（1）7,5 7=35，即乙厂生产的产品数量为35件。

14

（2）易见只有编号为 2 , 5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中

2

的优等品上,

5

故乙厂生产有大约 35 2 =14 （件）优等品,

5

（3） 的取值为0, 1, 2。

故的均值为E = 0

— 1 - 2 - -. 10 5 10

5

4湖南理18 .（本小题满分12分）

开始营业时有该商品 3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少 于2件，则当天进货补充.至3件，否则不进货,将频率视为概率。

（I ）求当天商品不进货的概率 ；

（n ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数

，求X 的分布列和数学

期型。

P （ =0）¥

C 5

4.解（I）P （当天商品不进货”）二P （当天商品销售量为0件”）

1 5 3

P （当天商品销售量为1件”）

20 20 10

（n）由题意知，X的可能取值为2,3.

5 1

P（X =2^ P （当天商品销售量为1件”）：；

20 4

P（X =3） = P （当天商品销售量为0件”）P （当天商品销售量

为2件”）P （当天商品销售量为3件”）=丄+ 2 +立=3

20 20 20 4

故X的分布列为

1 3 11

X的数学期望为EX = 2 —• 3 .

4 4 4

5、江西理16 .（本小题满分12分）

某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工

资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为

3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为

2100元,令X 表示此人选对 A 饮料的杯数,假设此人对 A 和B 两种 饮料没有鉴别能力.

(1) 求X 的分布列； (2) 求此员工月工资的期望 (本小题满分12分)

解：(1 ) X 的所有可能取值为：0, 1 , 2, 3 , 4

(i =0,123,4)

(2)令Y P(Y =2800"P(

X=

3)

总

P(Y =2100) =P(X 乞2)：

70 1 16 53 EY =3500

2800

2100

2280.

70 70 70

所以新录用员工月工资的期望为 2280元.

6、辽宁理（19）（本小题满分12分）

2800 , 3500

P(X 则 P(Y =3500) = P(X =4)

1 70