中科院自动化所考博数学试题06

中国科学院自动化研究所

2006年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试题

科目名称：数学

考生须知：

1．本试卷满分为100分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

1. 设1214A ⎡⎤

=⎢⎥−⎣⎦

，计算A e 。 2.

设13(21i A i i −⎡⎤==⎢⎥+⎣⎦，计算范数12||||,||||,||||A A A ∞和谱半径()A ρ。 3. 设A 是n 阶可逆矩阵，证明：对任意n 维列向量x 和y ，下述等式成立：

1

det()1det()T T A A A −+=−yx x y . 4. 从单位圆周上独立地随机选取两点A ，B ，试用几何概率方法计算：“圆心到

弦AB 的距离不小于1/2”这个事件的概率。

5. 设12,X X 独立，都服从标准正态分布(0,1)N 。记112212max{,},min{,}Y X X Y X X ==，

计算12(),()E Y E Y 。

goodgood

6.

先验证：312221(;,))()exp (),2x a x a x a x ρσσ−⎛⎞=−−−−∞<<∞⎜⎟⎝⎠，作为x 的函数

是概率密度，其中,a σ为参数，,0a σ−∞<<∞>。然后求解下述问题：设12,,...n X X X 为来自此总体的样本，

1) 求2,a σ的矩估计；

2） 写出2,a σ的极大似然估计所满足的方程，并给出一种迭代求解方法。

7. 利用奇异值分解理论，讨论下述约束最小二乘问题的解：

22min ..1A s t ⎧⎪⎨=⎪⎩x x ，其中(),m n n A R m n R ×∈≥∈x 。

8. 设n 元函数()f x 在n R 上有二阶连续偏导数。若0x 是()f x 的一个临界点并且

()f x 在0x 的Hessian 矩阵是可逆的，证明：存在0x 的一个邻域使得()f x 在该邻域内除0x 外没有其它临界点。

[提示：对

12(),(),...,()n

f f f x x x ∂∂∂∂∂∂x x x 应用中值定理]

科目名称：数学

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