高中数学 幂函数 新人教A版必修优秀课件

6.幂函数 f（x）=ax m28m （m∈Z）的图象与 x 轴和 y 轴均无交点，并且图象关于原点对称，
求 a 和 m.
答案：1. C ； 2. D ； 3. D ；4. 0, ；5. a>b>c；6. a=1，m=1，3，5，7
课堂小结：
1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别. 2.常见幂函数的图象和性质. 3. 幂函数的性质的应用.
C.当α＞0 时，幂函数 y=xα是增函数
D.函数 y=x2 既是二次函数，也是幂函数
3
3.函数 y=x 5 的图象大致是 (
)
D.y=2x
3
4．幂函数 y x 4 的单调递增区间是________.
1
1
1
5． a 1.22 ,b 0.9 2 ,c 1.12 的大小关系是________.
在（0,+∞）有定义，图象过点（1,1）；
在[0,)上是增函数 在(0,)上是减函数
图象过原点
在第一象限内，当 x 从右边趋向于 0 时，图象在 y 轴右方无限地
逼近 y 轴，当 x 趋于 时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴．
例 1 . 比较下列两个代数式值的大小：
3
(1) 2.34 ,
课后作业：
1. 课本第 79 页习题 2.3 2. 下列函数中,是幂函数的是( )
A.y=2x
B.y=2x3
3.下列结论正确的是( ) A.幂函数的图象一定过原点 C.当 α>0 时,幂函数 y=xα 是增函数
4.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是(
A.y=x3
B.y=x2
C.y= 1 x
D.y=2x
3
2.4 4 ;
3
(2)( 2) 2 ,
3
( 3) 2 ;
(3)(a 1)1.5 ,
a1.5 ;
(4)(
2
a
2
)
2 3
,
2
2 3.
分析：观察所给的两个代数式，都是幂的形式.又因为幂指数相同，而底数不同，所以 想到要利用幂函数的性质解决此类问题.
3
3
（1）解：考察幂函数 y x 4 ，因为 y x 4 在（0，+∞）上单调递增，而且 2.3<2.4,
1
y x ,y x 2 ,y x 3 ,y x 2 ,y x 1 ,y x 2 .
请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象:
总结函数性质，填写表格:
y x3 y x2
定义域 值域 奇偶性 单调性 定点
1
y x y x2
y x1
y x2
性质总结如下：
0
0
高中数学 幂函数课件 新人教A版 必修
2.3 幂函数
请大家看如下问题.并将每个问题中的 y 表示成 x 的函数.
1. 如果张红购买了每千克 1 元的水果 x 千克，那么她需要支付 y= x__ 元; 2. 如果正方形的边长为 x，那么正方形的面积 y= x_2__ ; 3. 如果立方体的边长为 x，那么立方体的体积 y= x_3__ ; 4. 如果一个正方形场地的面积为 x，那么这个正方形场地的边长 y=______ ; 5. 如果某人以 x m3/s 的速度向蓄水池注入了体积为 1m3的水，那么他注水的时间 y= x -_1__
证明：任取 x1,x2∈［0,+∞),且 x1＜x2,则
f(x1)-f(x2)=
x1 -
( x2 =
x1
x2 )( x1 x1 x2
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x2 ) =
x1 x2 , x1 x2
因为 x1-x2＜0,x1+x2＞0,所以 x1 x2 ＜0. x1 x2
所以 f(x1)<f(x2),即 f(x)= x 在［0,+∞)上是增函数.
点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f(x1)与 f(x2)的 符号要一致.
课堂巩固：
1.下列函数中，是幂函数的是(
)
1
A.y=－x 2
B.y=3x2
C.y= 1 x
2.下列结论正确的是(
)
A.幂函数的图象一定过（0，0）和
（1，1）
B.当α＜0 时，幂函数 y=xα是减函数
思考：
1.以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现几个解析 式结构上的共同特征吗？ 2.根据我们学习的函数的概念，你能否判断它们能否构成函数？是 我们学习过得哪类函数 ？如果不是，你能否根据该函数的特征给 它起个恰当的名字？
幂函数的定义（形式定义）:
一般地，形如 y x ( R) 的函数称为幂函数，其中 是常数.
所以
3
3
2.34 2.4 4 .
以
下
各
题
同
理
可
解
：
(2)(
3
3
2) 2 ( 3) 2 ;
(3)(a 1)1.5 a1.5 ;
2
2
(4)(2 a 2 )3
2 3.
2
例 2.讨论函数 y x 3 的定义域、奇偶性，作出它的图像，并根据图像说明函数的单调性。
2
解：要使 y x 3 3 x2 有意义，x 可以取任意实数，
故函数定义域为 R．
2
2
∵f（－x）＝ (x) 3 x 3 ＝f（x），
2
∴函数 y x 3 是偶函数；
x
0
yx 0
1
2
3
4
…
1 1.59 2.08 2.52 …
其图象如右图所示．
2
幂函数 y x 3 在［0，＋ ）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减．
思考与讨论
幂函数 y x ( R) ，当 1,3,5,, （正奇数）时，函数有哪些性质？
（演示画板）定义域为 R，值域为 R，是奇函数，在（-∞，+∞）上是增函数.
当 2,4,6,, （正偶数）时，这类幂函数的性质和特点，留做同学们课下讨论.
例 3.证明幂函数 f(x)= x 在［0,+∞)上是增函数.
(学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.即，证明函数的单调性一般用定义 法,有时利用复合函数的单调性.)
B.当 α<0 时,幂函数 y=xα 是减函数 D.函数 y=x2 既是二次函数,也是幂函数
)
C.y= 1 x
3
D.y=x 2
5.已知某幂函数的图象经过点(2, 2 ),则这个函数的解析式为. 1 答案：2.C 3.D 4.A 5.y=x 2