多面体与球的接切(1)概要
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的半径R及截面的半径r 有下面的关系:
r R d
2
2
一、 球体的体积与表面积
4 3 ① V球 R 3
二、 球与多面体的接、切
②
S球面 4 R
2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 。 多面体的外接球
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
求外接球的体积
，
256 V 3
、(湖南省株洲市 2008 届高三第二次质检)已知三棱锥 P — ABC 的四个顶点均 则三棱锥 P — ABC 的侧面积的最大值为 A．2 答案：A
P
在半径为 1 的球面上，且满足 PA PB 0 ， PB PC 0 ， PC PA 0 ， （ ）
C
6
3
B
A 4
（文） 16.在三棱锥 A BCD 中，侧棱 AB 、 AC 、 AD 两两
2014届邯郸市摸底考
2 3 垂直，ABC ，ACD ，ADB 的面积分别为 ， ， 2 2 6 ，则三棱锥 A BCD 的外接球的体积为___________. 2
（理）16．正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使 点 B 与点 C 间的距离为 1， 此时四面体 ABCD 外接球表面 积为____________ .
切点：各棱的中点。
球心：正方体的中心。
直径： “对棱”中点连线
球的直径等于正方体一个面上的对角线长
正方体的外接球
球直径等于正方体的（体）对角线
2R
3a
若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ a
⑵正方体的外接球直径＝
⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
问题探究二 球与长方体又有哪些位置关系？
1 D． 4
B
B．1
1 C． 2
A
B
P
C
A a b c 4 C 1 1 S侧 = （ab ac bc) (a 2 b 2 c 2 ) 2 2 2
2
2
2
6、 （ 09 、成都市调考）三棱锥 － BCD 6、 （ 09、成都市调考）三棱锥AA － BCD 的侧棱两两相等且相互垂直， 的侧棱两两相等且相互垂直， 若外接球的表面积 s＝ 8π ，则侧棱的长＝__________________ __________________； 若外接球的表面积 s＝ 8π ，则侧棱的长＝ ； 解：补形为正方体．则三棱锥 A－BCD 的外接球＝正方体的外接球＝ 正四面体 E－BCD 的外接球． 设外接球的半径为 R，由 s＝4π R ＝8 2 R 正四面体 BCD 的外接球． 设外接球的半径为 R ，由 s ＝ 4 π ＝8 2 π R＝E2－ 正方体的对角线 AE ＝ 2 ； 设三棱锥 A － BCD 的侧棱的 2 2 6 2 ； 设三棱锥 A－BCD 的侧棱的 π R＝ a2，则 AE ＝ 正方体的对角线 长＝ 3 a ＝ AE 2 ＝8 a ＝ ．
1、球与正四面体的外接问题
设棱长为a的正四面体的外接球的半径R.
6 R a 4
R OO BO2
2 2 1
2
2.球与正四面体的棱切问题
设棱长为a的正四面体的棱切球的半径R.
1 R 正方体的棱长 2 2 = a 4
3.球与正四面体的内切问题
P
1 1 V S底面积 h S全面积 r 3 3
ห้องสมุดไป่ตู้
C
B B D
A
C
球 里 面 的 内 接 圆 柱 问 题
等边三 角形
直角三 角形
等腰三 角形 120度
变 式 5 、 在 直 三 棱 柱 ABC A1 B1C1 中 ，
AB 4, AC 6, A
3
, AA1 4
A1 棱 柱 , 则 直 三
ABC A1 B1C1 的外接球的表面积_____________。
考点1
直接法
变式 1、 （1）
一个正方体的各顶点均在同一球的球面 .
上，若该正方体的表面积为 24 ，则该球的体积为
（2） 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4， 体 积为 16，则这个球的表面积为（ A. 16 B.
20
）. C. 24 D. 32
核对变式1答案
• 问题探究三 • 随着球半径的逐渐减小，球与正四面体有 哪些特殊位置关系？
28
（2）正四面体的切接问题 例 3 、 一个四面体的所有棱长都为 2 ， 四 个顶点在同一球面上， 则此球的表面积为 （ ） A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6
解：设四面体为ABCD，O1 为其外接 球心。球半径为R，O为A在平面BCD上 的射影，M为CD的中点。连结B O 1
变式（2014 邯郸质检）已知三角形 PAD 所在 平 面 与 矩 形 ABCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 ， PA=PD=AB=2,∠APD=90°，若 P、A、B、C、D 都在同一球面上， 则此球的表面积等于_________
1.已知长方形的边长是3,4，沿对角线折叠后成为三棱 锥，求三棱锥的外接球的半径。
学情分析
几何体外接球对于学生来说是一个难点，主要有 如下问题（1）图形不会画， （2）在画出图形的情况下， 不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。
二、学习目标
掌握与球有关的切接问题的三种方法。
基 础
课本导读
感悟教材 · 学与思
1．球的概念
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 球 围成的几何体叫做________, 球心 半圆的圆心叫做球的______ ， 半圆的半径叫做球的_____ 半径 。
考 点
互 动 探 究
核心突破 · 导与练
问题探究一 球心在正方体的中心，随着球的半径逐渐 增大，球与正方体有哪些特殊位置关系？
正方体
的内切、外接、棱切球
r
.
a
正方体的内切球
球的直径等于正
方体棱长。 2 R a
正方体的内切 球的半径是棱 长的一半
正方体的棱切球
球与正方体的棱相切
2R 2 a
2、 球的性质
圆面 性质1：用一个平面去截球，截面是_______ ； 圆 用一个平面去截球面， 截线是 _________ 。 球心 ，半径等于球半径； 大圆--截面过_______ 小圆--截面不过_________ 球心 垂直 性质2: 球心和截面圆心的连线____ 于截面．
性质3: 球心到截面的距离d与球
？
S底面积 h S全面积 r
O A K C
H
D B
S底面积 r 1 S全面积 h 4
1 r h 4
6 h a 3
6 r a 12
P
O
A H
K
C D B
1 6 r内 h a 4 12
3 6a r外 h= 4 4
1 r棱 正方体的棱长 2 2 = a 4
6 h a 3
D1 A1 B1
C1
D A B
C
31
（2）正四面体的切接问题 变式 3、在等腰梯形 ABCD 中， AB=2DC=2 ，
DAB=600 ，E 为 AB 的中点，将 ADE 与 BEC 分布
沿 ED 、 EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P ，则 三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为（ ）. A.
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？
R OO BO2
2 2 1
2
R OO BO2
2 2 1
2
思考：若正四面体 变成正四棱锥 ，方法是否有 变化？
典型：正四面体 ABCD的棱长为a，求 四面体与球的“接切”问题 其内切球半径r与外接球半径R.
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 一定重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
DA 平面ABC ， AB BC
则球 O 的体积等于
D D
B C
A A
举一反三：若三棱锥的三条侧棱两两垂直， 且侧棱长分别为1、2、3，则其外接球的 表面积是 . （3 ）出现线面垂直、线线垂直可以构造
S 14
例 4、已知点 A、B、C、D 在同一个球面上，
8= D A， ,3 1 2= AB C A ,6 AB 平面BCD ， BC DC 若
6 解法1：PA a AB 2a , AH a, 3 3 3 PH a OH aR 3 3 3 6 R a R a , 3 3
2 2 2
2 3 R 3 a 2 d 3 3 . 3 3
解法2：R 3 2 R 2 3 1 2 3 PH 2 R 3 3 3 OH R PH 3
4 3 27
B.
6 2
C.
6 8
D.
6 24
考点 2
构造法
（ 1） “墙角”问题，首先研究几何体的形状， 在采用相应的解决方法 例 2、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且 侧棱长均为 是 .
3 ，则其外接球的表面积
考点 2
构造法
， DA=AB=BC= 3 ，
变式 2、 已知球 O 的面上四点 A、 B、 C、 D，
长方体的外接球
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高 分别为 a、b、c，则 l a b c 2R
2 2 2
考点1
直接法
（1）若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则 该球的表面积为 . .
（2）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶 点上的三条棱长分别为 1, 2,3 ，则此球的表面积为 .
• 练习案9(2014· 石家庄二模)如图，平面四边 形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝， BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′ －BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面 体A′－BCD的顶点在同一个球面上，则该 球的体积为__________．
课堂小结
球的问题大体上可分为三类： 1、常规图形（直接法） 2、特殊图形（构造法） 3、一般图形（公式法）
2
2
解：补形为正方体．则三棱锥 A－BCD 的外接球＝正方体的外接球＝
2 6 评注：三条侧棱两两相等且相互垂直的三棱锥、正四面体、正方 长＝a ，则 3 a 2 ＝ AE 2 ＝8 a＝ 3 ．
3
评注：三条侧棱两两相等且相互垂直的三棱锥、正四面体、正方 D 体图形之间的依托关系，数量关系． A
体图形之间的依托关系，数量关系．
考点 3
利用几何性质求找球心的位置
例 5.（2012 辽宁理 16） 已知正三棱锥 P-ABC， 点 P，A，B，C 都在半径为 3 的球面上，若 PA， PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距 离为________.
（2012辽宁理16） 已知正三棱锥 P-ABC，点P，A，B， C都在半径为 3 的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂 直，则球心到截面ABC的距离为________.
7.2.2与球有关的切接问题
高考导航
考纲要求
了解球的表面积和体积的计算公式
考情分析
立体几何在高考试卷中，基本上稳定在三道试题， 两小一大，共计 22 分.小题常考两种类型，一种主要 以三视图为载体，考查学生的空间想象能力，另一种 就是球的内容，属于中档题。2010 年位居在第十题， 11 年位居在第 15 题，12 年在 11 题位置，13 年位居在 第六题的位置，14 年未考查。
S●
RtA001利用勾股定理解得R
2
A●
R ● O1
● ●
O
·
M
●
B
C
2 2 3 2 R ( R) , 解得R , 所以S球 4 R2 3 . 3 2 3
30
解法2 构造棱长为1的正方 体，如图。则A1、C1、B、D是 棱长为 2 的正四面体的顶点。 正方体的外接球也是正四面体 的外接球，此时球的直径 为 3 ， 3 2 S球 =4 ( ) 3 , 选A 2
r R d
2
2
一、 球体的体积与表面积
4 3 ① V球 R 3
二、 球与多面体的接、切
②
S球面 4 R
2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 。 多面体的外接球
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
求外接球的体积
，
256 V 3
、(湖南省株洲市 2008 届高三第二次质检)已知三棱锥 P — ABC 的四个顶点均 则三棱锥 P — ABC 的侧面积的最大值为 A．2 答案：A
P
在半径为 1 的球面上，且满足 PA PB 0 ， PB PC 0 ， PC PA 0 ， （ ）
C
6
3
B
A 4
（文） 16.在三棱锥 A BCD 中，侧棱 AB 、 AC 、 AD 两两
2014届邯郸市摸底考
2 3 垂直，ABC ，ACD ，ADB 的面积分别为 ， ， 2 2 6 ，则三棱锥 A BCD 的外接球的体积为___________. 2
（理）16．正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使 点 B 与点 C 间的距离为 1， 此时四面体 ABCD 外接球表面 积为____________ .
切点：各棱的中点。
球心：正方体的中心。
直径： “对棱”中点连线
球的直径等于正方体一个面上的对角线长
正方体的外接球
球直径等于正方体的（体）对角线
2R
3a
若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ a
⑵正方体的外接球直径＝
⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
问题探究二 球与长方体又有哪些位置关系？
1 D． 4
B
B．1
1 C． 2
A
B
P
C
A a b c 4 C 1 1 S侧 = （ab ac bc) (a 2 b 2 c 2 ) 2 2 2
2
2
2
6、 （ 09 、成都市调考）三棱锥 － BCD 6、 （ 09、成都市调考）三棱锥AA － BCD 的侧棱两两相等且相互垂直， 的侧棱两两相等且相互垂直， 若外接球的表面积 s＝ 8π ，则侧棱的长＝__________________ __________________； 若外接球的表面积 s＝ 8π ，则侧棱的长＝ ； 解：补形为正方体．则三棱锥 A－BCD 的外接球＝正方体的外接球＝ 正四面体 E－BCD 的外接球． 设外接球的半径为 R，由 s＝4π R ＝8 2 R 正四面体 BCD 的外接球． 设外接球的半径为 R ，由 s ＝ 4 π ＝8 2 π R＝E2－ 正方体的对角线 AE ＝ 2 ； 设三棱锥 A － BCD 的侧棱的 2 2 6 2 ； 设三棱锥 A－BCD 的侧棱的 π R＝ a2，则 AE ＝ 正方体的对角线 长＝ 3 a ＝ AE 2 ＝8 a ＝ ．
1、球与正四面体的外接问题
设棱长为a的正四面体的外接球的半径R.
6 R a 4
R OO BO2
2 2 1
2
2.球与正四面体的棱切问题
设棱长为a的正四面体的棱切球的半径R.
1 R 正方体的棱长 2 2 = a 4
3.球与正四面体的内切问题
P
1 1 V S底面积 h S全面积 r 3 3
ห้องสมุดไป่ตู้
C
B B D
A
C
球 里 面 的 内 接 圆 柱 问 题
等边三 角形
直角三 角形
等腰三 角形 120度
变 式 5 、 在 直 三 棱 柱 ABC A1 B1C1 中 ，
AB 4, AC 6, A
3
, AA1 4
A1 棱 柱 , 则 直 三
ABC A1 B1C1 的外接球的表面积_____________。
考点1
直接法
变式 1、 （1）
一个正方体的各顶点均在同一球的球面 .
上，若该正方体的表面积为 24 ，则该球的体积为
（2） 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4， 体 积为 16，则这个球的表面积为（ A. 16 B.
20
）. C. 24 D. 32
核对变式1答案
• 问题探究三 • 随着球半径的逐渐减小，球与正四面体有 哪些特殊位置关系？
28
（2）正四面体的切接问题 例 3 、 一个四面体的所有棱长都为 2 ， 四 个顶点在同一球面上， 则此球的表面积为 （ ） A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6
解：设四面体为ABCD，O1 为其外接 球心。球半径为R，O为A在平面BCD上 的射影，M为CD的中点。连结B O 1
变式（2014 邯郸质检）已知三角形 PAD 所在 平 面 与 矩 形 ABCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 ， PA=PD=AB=2,∠APD=90°，若 P、A、B、C、D 都在同一球面上， 则此球的表面积等于_________
1.已知长方形的边长是3,4，沿对角线折叠后成为三棱 锥，求三棱锥的外接球的半径。
学情分析
几何体外接球对于学生来说是一个难点，主要有 如下问题（1）图形不会画， （2）在画出图形的情况下， 不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。
二、学习目标
掌握与球有关的切接问题的三种方法。
基 础
课本导读
感悟教材 · 学与思
1．球的概念
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 球 围成的几何体叫做________, 球心 半圆的圆心叫做球的______ ， 半圆的半径叫做球的_____ 半径 。
考 点
互 动 探 究
核心突破 · 导与练
问题探究一 球心在正方体的中心，随着球的半径逐渐 增大，球与正方体有哪些特殊位置关系？
正方体
的内切、外接、棱切球
r
.
a
正方体的内切球
球的直径等于正
方体棱长。 2 R a
正方体的内切 球的半径是棱 长的一半
正方体的棱切球
球与正方体的棱相切
2R 2 a
2、 球的性质
圆面 性质1：用一个平面去截球，截面是_______ ； 圆 用一个平面去截球面， 截线是 _________ 。 球心 ，半径等于球半径； 大圆--截面过_______ 小圆--截面不过_________ 球心 垂直 性质2: 球心和截面圆心的连线____ 于截面．
性质3: 球心到截面的距离d与球
？
S底面积 h S全面积 r
O A K C
H
D B
S底面积 r 1 S全面积 h 4
1 r h 4
6 h a 3
6 r a 12
P
O
A H
K
C D B
1 6 r内 h a 4 12
3 6a r外 h= 4 4
1 r棱 正方体的棱长 2 2 = a 4
6 h a 3
D1 A1 B1
C1
D A B
C
31
（2）正四面体的切接问题 变式 3、在等腰梯形 ABCD 中， AB=2DC=2 ，
DAB=600 ，E 为 AB 的中点，将 ADE 与 BEC 分布
沿 ED 、 EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P ，则 三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为（ ）. A.
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？
R OO BO2
2 2 1
2
R OO BO2
2 2 1
2
思考：若正四面体 变成正四棱锥 ，方法是否有 变化？
典型：正四面体 ABCD的棱长为a，求 四面体与球的“接切”问题 其内切球半径r与外接球半径R.
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 一定重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
DA 平面ABC ， AB BC
则球 O 的体积等于
D D
B C
A A
举一反三：若三棱锥的三条侧棱两两垂直， 且侧棱长分别为1、2、3，则其外接球的 表面积是 . （3 ）出现线面垂直、线线垂直可以构造
S 14
例 4、已知点 A、B、C、D 在同一个球面上，
8= D A， ,3 1 2= AB C A ,6 AB 平面BCD ， BC DC 若
6 解法1：PA a AB 2a , AH a, 3 3 3 PH a OH aR 3 3 3 6 R a R a , 3 3
2 2 2
2 3 R 3 a 2 d 3 3 . 3 3
解法2：R 3 2 R 2 3 1 2 3 PH 2 R 3 3 3 OH R PH 3
4 3 27
B.
6 2
C.
6 8
D.
6 24
考点 2
构造法
（ 1） “墙角”问题，首先研究几何体的形状， 在采用相应的解决方法 例 2、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且 侧棱长均为 是 .
3 ，则其外接球的表面积
考点 2
构造法
， DA=AB=BC= 3 ，
变式 2、 已知球 O 的面上四点 A、 B、 C、 D，
长方体的外接球
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高 分别为 a、b、c，则 l a b c 2R
2 2 2
考点1
直接法
（1）若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则 该球的表面积为 . .
（2）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶 点上的三条棱长分别为 1, 2,3 ，则此球的表面积为 .
• 练习案9(2014· 石家庄二模)如图，平面四边 形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝， BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′ －BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面 体A′－BCD的顶点在同一个球面上，则该 球的体积为__________．
课堂小结
球的问题大体上可分为三类： 1、常规图形（直接法） 2、特殊图形（构造法） 3、一般图形（公式法）
2
2
解：补形为正方体．则三棱锥 A－BCD 的外接球＝正方体的外接球＝
2 6 评注：三条侧棱两两相等且相互垂直的三棱锥、正四面体、正方 长＝a ，则 3 a 2 ＝ AE 2 ＝8 a＝ 3 ．
3
评注：三条侧棱两两相等且相互垂直的三棱锥、正四面体、正方 D 体图形之间的依托关系，数量关系． A
体图形之间的依托关系，数量关系．
考点 3
利用几何性质求找球心的位置
例 5.（2012 辽宁理 16） 已知正三棱锥 P-ABC， 点 P，A，B，C 都在半径为 3 的球面上，若 PA， PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距 离为________.
（2012辽宁理16） 已知正三棱锥 P-ABC，点P，A，B， C都在半径为 3 的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂 直，则球心到截面ABC的距离为________.
7.2.2与球有关的切接问题
高考导航
考纲要求
了解球的表面积和体积的计算公式
考情分析
立体几何在高考试卷中，基本上稳定在三道试题， 两小一大，共计 22 分.小题常考两种类型，一种主要 以三视图为载体，考查学生的空间想象能力，另一种 就是球的内容，属于中档题。2010 年位居在第十题， 11 年位居在第 15 题，12 年在 11 题位置，13 年位居在 第六题的位置，14 年未考查。
S●
RtA001利用勾股定理解得R
2
A●
R ● O1
● ●
O
·
M
●
B
C
2 2 3 2 R ( R) , 解得R , 所以S球 4 R2 3 . 3 2 3
30
解法2 构造棱长为1的正方 体，如图。则A1、C1、B、D是 棱长为 2 的正四面体的顶点。 正方体的外接球也是正四面体 的外接球，此时球的直径 为 3 ， 3 2 S球 =4 ( ) 3 , 选A 2