上海市上海交通大学附属中学2017届高三上学期摸底考试数学试题

绝密★启用前 上海市上海交通大学附属中学2017届高三上学期摸底考试数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件 2．若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是（ ） A ．过P 只能作一条直线与平面α相交 B ．过P 可作无数条直线与平面α垂直 C ．过P 只能作一条直线与平面α平行 D ．过P 可作无数条直线与平面α平行 3．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>的图像与x 轴交点的横坐标依次构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图像沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()f x 的图像，则（ ） A ．()g x 是奇函数 B ．()g x 关于直线4πx =-对称 C ．()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．当2,x ππ⎡⎤∈时，()g x 的值域是[]2,1-

4．已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()f x 是R 上的增函数，()

()()()1g x f x f ax a =->，则（ ） A ．()sgn sgn g x x =⎡⎤⎣⎦ B ．()sgn sgn g x x =-⎡⎤⎣⎦ C ．()()sgn sgn g x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ D ．()()sgn sgn g x f x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

第II 卷（非选择题)

请点击修改第II 卷的文字说明

二、填空题

5．设全集{}1,3,5,7U =，集合{}1,5M a =-，M U ⊆，{}5,7U M =ð，则实数a 的值是____________.

6．若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =______．

7．已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为(10,0)F ，两条渐近线的方程为4

3y x =±，

则该双曲线的标准方程为 .

8．行列式240

135143

----的第2行第3列元素的代数余子式的值为______.

9．若变量,x y 满足约束条件1

211

x y x y y +≥-⎧

⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________．

10．五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有________种

11．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若1918a a +=，47a =，则8S =______. 12．设()291(21)x x ++=211

01211(2)(2)(2)a a x a x a x +++++++L ，则

01211a a a a ++++L 的值为__________．

…线…………○……线…………○…_________ 14．函数()22x x a f x a

+=-为奇函数，则实数a 的值为______. 15．关于x 的方程1x ax =+有且仅有一个负根，则实数a 的取值范围是______. 16．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM ＝2MF ，则直线OM 的斜率的最大值为________. 17．已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为__________． 18．在平面直角坐标系中，当P(x ，y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222(,)y x P x y x y -++'； 当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C '定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C '关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）. 三、解答题 19．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求角C ；（2）若c =2ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.

○……………………线…………○……………………线…………20．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，12BC CD AD ==，E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒. （Ⅰ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线//CM 平面PBE ，并说明理由；

（Ⅱ）若二面角P CD A --的大小为45︒，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值. 21．已知3a ≥，函数(){}2min 21,242F x x x ax a =--+-，其中

{},min ,,p p q

p q q p q ≤⎧=⎨>⎩.

（Ⅰ）求使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；

（Ⅱ）求()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a .

22．各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有

()21n n n S b b =+．

（1）求数列{}n b 的通项公式；

（2）如果等比数列{}n a 共有2016项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个()*1()i

i b i N -∈后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和；

（3）是否存在实数λ，使得存在*n N ∈，使不等式

()()11

82011n n n n n b n b b b λ++⎛⎫

++≤+≤+ ⎪⎝⎭成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，

请说明理由．

23．如图，已知曲线2

2

1:12x C y -=，曲线，P 是平面上一点，若存在

过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．