《二维形式的柯西不等式》教学设计

《二维形式的柯西不等式》第一课时

教学设计

1．教学目标

知识与技能

（1）认识二维柯西不等式的两种形式：○1代数形式；○2向量形式;了解它们的结构特征；（2）了解二维形式柯西不等式的证明；

（3）会利用二维形式柯西不等式进行简单证明及会求简单最值.

过程与方法

（1）理解通过讨论、探究推导二维形式柯西不等式的过程,体会类比的数学思想方法. （2）体验二维形式柯西不等式的几种重要证明方法。如借助平面向量，从数量积角度推出二维形式的柯西不等式的向量形式等.

（3）体会运用柯西不等式解决一些简单问题的一般方法——通过凑形式、凑定值的方法，建立具体问题与柯西不等式之间的联系，以柯西不等式为依据证明具体问题中的不等关系. 逐步掌握化归思想的运用。

情感、态度与价值观

（1）培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，通过研究二维形式的柯西不等式及其向量形式，体会类比、化归以及数形结合的思想；

（2）通过对二维形式和向量形式的柯西不等式探究和分析,感受数学的简洁美、对称美等形式美；

（3）通过柯西不等式的应用，使学生体会运用经典不等式的一般方法——发现并建立具体问题与经典不等式之间的联系，体验成功的喜悦，激发学生学习数学的热情，提高学生的学习兴趣。

2 学情分析

柯西不等式人教A版选修4－5不等式选讲中第三讲的内容，是学生学习平均值不等式后的又一个经典不等式，在教材中起着承前启后的广泛的作用：一方面可以巩固学生对不等式的基本证明方法的掌握，另一方面又为后面学习三角不等式、排序不等式打下了基础。本节课主要研究二维形式的柯西不等式、柯西不等式的向量形式，以及它们的几何背景。

二维形式的柯西不等式的代数表示形式与向量表示形式，是从数与形两个角度加以认识

的，通过互推可以体会两种表现形式的等价关系，也为后面引出和二维形式的三角形不等式、三维和一般形式的柯西不等式埋下伏笔。

知识基础：二维形形式的柯西不等式在必修五的习题中已经出现过，所以二维形式的柯西不等式的学习对高二的学生来讲并不困难，难在它的应用，运用柯西不等式可以解决中学数学中一些比较典型的数学问题，但相对于均值不等式，它的应用技巧性比较强，学习难度较大。

认知水平：变形是运用柯西不等式解题的重要技巧，柯西不等式形式上条件和结论都具有平方和(或非负数和) 的结构，应用时应向这一“固定”结构去努力。学习中，要在“为什么要这样变形”上多思考，认识如此变形的合理性和必要性，从而掌握一些基本的常用的变形方法和技巧，培养运用适当变形手段解决问题的能力。和均值不等式的运用条件类似，运用柯西不等式证明不等式或求最值，要注意验证等号能否成立。

3 重点难点

重点：通过类比，探究并发现柯西不等式；二维代数形式和向量形式的柯西不等式的推导及应用。从特殊到一般的认识规律。

难点：数形结合地认识二维形式的柯西不等式的代数表示形式与向量表示形式的等价关系。柯西不等式常与不等式的性质结合证明不等式及求最值。

易错点：等号成立的条件。

易混点：柯西不等式及其推论的结构特点。

教学重点：二维柯西不等式的两种形式及其证明：○

1代数形式；○2向量形式。 教学难点：⑴柯西不等式的证明思路；⑵运用柯西不等式解决简单的问题的技巧。 4 教学过程及内容：

活动1 以旧引新，问题导入

1.通过一个视频短片，了解数学家柯西，激发学生的兴趣，调动学生积极性和求知欲。

2.通过基本不等式222a b ab +≥引出平方和与乘积的关系，直接引入主题2222()()(,,,)a b c d a b c d ++为实数：

结论 222a b ab +≥

问题预设：配方的结果不唯一，得到的不等式也不唯一，这时，让学生通过自己的观察，那个形势最简洁，最有利于记忆。

活动2 讲解二维柯西不等式定理的发现过程，并通过类比，给出相关推论：

【问题】通过观察，你能说说这个不等式有什么特点吗？

1.二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系：平方和的积不小于积的和的平方。

2.等号成立的条件ad bc =，可以用两个向量平行的等价条件来记忆。

观察不等式的简洁性，对称性，体会数学形式的美

。3. 探究二维形式的柯西不等式的证明过程。

定理一（二维形式的柯西不等式）：

若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+

当且仅当0ad bc -=时，等号成立。

证明方法的发现：

方法一：证明不等式的常规方法——作差法，也是学生最容易想到的。 方法二：向量法：这个方法学生不容易想到，老师需要引导学生展开联想，由等号成立的条件出发，通过类比平面向量共线的充要条件，引出向量思想，然后构造向量，获得思路。随着证明过程的一步步深入，解决逐步暴露的矛盾，直至形成完善的证明过程。

方法三：利用垂线段最短的思路，构造点线距和点点距的不等关系，得到证明。 这里根据时间在设计研究性学习题目：探究证明二维形式的柯西不等式的方法。

4.重新回顾定理的证明过程，得到：

定理二（柯西不等式的向量形式）：设 ,αβ是两个向量，则αβαβ≤，

当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使得k αβ=时，等号成立。

又称之为Cauchy-Schwarz 不等式。

1.讲解柯西不等式的向量形式：

在平面直角坐标系中，(,),(,),a b c d αβ==

,[0,]θαβπ=<>∈，则

||||cos ac bd αβαβθ==+ 又222||,||a b c d αβ=+=+

而|||||||cos |||||αβαβθαβ=≤

即||ac bd +≤当且仅当,αβ共线时，等号成立，即ad bc =

2.总结代数形式的柯西不等式和向量形式的柯西不等式，注意提醒学生等号成立的条件。 说明：向量是代数和几何连接的桥梁，向量法所体现的是一种数形结合的数学思想。应主动地培养自身的数学素养，为终身发展奠定基础！

3.定理一的等价转换

推论：若,,,a b c d 都是非负实数，则2()()a b c d +⋅+≥.

当且仅当ad bc =时等号成立.

问题预设：在发现定理的推论时，学生还会发现一些其它的结论，在第二课时专门留一个时间段，展示这些结果，以拓宽视野，激发兴趣。

活动3 简单应用， 熟悉定理

1．应用柯西不等式填空：

()()()2

222212________a b ++≥+， ()()()

2222221________a b ++≥+， 思考不等式左侧的一致性，启发学生思维，灵活应用柯西不等式。 ()()()22223________x y ++≥+，

()()()22223________x y xm yn ++≥+，

2.典例讲解： 例1 已知,a b 为实数，证明：4422332()()()a b a b a b ++≥+

证明过程见课件。（学生自己完成证明过程）

例2 设,R 1,a b a b +∈+=，求证：114a b

+≥。 师生共同探究思路——构造成柯西不等式的形式；