第5章 图像数学形态学处理(上课用)

A B = ∅
5.2 数学基础
•补集 •差集 Ac={a|a ∉ A} A–B={c|c∈A,c∉B}=A∩Bc
∧
•反射（相对某个中心点） A = {x | x = −a, a ∈ A} •移位
( A) y = {x | x = a + y, 百度文库 ∈ A}
5.2 数学基础
集合关系的图形表示：并、交、补、减(union, intersection, complement, difference)
5.4 二值形态学图像处理基本操作


边界抽取 (Boundary Extraction) 区域填充 (Region Filling) 连接分量提取 (Extraction of Connected Components) 凸壳算法 (Convex Hull) 细化 (Thinning) 粗化 (Thickening) 骨架 (Skeletons) 修剪 (Pruning)
5.4.1 边界抽取(Boundary Extraction)
令集A的边界为β(A), 其可以用某一合适的结构元素B对A先 进行腐蚀，然后再把A减去腐蚀的结果来获得。
β ( A) = A − ( A B)
图例说明（阴影表示1，白色表示0），当结构元素大小为 3×3时，边界厚度为1象素。结构元素大小为5×5时，将得 到2到3个像素宽的边界。
5.2 数学基础
逻辑操作图形表示
5.3 二值形态学基本运算

膨胀 (dilation) 腐蚀 (erosion) 开和闭 (opening and closing) 击中与否变换 (hit-or-miss)
5.3.1 膨胀运算(Dilation)
定义：
A = ⊕B ˆ ) ∩ A ≠ ∅} {z (B
5.2 数学基础
集合论的一些基本概念：

A 为二维空间Z2中的一个集合, Z：整数集 a = (a1, a2) 为A中的一个元素 a ∈ A a 不是 A的元素 空集合: ∅


a∉ A

5.2 数学基础

A 是B的子集 集合的并运算
A⊆ B
C = A B
A⊂ B


集合的交运算 C = A B A与B不相交
形态学图像变换中结构元选取的原则
在形态学算法设计中，结构元的选择十分重要， 其形状、尺寸的选择是能否有效提取信息的关键。 选择的几个基本原则：
①结构元必须在几何上比原图像简单，且有界。 ②结构元的凸性很重要，对非凸子集，由于连接两点 的线段大部分位于集合的外面，故用非凸子集作为 结构元将得不到什么信息。
闭运算的几何解释
B在A的边界外部转动时，当且仅当对包含w的(B)z进行的 所有平移都满足(B)z∩A≠Ø时，点w是A·B的一个元素。
就像腐蚀和膨胀的关系一样，开和闭也是关于集合补和反转的对偶。
ˆ) ( A • B)c = ( Ac B
5.3.3 开和闭运算(Opening and Closing)
发展历史（1）
• 60年代：孕育和形成
–1964诞生，法国学者Serra对铁矿石的岩相进行定量分析，以预 测铁矿石的可轧性。同时，Matheron研究了多孔介质的几何结 构、渗透性及二者的关系，二者的研究直接导致数学形态学雏 形的形成。 1966 年命名 Mathematical Morphology 。 1968 年在 法国成立枫丹白露(Fontainebleau)数学形态学研究中心。
( A) y = {x | x = a + y, a ∈ A}
集合的平移图示
5.2 数学基础
二值图像中的基本逻辑操作
三种最基本的逻辑运算（功能完整的）：与(NAD)、或(OR)、 非（补,NOT）
逻辑操作与集合操作间存在一一对应的关系，逻辑操作只是针 对二进制变量进行运算。 异或运算(XOR operation)：当两个像素的值不同时结果为1， 否则为0。 非与运算(NOT-AND operation)：对第一个像素求“非运算”， 再与另一像素“与”运算。
• 70年代：充实和发展期
–1973 年，Matheron 的《随机集和积分几何》为数学形态学奠定 了基础。 –未引起信号图像处理方面重视，多为自然科学家，独立思维开 拓图像分析一个新的领域。
发展历史（2）
80年代：成熟和对外开放期
1982 由 Serra 主 编 完 成 的 《Image Analysis and Mathematical Morphology》是里程碑，表明数学形态学在理 论上已趋于完备。此后，该书的第二版和第三版相继出版。 1986 ， CVGIP （ computer vision graphics and image processing) 发表了MM专辑，使MM的研究呈现新景象。提出基 于MM的纹理分析模型系列。
5.3.2 腐蚀运算(Erosion)
腐蚀过程 解释图示
5.3.2 腐蚀运算(Erosion)
腐蚀操作应用举例：消除二值图像中的不相关细节
本例中“细节”是从尺寸大小的角度讲的。

膨胀运算与腐蚀运算的对偶性
膨胀和腐蚀对于集合求补运算和反射运算是彼此 对偶的。即：
( A ⊕ B) c = Ac Θ B
相当于先用结构元B对A腐蚀，再对腐蚀结果用同样的结构元 进行膨胀操作。开运算也可以通过下面的拟合过程来表示：
A B = ∪ {( B) z ( Bz ) ⊆ A}
基本属性： ① 开的结果是A的子集； ② 如C是D的子集，则C与B开的结果是D与B开运算结果的子集； ③ 对同样的A，进行多次开运算的结果与一次是一样的。
第5章 图像数学形态学处理
浙江理工大学 信电学院 数字媒体技术专业
主要内容

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
数学形态学的发展历史及基本概念 数学基础 形态学基本运算 二值形态学图像处理基本操作 灰度图像形态学处理基本操作 总结
5.1 数学形态学历史及基本概念
形态学：通常指生物学中对动植物的形状和结构进行处理的一
∧
( AΘB ) = A ⊕ B
c c
∧
也即：对目标图像的膨胀运算，相当于对图像背景 的腐蚀运算；对目标图像的腐蚀运算，相当于对 图像背景的膨胀运算。
膨胀运算与腐蚀运算的对偶性－示例
2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2
5.3.3 开和闭运算(Opening and Closing)
开运算的几何解释
可见，开运算的边界是由这样一些点组成的，就是当B沿A的内部 边界滚动时，B中所能达到的A的内部边界的最远的点。
5.3.3 开和闭运算(Opening and Closing)
闭运算(Closing)：
A • B = ( A ⊕ B) B
5.2 数学基础

集合的反射(The reflection of set)：由集合A中 所有元素相对于原点的反射元素组成的集合称为集 ∧ 合A的反射，表示为 A 。
∧
A = {x | x = −a, a ∈ A}
集合的反射图示
5.2 数学基础

集合的平移(The translation of set)：由集合A 中所有元素平移y=(y1，y2)后组成的集合称为集 合A的平移，记为( A) y 。
开、闭运算的基本作用
从开、闭运算的基本定义和运行过程可以看出， 这两种集合操作所能导致的大致效果如下：
开运算通常对图像轮廓进行平滑，使狭窄的“地峡”形 状断开，去掉细的突起。 闭运算也是趋向于平滑图像的轮廓，但与开运算相反， 它一般使窄的断开部位和细长的沟熔合，填补轮廓上的间 隙。
5.3.3 开和闭运算(Opening and Closing)

使用条件：只有在两个或更多对象构成彼此不相交(不连通) 的集合时，这些对象才是可区分的。要保证这个假设，需要 在每个对象周围至少被一圈一个像素宽的背景围绕的条件。
5.3.4 击中与否变换(The Hit-or-Miss Transformation)
（a）集合A。 （b）窗口W 和与W有关的X的 局部背景（W-X）。 （c）A的补集。 （d）用X对A腐蚀，结果可以 看作X的所有原点位置的集合。 （e）用（W-X）对A的补集腐 蚀，可以看作X的背景击中A 所得到的集合。 （f）（d）和（e）的交集， 显示了我们希望得到的X的原 点位置。
开、闭运算的 图形解释
开、闭运算进行形态学滤波举例：指纹噪声消除
过程：先开后闭，开消除噪声，闭修复开运算造成的指纹断裂。
5.3.4 击中与否变换 (The Hit-or-Miss Transformation)
形态学击中与否变换是形状检测的基本工具。其定义为：

如果B表示由X和X的背景(W-X)构成的集合，则在A中对B进 行的匹配（击中）表示为： 推广：B=(B1,B2),B1与对象有关，B2与相应背景有关，根 据上面的讨论，B1=X，B2=(W-X)
相当于先用结构元B对A进行膨胀，再对膨胀结果用同样的结 构元进行腐蚀操作，过程与开运算正好相反。 基本属性： ① A是闭运算结果的子集； ② 如C是D的子集，则C与B闭作用的结果是D与B闭运算结果 的子集； ③ 对同样的A，进行多次闭运算的结果与一次是一样的。
5.3.3 开和闭运算(Opening and Closing)
AΘB
1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1 1
∧
1 1 1
(e) A 的补 A
c
(f) B 的反射 B (g)腐蚀
A ΘB
c
(h)膨胀 A
c
⊕B
∧
5.3.3 开和闭运算(Opening and Closing)
开运算(Opening)：
= A B ( A B) ⊕ B
(a)目标图像
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
1 1 1 1 1 1
(b)结构元素 B
(c)膨胀 A ⊕ B
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∧
(d)腐蚀
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2
z
假定A和B是Z2上的两个集合，把A被B（结构元素）膨胀定义为：
含义：膨胀结果是这样一个由移位元素z组成的集合，以至B 相对于自身原点的反射对这些元素移位操作的结果与A至少 重叠一个元素，因此也可以表示成： ˆ ) ∩ A] ⊆ A A= ⊕ B z [( B
{
z
}
这里，结构元B也可以称为卷积掩码，因为膨胀的操作过程 和线性卷积过程很类似。
90年代至今：扩展期
在模式识别，编码，运动分析，运动景物描述、放射医学、工 业控制等方面取得进展，及用于数值函数的形态学算子开发等。
形态学图像分析的基本步骤
① 提取所要描述的物体几何结构模式，即提取几何结构特征； ② 根据结构模式选择相应的结构元素（简单又有最强的表现 力）； ③ 用选定的结构元对图像实行击中与否（HMT）变换，便得到 比原始图像更显著突出物体特征信息的图像。如赋予相应变 量，还可得到定量描述； ④ 经过形态学变换后的图像突出我们所需的信息，从而可以方 便提取信息。 可见，HMT是MM图像分析的核心运算。
个分支。
数学形态学(mathematical morphology, MM)：是根据形态
学概念发展而来具有严格数学理论基础的科学，并在图像处理和模 式识别领域得到了成功应用。除了通常作为一种抽取图像中区域形 状特征，如边界、骨骼和凸壳等的工具外，也经常用于图像的预处 理和后处理，如：形态学滤波、细化和修剪等。
5.4.1 边界抽取(Boundary Extraction)
应用实例：人形上半身图像侧面轮廓提取
(a)一幅二值图像，用1表示为白色，(b) 提取边界的结果
5.4.2 区域填充(Region Filling)

区域填充是以集合的膨胀、求补和交集为基础。目的 是从边界内的一个点开始，用1填充整个区域。 A表示一个包含子集的集合，其子集的元素均是区 域的8连通边界点，将所有非边界(背景)点标记为0， 则以将1赋给p点（边界内的点）开始。将整个区域用1 填充：
5.3.1 膨胀运算(Dilation)
膨胀过程 解释图示
5.3.1 膨胀运算(Dilation)
膨胀操作应用举例：桥接断裂图像间的间隙
5.3.2 腐蚀运算(Erosion)
定义： 假定A和B是Z2上的两个集合，把A被B腐蚀定义为：
= A B
{ z ( B)
z
⊆ A}
含义：在B完全包括在A中时，B的原点位置的集合。