分部积分法讨论

分部积分的计算方法

§7.2分部积分法与换元积分法 (一) 教学目的：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法． (二) 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法． ———————————————————————— 如何计算不定积分 ?xdx 2cos ？我们知道， ?+=C x xdx sin cos ，那么是否有 C x xdx +=?2sin 2cos ？显然不对。计算不定积分，仅有直接积分法还是不行的。如?xdx 2cos 、?xdx ln 、? xdx tan 等积分就不能直接积分，下面探讨其它的计算不定积分的方法。一、换元积分法 1．凑微分法定理1（第一换元积分法）若函数)(x u φ=在[a,b]可导，且βφα≤≤)(x ，],[βα∈?u ，有 )()(x f x F ='，则函数)()]([x x f φφ'存在原函数)]([x F φ，即 C x F dx x x f +='?)]([)()]([φφφ **具体应用此定理计算不定积分时，其过程是这样的： ???+====+======'==C x F C u F du u f x d x f dx x x f x u x u )]([)()()()]([)()]([) ()(φφφφφφφ 例7．求 ? +dx x 3 5 分析：我们有公式 ? +=C x dx x 34 3 4 3 ，而上述积分中被积函数根号里面还要加5，不能直接用公式。为了能用公式计算，进行凑微分： )5(+=x d dx 解： C x C u du u x d x dx x x u x u ++====+=====++=+? ?? +=+=34 53 4 3 5 3 3 )5(4 343)5(55 例8．求? +dx x )85sin( 分析：为了能应用公式计算，进行凑微分：)85(51 += x d dx 解：???+=====++=+udu x d x dx x x u sin 5 1)85()85sin(51 )85sin(85 C x C u x u ++-====+-=+=)85cos(5 1 cos 5185 一般地，在计算积分的时候，有时为了化为能用公式计算，我们常根据需要作下面的凑微分公式：（1）)()(1 )(b ax d b ax f a dx b ax f ++= +

分部积分法顺序口诀

分部积分法顺序口诀它的主要原理是利用两个相乘函数的微分公式，将所要求的积分转化为另外较为简单的函数的积分。根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。三角函数：是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。分部积分法它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。其主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。三角函数的反函数因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x 对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。不定积分的公式 1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数

分部积分法教案

分部积分法教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。重点：分部积分法及其应用难点：在分部积分法中，要恰当的选取U和v 教学方法：讲练法 0回顾上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、一换元积分法(凑微法)③熟练、灵活的运用第二换元积分法。凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分； f(x)dx f [ (x)] '(x)dx f[ (x)]d[ (x)] 令u (x) f (u)du F(u) C F[ (x)] C 第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换x (t)，使得难求的积分易求 f (x)dx 令x (t) f[ (t)]'⑴dt f[ (t)]d (t) F[ (t)] C F(x) C 1引入用我们已经掌握的方法求不定积分x cosxdx 分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。 ②凑微法失效。x cosx ③第 — 1类换兀积分法解：不妨设cosx t则x arccost 原方程t arccost 1-dt 更为复杂 -1 t 所以凑微法和第二换元积分法都失效。反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：(假设u、已知: (u v)' u'v uv' 灵活的运用第v为两个函数)

对上式两边积分得：uv u'vdx uv'dx 观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：uv'dx中v'为导数形式。故，我们可以尝试来解一下上面的积分。 x cosxdx 先要化的和要求积分的形式一样 x(sin x)'dx xsi nx x'si nxdx xsinx cosx C 真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。 2公式 2.1定理设函数u u(x)和v v(x)及都具有连续的导数，则有分部积分公式: uv'dx uv u'vdx (或udv uv vdu) 说明：①两函数的积分等于将其中一个放在d里后，里外相乘减去换位的积分。 ②内外积减去换位“积”。 ③步骤：a放d中，b、套公式。 2.2例1求不定积分x sinxdx 解：x sin xdx x sin xdx xd(cos x)①放d中 xcosx cos xdx②套公式 xcosx sin x C 3 U、V的选取问题例2求不定积分e x xdx 解：e x xdx x 1 2、 e d(-x ) 2 1 2 x 1 2. x x e x de 2 2 1 2 x 1 x 2 , x e e x dx 2 2 移项得: uv'dx uv u'vdx

分部积分法的二个经验

分部积分法的二个经验一、u 和v / 的选择我们知道，用分部积分公式求积分时，主要是选好 u 与 v ，这里介绍一种经验顺序，取名“反对幂指三”经验顺序。“反对幂指三”是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数这五类函数的简称。其意是说，如果用分部积分法求不定积分，而被积函数 f (x )恰是这五类函数中任意两个函数的乘积时，则按“反对幂指三”的顺序，次序在前的取为u ,次序在后的取为 v’ 进行分部，这样通常能解决问题。这便是经验顺序。例1 求 ∫ =dx xe I x 解被积函数是“幂指”型，因指数函数排在幂函数之后，按经验顺序，取为v /，即 x e ∫ =x xde I 例2 求 ∫ =xdx x I cos 解这是“幂三”型，cos x 应取为v /，即 ∫ =x d x I sin 例3 例3 求 ∫ =dx x x I 2sin cos ln 解这是“对三”型，应将“三”取为v /，即 ∫ ?=)cot (cos ln x d x I 要注意，在许多情况下，这个经验顺序是行之有效的，但并非严格的理论，因而不能将它作为不变的教条。例如，求 ∫ +=dx x xe I x 2)1( 这是“幂指”型．若按经验顺序，取为v /，则 x e ∫ ∫+??+=+=dx e x x e x x de x x I x x x 322)1(1)1()1( 所得新积分反而比原积分更复杂。这时，应考虑取“幂”为v /，即 C x e C e x xe e x d x x xe x d xe I x x x x x x ++=+++?=+++?=+?=∫ ∫11)(111)11( 二、关于连续多次分部积分的使用在用求积分时，可能会出现多次使用分部积分法的情况，例如

分部积分法word版

4.3 分部积分法前面介绍的基本积分法和换元积分法的共同特点是经过适当的变形或变换，将不易计算的不定积分转化为易于计算的另一种不定积分，达到化难为易，化未知为已知的目的．现在我们介绍另一种求不定积分的方法——分部积分法，用于求两种不同类型函数乘积的不定积分，这是与两个函数乘积的导数法则对应的积分方法．设函数)(x u u =，)(x v v =具有连续导数，因为两个函数乘积的导数公式为 v u v u uv '+'=')( 或 v u uv v u '-'=')( 于是，对上式两边求不定积分，得 ???'-'='vdx u dx uv dx v u )( 即 ??'-='vdx u uv dx v u （4.3.1）或 ??-=vdu uv udv (4.3.2) 上述公式叫做分部积分公式．例如： C e xe dx e xe de x dx xe x x x x x x +-=-==??? 【注】：（1）分部积分法主要用于解决被积函数是两类不同类型函数的乘积的不定积分。如 dx xe x ?，dx x x ?sin ，dx x x ?ln ，dx x e x ?sin 等等。（2）关键是选择合适的u 和dv ，选取原则：（a ）v 要容易求出。（b ） du v ?比dv u ?容易求出。例如： x x x x de x e x x d e dx xe ??? -=??? ??=222212 1 21 不合适。（3）步骤：运用分部积分公式求不定积分?dx x f )(的主要步骤是把被积函数)(x f 分解为两部分因式相乘的形式，其中一部分因式看作ｕ，另一部分因式看作v '，而后套用公式，这样就把求不定积分?'dx v u 的问题转化为求不定积分?'vdx u 的问题． ()dx x f ? ()()dx x v x u ?'= 确定()x u 和() x v '

公开课(分部积分法)教案

《高职数学》公开课教案课题：§ 4.4 分部积分法课型：讲授教学目的、要求：理解分部积分法的思想方法，正确选取u 、dv ，熟练掌握分部积分法公式教学重点、难点：分部积分法及其应用,恰当选取u 、dv 教学内容：一、分部积分法设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为 '+'='uv u (uv)v 移项得 v '-'='u (uv)uv 对这个等式两边求不定积分, 得 ??'-='v d x u uv dx v u , 或??-=vdu uv udv ,称为不定积分的分部积分公式。二、例题例1 C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==??? 例2 ???-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cos C x x x ++=c o s s i n . 利用这个公式的关键在于选取适当的u 和dv 选取的一般原则:1.v 容易求得(凑微分法); 2.u vd ?比?udv 容易求. 例3求 ?dx e x x 2 解： x x de x dx e x ? ?=22 C e xe e x dx e xe e x dx xe e x dx e e x x x x x x x x x x x ++-=--=-=-=???22) (222222 2

例4求 ?xdx x arctan 解： ??= 2arctan 2 1arctan xdx xdx x [][] C x x x x dx x x x dx x x x x x d x x x ++-=?? ????+--=??????+-=-=???arctan arctan 2 1)111(arctan 211arctan 21arctan arctan 2122222222 例5 34434411111ln ln ()ln ln 444416 x x xd x x x x dx x x x C ==-=-+蝌? 分部积分法的使用技巧 (1)被积函数是两个不同类型函数的乘积； (2)u 的选取按“反、对、幂、三、指”顺序。例6求xdx e x sin ?. 解因为???-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin ??-=-=x x x x x d e x e x d x e x e c o s s i n c o s s i n ?+-=x d e x e x e x x x c o s c o s s i n ?--=xdx e x e x e x x x sin cos sin , 所以 C x x e xdx e x x +-= ?)cos (sin 21sin . 练习: (1) (2)xdx x ln 2? 例7 求 ?dx e x 解：令 t x =，则 2t x =，tdt dx 2=，因此 []C x e C e te dt te tdt e dx e x t t t t x +-=+-===???)1(2 2 2 2

分部积分法顺序口诀

分部积分法顺序口诀对于分部积分法，很多小伙伴在学习时感到很烦恼，老是记不住，小编整理了口诀，希望能帮助到你。一、口诀 “反对不要碰，三指动一动”（这是对两个函数相乘里面含有幂函数而言），反——反三角函数对——对数函数三——三角函数指——指数函数(幂函数)。将分部积分的顺序整理为口诀:“反对幂指三”。（分别代指五类基本函数:反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。）反>对>幂>三>指就是分部积分法的要领当出现两种函数相乘时指数函数必然放到( )中然后再用分部积分法拆开算而反三角函数不需要动再具体点就是：反*对->反(对) 反*幂->反(幂) 对*幂->对(幂) 二、相关知识（一）不定积分的公式 1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-1 3、∫1/x dx = ln|x| + C 4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠1 5、∫e^x dx = e^x + C 6、∫cosx dx = sinx + C 7、∫sinx dx = - cosx + C 8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C （二）求不定积分的方法：第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）

常用求导积分公式及不定积分基本方法

常用求导积分公式及不定积分基本方法 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '=二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+= + =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+? 6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 21d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+

分部积分法顺序口诀

不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。 5 本词条无参考资料, 欢迎各位编辑词条，额外获取5个金币。基本信息中文名称分布积分法外文名称 Integration by parts 目录 1定义 2应用折叠编辑本段定义

不便于进行换元的组合分成两部份进行积分部积分法分部积分法分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。折叠编辑本段应用在不定积分上的应用具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组分部积分法分部积分法成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv

移项后，成为：udv = d(uv) -vdu 两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu 例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。在定积分上的应用与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a =[u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx]b/a =[u(x)-v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u'(x)dx 简记作∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu 例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。

求积分的几种常规方法

合肥学院论文求积分的若干方法姓名：陈涛学号：1506011005 学院：合肥学院专业：机械设计制造及其自动化老师：左功武完成时间： 2015年12月29日

求积分的几种常规方法陈涛摘要:数学分析中，不定积分是求导问题的逆运算，而且是联系微分学和积分学的一条纽带。为灵活运用积分方法求不定积分，本文介绍了求积分的几种重要方法和常用技巧，讨论和分析了求积分的几种方法：直接积分法，换元积分法，分部积分法以及有理函数积分的待定系数法，对于快速求不定积分有重要意义，适当的运用积分方法求不定积分，才可以简捷，准确。关键词：定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法引言数学分析是师范大学数学专业必修专业课，微分和积分都是数学分析的重点，而不定积分是积分学的基础，更是关键，直接关系到学习数学的重点。其任务是掌握逻辑思维方法和提高使用数学手段解决问题的能力。一般地，求不定积分要比求导数难很多，运用积分法则和积分公式只能解决一些简单的积分，更多的不定积分要因函数的不同形式和不同类型选用不同的方法，巧妙运用恰当的方法，可以化难为易，从而简单、快捷、准确的求出不定积分。本文为解决求积分的困难问题给出了相应的解决方法，帮助理解不定积分。 1 积分的概念设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分(indefinite integral)。记作∫f(x)dx。其中∫叫做积分号(integral sign)，f(x)叫做被积函数(integrand)，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式， C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。 1.1 不定积分

分部积分法顺序口诀

分部积分法顺序口诀分部积分法顺序口诀为”反对幂指三“，分别对应反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的第一个字。分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型。使用步骤： 1. 首先将分部积分公式写出来 2. 题目原本是对x求积分，需要换成对x的平方求积分 3. 然后用分部积分公式将积分展开 4. 再对积分函数有理化 5．然后列项，使得积分函数很容易求出 6. 接着可以求出积分，注意不要遗漏了常数C 7. 最后合并同类项，整理式子函数概括

（1）三角函数：是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。（2）反三角函数：反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切，反正割，反余割为x的角。（3）对数函数：对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。（4）幂函数：函数是基本初等函数之一。一般地，y=xα的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1等都是幂函数。（5）指数函数: 指数函数是基本初等函数之一。一般地，y=ax函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R 。注意，在指数函数的定义表达式中，在ax前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数

常用求导积分公式及不定积分基本方法

常用求导积分公式及不定积分基本方法 Prepared on 22 November 2020

换元积分法与分部积分法

8.2 换元积分法与分部积分法（4时）【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。【教学重点】换元积分法和分步积分法。【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。【教学过程】一换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法．定理8．4(换元积分法) 设g(u )在[]βα,上有定义，)(x u ?=在[]b a ,上可导，且 []b a x x ,,)(∈≤≤β?α，并记 [].,),())(()(b a x x x g x f ∈'=?? (i)若)(u g 在[]βα,上存在原函数)(u G ，则)(x f 在[]b a ,上也存在原函数 C x G x F x F +=))(()(),(?，即 ???='=du u g dx x x g dx x f )()())(()(?? .))(()(C x G C u G +=+? (ii) 又若[],,,0)(b a x x ∈≠'?则上述命题(i)可逆，即当)(x f 在[]b a ,上存在原函数F(x )时，g(u )在[βα,]上也存在原函数G(u )，且G(u )=C u F +-))((1 ?，即 ???='=dx x f dx x x g du u g )()())(()(??． .))(()(1 C u F C x F +=+=-? 证（i ）用复合函数求导法进行验证： )())(())((x x G x G dx d ???''= ).()())((x f x x g ='?? 所以)(x f 以))((x G ?为其原函数，(1)式成立． ( ii ) 在0)(≠'x ?的条件下，)(x u ?=存在反函数)(1 u x -=?，且 .) (1) (1u x x du dx -='= ?? 于是又能验证（2）式成立： ) (1)()(1)())((1x x f x x F u F du d ???'?='?'=-

工程力学公式+微积分公式+高等数学公式汇总

公式： 1、轴向拉压杆件截面正应力N F A σ=，强度校核max []σσ≤ 2、轴向拉压杆件变形Ni i i F l l EA ?=∑ 3、伸长率：1100%l l l δ-= ?断面收缩率：1 100%A A A ψ-=? 4、胡克定律：E σε=，泊松比：'ευε=-，剪切胡克定律：G τγ= 5、扭转切应力表达式：T I ρ ρ τρ=，最大切应力：max P P T T R I W τ= =， 4 4 (1)32 P d I πα= -，3 4(1)16 P d W πα= -，强度校核：max max []P T W ττ= ≤ 6、单位扭转角：P d T dx GI ?θ= =，刚度校核：max max []P T GI θθ= ≤，长度为l 的一段轴两截面之间的相对扭转角P Tl GI ?= ，扭转外力偶的计算公式： ()(/min) 9549 KW r p Me n = 7、薄壁圆管的扭转切应力：202T R τπδ = 8、平面应力状态下斜截面应力的一般公式： cos 2sin 22 2 x y x y x ασσσσσατα+-= + -，sin 2cos 22 x y x ασστατα-= + 9、平面应力状态三个主应力： '2 x y σσσ+= ，''2 x y σσσ+= '''0σ= 最大切应力max ''' 2 σστ-=± =，最大正应力方位 02tan 2x x y τασσ=- -

10、第三和第四强度理论：3r σ= 4r σ=11、平面弯曲杆件正应力：Z My I σ =，截面上下对称时，Z M W σ = 矩形的惯性矩表达式：3 12Z bh I = 圆形的惯性矩表达式： 4 4(1)64Z d I πα= - 矩形的抗扭截面系数：2 6 Z bh W = ，圆形的抗扭截面系数：3 4(1)32 Z d W πα= - 13、平面弯曲杆件横截面上的最大切应力：max max *S z S Z F S F K bI A τ= = 14、平面弯曲杆件的强度校核：（1）弯曲正应力max []t t σσ≤，max []c c σσ≤ （2）弯曲切应力max []ττ≤（3）第三类危险点：第三和第四强度理论 15、平面弯曲杆件刚度校核：叠加法 max []w w l l ≤，max []θθ≤ 16、（1）轴向载荷与横向载荷联合作用强度： max max min ()N Z F M A W σσ=± （2）偏心拉伸(偏心压缩)：max min ()N Z F F A W δ σσ=± （3）弯扭变形杆件的强度计算：有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦）一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? L L （系数不为0的情况）二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）limarctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0lim 1x x x + →=

定积分换元法与分部积分法习题教学文稿

定积分换元法与分部积分法习题

1 ?计算下列定积分: ⑴ g 3)dx；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式【解法二】化到 sin( x 3 )dx sin(x 3 3 [cos( 应用定积分换元法于是有 dx ； 2(11 5x)3；【解法一】应用牛顿 u，则dx du ， sin(x )dx 3 3 [cos 3 -莱布尼兹公式 1 dx 2(11 5x)31 (1 1 2 【解法二】应用定积分换元法令11 5x u，变化到16,于是有 1 dx 3 2(11 5x) 3)d(x 3)cos(x 3) cos(—一)] [ cos 3 3 3 当x从3单调变化到 4 2 3sinudu 3 (cos3)] 3 5x) 3d(11 1^(11 5 1 1)2 cosu 4 3 2 3 5x) 1(11 2 (11 5 2)2] 则dx 1du， 5 (cos )] 。 3 2 时，u从3单调变 [cos4 3 cos2] 3 5x) 2 1( 12 1) 10 162 51 512 当x从2单调变化到1时，u从1单调 16 u 1 3du 1 5 2 16 1 1o（卡1）誥。

⑶ 0%in cos 1 2 3 d ；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 1 4 4 [cos cos 0] 4 2 【解法二】应用定积分换元法单调变化到0,于是有 ⑷ o (1 sin 3 )d ；由于1是独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对 sin 3 d 的积分, 这是正、余弦的奇数次幕的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分： sin d d cos ，余下的sin 2 1 cos 2 ，这样得到的 1 -cos 3 1] 令cos u ， sin du ，单调变化到 2时，u 从1 2 sin cos 3 :u 3du 0u 3 du (1 cos 2 )d cos 便为变量代换做好了准备。具体的变换方式有如下两种: 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3 0 (1 sin )d 1d °sin 2 sin d 0 o (1 cos 2 )d cos (cos (cos cos0) 1 (cos 3 3 cos 3 0) 【解法二】应用定积分换元法 1) 1(1 1) 2 ? 3 2 sin cos d 2 3 2 cos dcos 1 4 cos 4 【解】被积式为(1 sin 3 )d ，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。

换元积分法与分部积分法

换元积分法与分部积分法Newly compiled on November 23, 2020

换元积分法与分部积分法（4时）【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。【教学重点】换元积分法和分步积分法。【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。【教学过程】一换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法．定理8．4(换元积分法) 设g(u )在[]βα,上有定义，)(x u ?=在[]b a ,上可导，且[]b a x x ,,)(∈≤≤β?α，并记 (i)若)(u g 在[]βα,上存在原函数)(u G ，则)(x f 在[]b a ,上也存在原函数 C x G x F x F +=))(()(),(?，即 (ii) 又若[],,,0)(b a x x ∈≠'?则上述命题(i)可逆，即当)(x f 在[]b a ,上存在原函数F(x )时，g(u )在[βα,]上也存在原函数G(u )，且G(u )=C u F +-))((1?，即 ???='=dx x f dx x x g du u g )()())(()(??．证（i ）用复合函数求导法进行验证：所以)(x f 以))((x G ?为其原函数，(1)式成立． ( ii ) 在0)(≠'x ?的条件下，)(x u ?=存在反函数)(1u x -=?，且于是又能验证（2）式成立： )())((u g x g ==?．口上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式)．

分部积分法顺序口诀

分部积分法顺序口诀首先，我们要清楚选择的原则，我们在选取u和v的时候要遵循两个原则。 1v要比u更容易求出；二、∫vdu要比∫udv更容易计算。在清楚这两个原则以后，我们可以开始看选择的方法。 2然后我们来看选择的方法，第一点，我们要将被积函数视为两个函数之积。也就是u和v的积的形式。 3然后，我们记住一个口诀来选择u、v，这个口诀就是“反对幂指三”，什么叫反对幂指三呢？反就是反三角函数，对就是对数函数，幂就是幂函数，指就是指数函数，三就是三角函数。 4在记住口诀后，我们把两个被积函数在口诀中排个顺序，在前面的选为u，在后面的选为v的导数。这样我们就可以进行进一步的计算了。分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部

积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。一般地，从要求的积分式中将凑成是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，而且可能会更麻烦。分部积分法最重要之处就在于准确地选取，因为一旦确定，则公式中右边第二项中的也随之确定，但为了使式子得到精简，如何选取则要依的复杂程度决定，也就是说，选取的一定要使比之前的形式更简单或更有利于求得积分。依照经验，可以得到下面四种典型的模式。[2] 记忆模式口诀：反（函数）对（数函数）幂（函数）指（数函数）三（角函数）

分部积分法顺序口诀

分部积分法顺序口诀微积分中的一类积分办法：对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。定义微积分中的一类积分办法：对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成两部份进行积分部积分法分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。应用在不定积分上的应用具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组分部积分法成则按口诀先积三角函数（即：按公

式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv 移项后，成为：udv = d(uv) -vdu 两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu 例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。在定积分上的应用与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a =[u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx]b/a =[u(x)-v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u'(x)dx 简记作∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu 例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。

分部积分法顺序口诀

将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型。扩展资料：不定积分的公式 1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数 2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-1 3、∫1/x dx = ln|x| + C 4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠1 5、∫e^x dx = e^x + C

6、∫cosx dx = sinx + C 7、∫sinx dx = - cosx + C 8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C 求不定积分的方法：第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx 这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。反>对>幂>三>指就是分部积bai分法的要领du 当出现两种函数相zhi乘时指数函数必然放到d( )中然后再用分部积分法dao拆开算而反三角函数不需要动再具体点就是：

分部积分法顺序口诀

分部积分部积分法顺序口诀分法顺序口诀常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。分部积分法是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。三角函数的反函数因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x 对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函不定积分的公式 1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数 2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-1 3、∫1/x dx = ln|x| + C

4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠1 5、∫e^x dx = e^x + C 6、∫cosx dx = sinx + C 7、∫sinx dx = - cosx + C 8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C数。