分部积分法讨论
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＝ｃｏｓ工·Ｐ。＋』ｓｉｎｘｄｅ。＝ｃｏｓＪ·Ｐ。＋ｓｉｎｘ·９５一ｆＰ。ｄｓｉｎ工 ＝ｃ。ｓｘ·Ｐ。＋ｓｉｎ工·Ｐ’－ｊ＇ｃｏｓｘ．ｅｘｄｒ
移项，得ｆｃ。ｓｘ．矿出＝吾，（ｃ璐工＋ｓｉｎ功＋ｃ
同样，也选择“＝ｅ‘，积分结果一样，有兴趣读者可以自己完成。
下转第７０页》卜
、
万方数据
一５４—
证明ｌ设，０）＝口０＋口１工＋口２ｘ２＋…＋％，有疗＋１个互异的
』ｃ。ｓ厶耐（》“）（或ຫໍສະໝຸດ BaiduＪｅ“ｄ（一言ｃｏｓｂｘ），ｆ∥ｄ（丢ｓｉｎ缸））·
但注意，因为使用两次分部积分公式，两次变换应保持一 致。
初学者解题时可以对号入座。 ３．举例
例２、求ｐｓｉｎｘｄｘ．
解：属于题型①
ｆ州ｎ砌＝ｆ耐（一ＣＯＳＸ）＝ｘ（－ｃｏｓｘ）一Ｊ（一ＣＯＳＪ）出＝一工ＣＯＳｘ＋ｓｉｎｘ＋ｃ 例３、求』北础
下载时间：2010年8月5日
解：ｆｘｅ‘ｄｘ＝ｊｘｄｅ。 显然“＝工，ｖ＝矿。利用公式：卜ｄｒ＝“Ｖ一』毗
ｌｘｅ｜ｄｘ＝ｆｘｄｅｋ ｘｅｌ—Ｉｅｘ ｃｂｃ
于是，难求ｆ朋。ｄｘ．化为易求ｐ。出，计算结果是
渖西ｃ＝ｌ删＝ｘｅ‘－ｌＦｄｘ＝ｊｘｅｌ叫＋ｃ
思考：另我们若选择Ⅳ＝矿，Ｖ２圭，，此题解法变为
．』船。出＝卜’ｄ（争２）＝圭工２·矿一ｆ｝２幽。＝ｊ１ ｘ２＂ｅｘ．ｊｉ ｘ２．ｅｓ出
分部积分法讨论
李少云温州广播电视大学 ３２５０００
提出问题：求不定积分Ｉ愆‘ｄｘ．
我们不能直接用积分基本公式计算，也不能用凑微分法计 算，这是一个不易求得结果的积分。我们考虑：如何将该积分转 化为等价的但易于求出结果的积分形式。
于是，引入一种求函数积分的技巧——分部积分法。
１．分部积分的公式
函数乘积的微分公式
这个关于Ｚ（１），石（１），…，Ｚ一，（１）的齐次线性方程组的系
２
数行列式
ｌ｝．１ 国矿；矿
４
≠Ｏ
扩譬：吣俨
因此‘，ｉ（１）＝五（１）＝…＝Ｚ。，（１）＝０。 ５．行列式在解析几何中的应用
设｛仍ｉ，五七｝为右手直角坐标系， 口。ｑｉ＋ａｅｊ＋ａ３ｋ，户＝ｂｊ＋ｂｊ＋ｂ３ｋ，，＝ｃｊ＋ｃ：ｊ＋ｃ３ｋ
ｉ×ｊ＝ｋ，ｊ×ｋ＝ｉ，ｋｘｉ＝＿，，ｊｘｉ＝－ｋ，ｋｘｊ＝一ｉ，ｉｘｋ＝一Ｊ
高等数学或数学分析教材中,关于不定积分的分部积分法,只讨论由指数函数、三角函数、幂函数(或多项式)、对数函数、反三角函数中的两种基本 初等函数的乘积的不定积分.
2.期刊论文 陈香莲.罗朝阳 应用"问题解决"整合分部积分法的教学 -昌吉学院学报2008,""(6)
"问题解决"不仅是培养学生数学解题能力的一种方法,而且已成为一种具有全局性质的数学教学模式,对数学教育有根本性的指导作用和改革意义.在 不定积分"分部积分法"的教学设计中,应该通过创设问题情境,引发学生的认知冲突;突出转化的数学思想,引导学生归纳解决问题的方法,步骤;重视问题 及其解决过程的规范表征;同时加强解题策略的总结与反思,使学生以同化的方式逐步构建正确合理的数学认知结构.
中国科技信息 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION 2009，""(14) 1次
参考文献(1条) 1.李林曙.黎谮远 经济数学基础《微积分》
相似文献(10条)
1.期刊论文 刘宁 利用分部积分法求一种新类型的不定积分 -成都纺织高等专科学校学报2004,21(4)
3.期刊论文 陶燕芳 应用分部积分法的基本技巧 -湖北成人教育学院学报2008,14(2)
针对分部积分法在不定积分的使用,通过举例说明了其基本技巧和方法.
4.期刊论文 张芳 关于反函数的不定积分的一种简便求法 -高等数学研究2008,11(6)
反函数的不定积分比较困难,尤其当被积函数的次数较高时,计算很麻烦.利用分部积分法和换元积分法可以推导出关于反函数的不定积分的一种简便 求法,使得被积函数的次数降低,运算简化.实例说明这种方法是可行的.
ｌ屯 Ｙ２ ｚ２ １
ｘ３
ｙ３
１ ｚ３
行列式的应用是十分广泛的，本文只列举了行列式在数学中
几个方面的应用，随着行列式理论的不断发展与完善，它必将应
用到更加广泛的领域中。
万方数据
一７０一
分部积分法讨论
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
李少云 温州广播电视大学,325000
解：属于题型②
灿溉＝Ｊ，ｎ妇（丢Ｘ２）＝圭一ｎｘ—Ｊ争２ｄｌｎｘ＝１２ｘ－ｎｘ—ｉ１∥２ ｌｘａｋ
：！工２Ｉｎｘ－！ｆｘｄｘ：吖１ ２Ｉｎｘ－＿１ ｘ２＋ｃ
例４、求ｆｃｏｓ工·ｅｘ出
解：属于题型③，当然选择甜＝ＣＯＳＸ或“＝ｅ。都可以，我们以 “＝ＣＯＳＸ为例
』ｃ。ｓｘ－ｅｘｄｘ＝ｊ＇ｃｏｓｘｄｅ。＝ＣＯＳｘ·ｅ’－Ｉｅ’ｄｃ。ｓ工＝ＣＯＳｘ．Ｐ。＋ｆＰ。·ｓｉｎｘｄｘ
讨论了用表格形式的方法来求解被积函数是两个已知函数的乘积的函数的不定积分的方法.
7.期刊论文 陈杰.刘宁 一种新类型的不定积分的计算 -泰山学院学报2004,26(6)
本文对一种新类型不定积分进行了探讨,给出了详细解法,丰富了分部积分法的内容,对高等数学不定积分的教学,有一定的指导作用.
8.期刊论文 万勇.王晓梅.Wan Yong.Wang Xiaomei 不定积分中的几何背景和表格分部积分法 -湖南工业大学学报
5.期刊论文 张亚敏 谈不定积分的基本解题方法 -黑龙江科技信息2007,""(18)
分析了不定积分的四种基本求解方法:直接积分、第一换元法、第二换元法、分部积分法.结合例子讨论这些方法的可行性,它对快速求解不定积分有 一定的意义.
6.期刊论文 金凤英 用表格形式表示分部积分法 -襄樊职业技术学院学报2003,2(6)
移项，得
ｄ（ｕｖ）＝ｖｄｕ＋ｕｄｖ ｕｄｖ＝ｄ（ｕｖ）——ｖｄｕ
对上式两端同时积分，得
ｆｕｄｖ＝一ｌｖｄｕ
』扯Ｖ钒＝“Ｖ—ｆｖｕ＇ｄｘ
（２）
公式（Ｉ）或公式（２）称为分部积分公式，思想是将比较难求的积
分Ｊ”咖化为比较容易求的积分』诎来计算。
我们用分部积分公式解决提出的问题。
例ｌ、求不定积分Ｊ船’ｄｘ．
10.期刊论文 连坡 分部积分法使用的几个技巧 -高等数学研究2006,9(6)
就分部积分法的使用,举例说明了几种常用的方法和技巧.
引证文献(1条)
1.张拥萍.卢建彬 一类广义积分的多种计算方法[期刊论文]-河北北方学院学报（自然科学版） 2010(1)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgkjxx200914022.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：a674e2dd-b2e2-4792-9097-9dc90156d3e6
明显·难求ｆ期。妣化为更复杂的』吾工２·Ｐ。出，这样选择Ⅳ，Ｖｆｉ＇］６
可见，分部积分法的关键是如何恰当选择ｕ，Ｖ，这是初学 者不容易掌握的解题技巧。为此，我将需用分部积分法解题的题 目归纳，有下列二三种题型及解法。
２、分部积分法的三种题型及解法
①形如ｆｘｎｅｌ“ｄｘ，Ｊｘ４ ｓｉｎ触，ｐ ｃｏｓｋｘｄｘ
为相邻棱的平行六面体的体积为｝位×力·，卜憾孽圣《
５．３在求解几何图形方程中的应用
１）过不同两点Ｍ（而，乃），鸠（屯，Ｙ２）的平面直线￡的方
ｘ Ｙ １ｌ 程为ｊ五咒１Ｉ＝０；
Ｉｊｒ２奶１｜
２）过不共线三点
片（五，舅，毛），另（也，奶，Ｚ２），只（而，乃，≈）的平面万的方
Ｘ
Ｙｚｌ
程为＿ 乃五１ ＝０。
证明ｌ设
石（工“）＋识（ｘ“）＋…＋∥‘２厶，（ｒ）＝ｐ（ｘ）（１＋石＋…＋ｘ”’）
取国：ｃｏｓ望＋ｆｓｉｎ２ｘ ５）－另ｌＪ Ｘ＝０））（－０２）．＂）ＣＯ＇ｎ－Ｉ代入，可得
Ｚ（１）＋甜石（１）＋…＋ｍ”２Ｚ，，（１）＝ｏ， Ｚ（１）＋彩２五（１）＋…＋国叫”２’工．．（１）＝ｏ’
Ｚ（１）＋功”１五（１）＋…＋∥”‘ｏ”２’丘一．（１）＝ｏ．
＝ｎ（ｘ，－ｘ／）＊Ｏ，
●
ｊ≤同ｎ＋ｌ
ｔ。
因此ａｏ＝ａｔ＝ａ２＝…＝ｑ＝ｏ．这个矛盾表明厂（工）至多
有ｎ个互异根。
例２设Ｚ（Ｊ），正（ｘ），…，丘，（工）是胛一１个复系数多项式，
满足ｌ＋善＋．．．＋，１ Ｉｆ，（ｘ”）＋坑（工“）＋．．．＋矿２厶。（，），
证明彳（１）＝石（１）＝…＝Ｚ一，（１）＝ｏ。
零点量，如，…，ｋ。，则有
／（而）＝嘞＋ａｓｘ，＋口２＃＋…＋ｑｒ＝ｏ，ｌ≤≤ｎ＋ｌ一
口０＋工Ｉ口ｌ＋茸吐＋…＋矸吼＝ｏ，
即 ａｏ＋Ｘ２ａ２＋ｘ；ａ２＋…＋写日。＝ｏ，
’
口ｏ＋ｋｌ吒＋《Ｉ口２＋…＋《Ｉ靠＝ｏ．
这个关于口ｏ，口Ｉ，…，％的齐次线性方程组的系数行列式
１
Ｘｌ
彳
１
ｘ２
《
ｉ ｋｌ《Ｉ
ｘ？
霹
：
2010,24(1)
论述了数学背景对数学发展的重要性,提供了不定积分中的几何背景,介绍了不定积分的表格分部积分法及案例,对改革教学内容和改进教学方法进行 了尝试.
9.期刊论文 柯春梅 浅析分部积分法的使用技巧 -中国水运(下半月)2008,8(12)
分部积分法是一种基本的积分方法,常用于求被积函数是两种不同类型函数乘积的积分.分部积分法的使用有一定的技巧,灵活运用,常常能起到事倍 功半的效果.
口×∥＝ｌ乏毒ａ３Ｉｉ＿１）岛ａｌ岛ａ３１．，．＋ｋ（１Ｉ乏Ｊ七＝臣差差ｆ
嘞ｑ
ｃ口×户，·，＝ｉ乏乏ｆｑ一尝乏ｆｃ２＋陵
ＩＩ 巳
呸如
６２ ６３
巩觑岛 ｃ２ ｃ３
５．２在面积、体积中的应用
以ｆ＝ａｊ＋ａ２ｊ＋Ｏｋ，，７＝６ｌ“－６２，＋ｏ露为邻边的平行四边
形的面积为ｌ善×印Ｉ＝悔乏｜｜
以口＝ａｔｉ＋ａ２ｊ＋ａ３ｋ，∥＝６１，＋６２Ｊ『＋６ｊ七，，＝Ｇｉ＋ｃ２ｊ＋ｃ３ｋ
分别变换成 卜”ｄ（１ｅｈ）， 卜”ｄ（一妻ｃｏｓｂ）， ｆｘ”ｄ（丢ｓｉｎ缸）
②形如卜”Ｉｎｘｄｘ， ｆｒ ａｒｃｔａｎｘｄｘ，Ｊｘ”ａｒｃ守础
分别变换成 』ｏ ｌｎｘｄ（胛 ｉ≥＋Ｉ”‘），
ｆａｒｃｓｉｎｘｄ（鼻”’）
．『ａｒｃｔａｎｘｄ（未７Ｉ”１）， 一十
③形如ｆＰ“ｓｉｎｋ出， 』Ｐ“ｃｏｓ缸出，分别变换成ｆｓｉｎｂｘｄ（！ｄｅ“）
移项，得ｆｃ。ｓｘ．矿出＝吾，（ｃ璐工＋ｓｉｎ功＋ｃ
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证明ｌ设，０）＝口０＋口１工＋口２ｘ２＋…＋％，有疗＋１个互异的
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但注意，因为使用两次分部积分公式，两次变换应保持一 致。
初学者解题时可以对号入座。 ３．举例
例２、求ｐｓｉｎｘｄｘ．
解：属于题型①
ｆ州ｎ砌＝ｆ耐（一ＣＯＳＸ）＝ｘ（－ｃｏｓｘ）一Ｊ（一ＣＯＳＪ）出＝一工ＣＯＳｘ＋ｓｉｎｘ＋ｃ 例３、求』北础
下载时间：2010年8月5日
解：ｆｘｅ‘ｄｘ＝ｊｘｄｅ。 显然“＝工，ｖ＝矿。利用公式：卜ｄｒ＝“Ｖ一』毗
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思考：另我们若选择Ⅳ＝矿，Ｖ２圭，，此题解法变为
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分部积分法讨论
李少云温州广播电视大学 ３２５０００
提出问题：求不定积分Ｉ愆‘ｄｘ．
我们不能直接用积分基本公式计算，也不能用凑微分法计 算，这是一个不易求得结果的积分。我们考虑：如何将该积分转 化为等价的但易于求出结果的积分形式。
于是，引入一种求函数积分的技巧——分部积分法。
１．分部积分的公式
函数乘积的微分公式
这个关于Ｚ（１），石（１），…，Ｚ一，（１）的齐次线性方程组的系
２
数行列式
ｌ｝．１ 国矿；矿
４
≠Ｏ
扩譬：吣俨
因此‘，ｉ（１）＝五（１）＝…＝Ｚ。，（１）＝０。 ５．行列式在解析几何中的应用
设｛仍ｉ，五七｝为右手直角坐标系， 口。ｑｉ＋ａｅｊ＋ａ３ｋ，户＝ｂｊ＋ｂｊ＋ｂ３ｋ，，＝ｃｊ＋ｃ：ｊ＋ｃ３ｋ
ｉ×ｊ＝ｋ，ｊ×ｋ＝ｉ，ｋｘｉ＝＿，，ｊｘｉ＝－ｋ，ｋｘｊ＝一ｉ，ｉｘｋ＝一Ｊ
高等数学或数学分析教材中,关于不定积分的分部积分法,只讨论由指数函数、三角函数、幂函数(或多项式)、对数函数、反三角函数中的两种基本 初等函数的乘积的不定积分.
2.期刊论文 陈香莲.罗朝阳 应用"问题解决"整合分部积分法的教学 -昌吉学院学报2008,""(6)
"问题解决"不仅是培养学生数学解题能力的一种方法,而且已成为一种具有全局性质的数学教学模式,对数学教育有根本性的指导作用和改革意义.在 不定积分"分部积分法"的教学设计中,应该通过创设问题情境,引发学生的认知冲突;突出转化的数学思想,引导学生归纳解决问题的方法,步骤;重视问题 及其解决过程的规范表征;同时加强解题策略的总结与反思,使学生以同化的方式逐步构建正确合理的数学认知结构.
中国科技信息 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION 2009，""(14) 1次
参考文献(1条) 1.李林曙.黎谮远 经济数学基础《微积分》
相似文献(10条)
1.期刊论文 刘宁 利用分部积分法求一种新类型的不定积分 -成都纺织高等专科学校学报2004,21(4)
3.期刊论文 陶燕芳 应用分部积分法的基本技巧 -湖北成人教育学院学报2008,14(2)
针对分部积分法在不定积分的使用,通过举例说明了其基本技巧和方法.
4.期刊论文 张芳 关于反函数的不定积分的一种简便求法 -高等数学研究2008,11(6)
反函数的不定积分比较困难,尤其当被积函数的次数较高时,计算很麻烦.利用分部积分法和换元积分法可以推导出关于反函数的不定积分的一种简便 求法,使得被积函数的次数降低,运算简化.实例说明这种方法是可行的.
ｌ屯 Ｙ２ ｚ２ １
ｘ３
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行列式的应用是十分广泛的，本文只列举了行列式在数学中
几个方面的应用，随着行列式理论的不断发展与完善，它必将应
用到更加广泛的领域中。
万方数据
一７０一
分部积分法讨论
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
李少云 温州广播电视大学,325000
解：属于题型②
灿溉＝Ｊ，ｎ妇（丢Ｘ２）＝圭一ｎｘ—Ｊ争２ｄｌｎｘ＝１２ｘ－ｎｘ—ｉ１∥２ ｌｘａｋ
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例４、求ｆｃｏｓ工·ｅｘ出
解：属于题型③，当然选择甜＝ＣＯＳＸ或“＝ｅ。都可以，我们以 “＝ＣＯＳＸ为例
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讨论了用表格形式的方法来求解被积函数是两个已知函数的乘积的函数的不定积分的方法.
7.期刊论文 陈杰.刘宁 一种新类型的不定积分的计算 -泰山学院学报2004,26(6)
本文对一种新类型不定积分进行了探讨,给出了详细解法,丰富了分部积分法的内容,对高等数学不定积分的教学,有一定的指导作用.
8.期刊论文 万勇.王晓梅.Wan Yong.Wang Xiaomei 不定积分中的几何背景和表格分部积分法 -湖南工业大学学报
5.期刊论文 张亚敏 谈不定积分的基本解题方法 -黑龙江科技信息2007,""(18)
分析了不定积分的四种基本求解方法:直接积分、第一换元法、第二换元法、分部积分法.结合例子讨论这些方法的可行性,它对快速求解不定积分有 一定的意义.
6.期刊论文 金凤英 用表格形式表示分部积分法 -襄樊职业技术学院学报2003,2(6)
移项，得
ｄ（ｕｖ）＝ｖｄｕ＋ｕｄｖ ｕｄｖ＝ｄ（ｕｖ）——ｖｄｕ
对上式两端同时积分，得
ｆｕｄｖ＝一ｌｖｄｕ
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（２）
公式（Ｉ）或公式（２）称为分部积分公式，思想是将比较难求的积
分Ｊ”咖化为比较容易求的积分』诎来计算。
我们用分部积分公式解决提出的问题。
例ｌ、求不定积分Ｊ船’ｄｘ．
10.期刊论文 连坡 分部积分法使用的几个技巧 -高等数学研究2006,9(6)
就分部积分法的使用,举例说明了几种常用的方法和技巧.
引证文献(1条)
1.张拥萍.卢建彬 一类广义积分的多种计算方法[期刊论文]-河北北方学院学报（自然科学版） 2010(1)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgkjxx200914022.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：a674e2dd-b2e2-4792-9097-9dc90156d3e6
明显·难求ｆ期。妣化为更复杂的』吾工２·Ｐ。出，这样选择Ⅳ，Ｖｆｉ＇］６
可见，分部积分法的关键是如何恰当选择ｕ，Ｖ，这是初学 者不容易掌握的解题技巧。为此，我将需用分部积分法解题的题 目归纳，有下列二三种题型及解法。
２、分部积分法的三种题型及解法
①形如ｆｘｎｅｌ“ｄｘ，Ｊｘ４ ｓｉｎ触，ｐ ｃｏｓｋｘｄｘ
为相邻棱的平行六面体的体积为｝位×力·，卜憾孽圣《
５．３在求解几何图形方程中的应用
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Ｚ（１）＋甜石（１）＋…＋ｍ”２Ｚ，，（１）＝ｏ， Ｚ（１）＋彩２五（１）＋…＋国叫”２’工．．（１）＝ｏ’
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有ｎ个互异根。
例２设Ｚ（Ｊ），正（ｘ），…，丘，（工）是胛一１个复系数多项式，
满足ｌ＋善＋．．．＋，１ Ｉｆ，（ｘ”）＋坑（工“）＋．．．＋矿２厶。（，），
证明彳（１）＝石（１）＝…＝Ｚ一，（１）＝ｏ。
零点量，如，…，ｋ。，则有
／（而）＝嘞＋ａｓｘ，＋口２＃＋…＋ｑｒ＝ｏ，ｌ≤≤ｎ＋ｌ一
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即 ａｏ＋Ｘ２ａ２＋ｘ；ａ２＋…＋写日。＝ｏ，
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口ｏ＋ｋｌ吒＋《Ｉ口２＋…＋《Ｉ靠＝ｏ．
这个关于口ｏ，口Ｉ，…，％的齐次线性方程组的系数行列式
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2010,24(1)
论述了数学背景对数学发展的重要性,提供了不定积分中的几何背景,介绍了不定积分的表格分部积分法及案例,对改革教学内容和改进教学方法进行 了尝试.
9.期刊论文 柯春梅 浅析分部积分法的使用技巧 -中国水运(下半月)2008,8(12)
分部积分法是一种基本的积分方法,常用于求被积函数是两种不同类型函数乘积的积分.分部积分法的使用有一定的技巧,灵活运用,常常能起到事倍 功半的效果.
口×∥＝ｌ乏毒ａ３Ｉｉ＿１）岛ａｌ岛ａ３１．，．＋ｋ（１Ｉ乏Ｊ七＝臣差差ｆ
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ｃ口×户，·，＝ｉ乏乏ｆｑ一尝乏ｆｃ２＋陵
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５．２在面积、体积中的应用
以ｆ＝ａｊ＋ａ２ｊ＋Ｏｋ，，７＝６ｌ“－６２，＋ｏ露为邻边的平行四边
形的面积为ｌ善×印Ｉ＝悔乏｜｜
以口＝ａｔｉ＋ａ２ｊ＋ａ３ｋ，∥＝６１，＋６２Ｊ『＋６ｊ七，，＝Ｇｉ＋ｃ２ｊ＋ｃ３ｋ
分别变换成 卜”ｄ（１ｅｈ）， 卜”ｄ（一妻ｃｏｓｂ）， ｆｘ”ｄ（丢ｓｉｎ缸）
②形如卜”Ｉｎｘｄｘ， ｆｒ ａｒｃｔａｎｘｄｘ，Ｊｘ”ａｒｃ守础
分别变换成 』ｏ ｌｎｘｄ（胛 ｉ≥＋Ｉ”‘），
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