《直角三角形的判定》例题与讲解

1.2直角三角形的判定

1．勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

(2)勾股定理的逆定理的释疑：不少的同学对知道三角形三边满足a2＋b2＝c2能得到直角三角形这样的一种结论持有怀疑的态度，其实通过三角形的全等可以很简单地证明出来．比如：如果在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，并且满足a2＋b2＝c2 (如图所示)，那么∠C＝90°.

作△A1B1C1，使∠C1＝90°，B1C1＝a，C1A1＝b，则A1B21＝a2＋b2.

∵a2＋b2＝c2，∴A1B1＝c(A1B1＞0)．

在△ABC和△A1B1C1中，

∵BC＝a＝B1C1，CA＝b＝C1A1，AB＝c＝A1B1，

∴△ABC≌△A1B1C1.

∴∠C＝∠C1＝90°.

辨误区勾股定理的逆定理的条件

(1)不能说成在直角三角形中，因为还没有确定直角三角形，当然也不能说“斜边”和“直角边”．

(2)当满足a2＋b2＝c2时，c是斜边，∠C是直角．

利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．

对啊！到目前为止判定直角三角形的方法有：①说明三角形中有一个直角；②说明三角形中有两边互相垂直；③勾股定理的逆定理.

【例1】如图所示，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，问：

AD⊥AB吗？试说明理由．

解：AD⊥AB.

理由：根据勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝5.

在△ABD中，AB2＋AD2＝52＋122＝169，BD2＝132＝169，

所以AB2＋AD2＝BD2.

由勾股定理的逆定理知△ABD为直角三角形，且∠BAD＝90°.

故AD⊥AB.

2．勾股定理的逆定理与勾股定理的关系

勾股定理是通过“形”的状态来反映“数”的关系的，而勾股定理的逆定理是通过“数”的关系来反映“形”的状态的．

(1)勾股定理是直角三角形的性质定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，二者是互逆的．

(2)联系：①两者都与a2＋b2＝c2有关，②两者所讨论的问题都是直角三角形问题．

(3)区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系“a2＋b2＝c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2＋b2＝c2”为条件，进而得到这个三角形是“直角三角形”．

(4)二者关系可列表如下：

AC＝15，BD＝5，求DC.

分析：先用勾股定理的逆定理判定形状，然后用勾股定理求数据．

解：∵AD2＋BD2＝122＋52＝132＝AB2，

∴由勾股定理的逆定理知△ADB为直角三角形．∴AD⊥BC.

在Rt△ADC中，由勾股定理，得DC2＝AC2－AD2＝152－122＝92.∴DC＝9.

3．勾股数

勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．

(1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足a2＋b2＝c2；

②都是正整数．两者缺一不可．

(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm为边长的三角形是直角三角形．

【例3】①7,24,25；②8,15,19；③0.6,0.8,1.0；④3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)．上面各组数中，勾股数有______组．()．

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：

析规律勾股数的判断方法

判断勾股数要看两个条件，一看能否满足a2＋b2＝c2，二看是否都是正整数．这两者缺一不可．

4．勾股定理的逆定理的应用

勾股定理的逆定理在解决实际问题中有着广泛的应用，可以用它来判定是不是直角．家里建房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的仪器的情况下，工人师傅常常利用勾股定理的逆定理作出直角．

【例4】如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8 m，AD＝BC＝6 m，AC＝9 m，请你帮他看一下，挖的地基是否合格？

分析：本题是数学问题在生活中的实际应用，所以我们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判定条件，来判断它是否为直角三角形．

解：∵AD2＋DC2＝62＋82＝100，AC2＝92＝81，

∴AD2＋DC2≠AC2.

∴△ADC不是直角三角形，∠ADC≠90°.

又∵按标准应为长方形，四个角应为直角，

∴该农民挖的地基不合格．

5．利用非负数的性质判定三角形的形状

在由一个等式求三角形的三边长时，往往先把等式化为a2＋b2＋c2＝0的形式，再由a＝0，b＝0，c＝0，求得三角形三边之长，利用计算来判断△ABC是否是直角三角形．

谈重点判定三角形的形状

由条件等式来判断三角形的形状，就是将已知的条件等式变形，再根据它的结构特点，得出a，b，c的关系，从而判断三角形的形状．

【例5】如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b ＋26c，试说明这个三角形是直角三角形．

分析：本题需要将已知等式进行变形，配成完全平方式，求出a，b，c的值，然后再说明．

解：将式子变形，得

a2＋b2＋c2＋338－10a－24b－26c＝0，

即a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0.

整理，得(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0.

因此a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0，

∴a＝5，b＝12，c＝13.

∵a2＋b2＝52＋122＝132＝c2，

∴这个三角形是直角三角形．

6．勾股定理及其逆定理的综合应用

(1)利用勾股定理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型(直角三角形)来解决．

(2)综合运用勾股定理及其逆定理，将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法，在这里，一方面要熟记常用的勾股数；另一方面要注意到：如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系，那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形．

【例6】如图所示，在四边形ABCD中，AD＝3 cm，AB＝4 cm，∠BAD＝90°，BC＝12 cm，CD＝13 cm.求四边形ABCD的面积．

分析：根据AD＝3 cm，AB＝4 cm，∠BAD＝90°，可连接BD构成直角三角形，通过判断△BCD是直角三角形解决问题．