理论力学 拉格朗日运动方程
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O α C(x1,y1) β P1 A D(x2,y2) x P2 F B (x3,y3) y
几何 : 关系
x 1 = ( l 1 / 2 ) sin α x 2 = l 1 sin α + ( l 2 / 2) sin β y = l cos α + l cos β 2 3 1
δx 1 = ( l 1 / 2 ) cos α δα δx 2 = l 1 cos α δα + ( l 2 / 2 ) cos β δβ δy = l sin α δα l sin β δβ 1 2 3
l M
点不固定, 若O 点不固定,在 x 方向有一恒定速率 c, , t = 0 时O 点处于坐标原点,则约束方程为 点处于坐标原点,则约束方程为: (x – ct)2 + y2 + z2 - l2 = 0 它是非稳定,不可解,几何,完整约束. 它是非稳定,不可解,几何,完整约束.
例1:一球面摆,O 点固定;OM 一球面摆, 点固定; 为轻刚性杆,杆长为l 为轻刚性杆,杆长为l ;M 点系 一质点, 一质点,其质量为 m .
O l M
若OM为不可伸长的柔软绳 ,则约束方程为: 为不可伸长的柔软绳 则约束方程为: O点固定: x2 + y2 + z2 - l2 ≤ 0 点固定: 点固定 O点不固定:(x – ct)2 + y2 + z2 - l2 ≤ 0 点不固定: 点不固定 它是可解约束.约束空间为以 为球心 为球心, 它是可解约束.约束空间为以O为球心,l 为半 径的球体. 径的球体.
s ri ∑ Fi δri = ∑ ∑ Fi q δq j = ∑ Q jδq j i j i j j
ri (广义力 : Q j = ∑ Fi , 广义速度 : q j ) q j i
ri δq j δri = ∑ j q j ri ri = qj + 辅助公式 : v i = ri ∑ t j q j v i ri q = q j j δr = ri δq ∑ Q jδq j = ∑ Fi δri = ∑ m i ri i ∑ ∑ m i ri q j i i j i j j
二,虚功 虚功: 1,虚功:作用在质点上 的力在虚位移中所作的 功. 平衡时: 平衡时:合外力 Fi + R i = 0, (其中 Fi 主动力, R i 约束反力的合力) 主动力, 约束反力的合力) ( Fi + R i) δ ri = 0 ( ∑ F + R )δr
i i i
=0wk.baidu.com
2,理想约束:作用于力 学体系的所有约束反力 在 理想约束: 虚功为零. 任意虚位移中所作的总 虚功为零. 即:
解:体系为理想约束, 系统自由度为 2 个, 体系为理想约束, 选取 α , β . 虚功原理
∑ F δr
i
i
= P1 δ rC + P2 δ rD + F δ rB = P1δx 1 + P2 δx 2 + F δy 3 = 0 (1)
∑ F δr
i
i
= P1δx 1 + P2 δx 2 + F δy 3 = 0 (1)
三,达朗伯原理 牛顿第二定律: Fi + R i = m i i r 牛顿第二定律: r 平衡条件 : Fi + R i m i i = 0 r 总虚功为零 : ∑ ( Fi + R i m i i ) δ ri = 0 ∵ ∴
∑ R δr = 0 ( F m ) δ r r ∑
i i i i i
d T T Q jδq j = ∑ m ii δri = ∑ r δq j ∑ q i j dt q j j j m i v i2 (其中总动能 T = ∑ ) 2 i
s s d T T ∑ δq j = ∑ Q j δq j q j dt q j j j 由于 s 个 q j 是独立变量 ,
上式代入 (1)得 : [( P1l 1 / 2) cos α + P2 l 1 cos α Fl 1 sin α ]δα + [( P2 l 2 / 2 ) cos β Fl 2 sin β ]δβ = 0 P1 + 2 P2 P2 tg α = , tg β = 2F 2F
§2. 3 完整约束拉格朗日方程
质点位矢 : ri = ri (q 1 , q 2 , q 3 , q n , t ) 广义坐标 : s = 3n k . 辅助 : 公式 ri ri ri = qj + δri = ∑ δq j , v i = ri ∑ t j q j j q j v i ri = q j q j i = 1,2,3, n ,
第二章 拉格朗日运动方程 §2. 1 约束 广义坐标 §2. 2 达郎贝尔原理 §2. 3 完整约束拉格朗日方程 §2. 4 非完整约束的拉格朗日方程 §2. 5 对称性和守恒定律
§2. 1 约束 广义坐标
一,约束与分类 1,约束:限制各质点自由运动的条件. 约束:限制各质点自由运动的条件. 2,分类 (1)几何约束和运动约束 微分约束 几何约束和运动约束( 几何约束和运动约束 微分约束) 几何约束: 几何约束: fi ( r1, r2, …rn ,t ) = 0 运动约束: 运动约束: fi ( r1, r2, …rn , v1, v2, …vn ,t ) = 0 ( i =1, 2, … k ) 为约束个数, 独立约束的个数≤3n . 式中 k 为约束个数 独立约束的个数
s
ri = d r ri r d ri ∵ ri i q i dt q q j dt j j d v i vi v i v i = dt q j q j
ri = d v v i v v i i ri i j q j dt q q j δr = ri δq ∑ m i ri i ∑ ∑ m i ri q j i j i j d v i v i vi v = ∑ ∑ mi δq j i q j q j dt j i d m v 2 m v 2 i i i i ∑ = ∑ q ∑ 2 δq j dt q j i 2 j j i d T T = ∑ δq q q j j dt j j m i v i2 (其中总动能 T = ∑ ) 2 i
d T T = Qj dt q j q j
上式称为完整约束拉格 朗日运动方程
解:广义力为零 主动力 : F1 = P1 i ,F2 = P2 i ,F3 = F j r1 = rC = 0.5l 1 sin α i + 0.5l 1 cos α j r2 = rD = ( l 1 sin α + 0.5l 2 sin β ) i + ( l 1 cos α + 0.5l 2 cos β ) j r = r = ( l sin α + l sin β ) i + ( l cos α + l cos β ) j B 1 2 1 2 3 r1 x = 0.5l 1 cos α i 0.5l 1 sin α j O α α r 2 C(x1,y1) = l 1 cos α i l 1 sin α j α r3 P1 A β D(x2,y2) = l 1 cos α i l 1 sin α j F α B (x ,y )
二,自由度与广义坐标 1,自由度:独立"坐标 "的个数. 自由度:独立" 的个数. 2,广义坐标:描写体系 位置的独立"坐标", 广义坐标: 位置的独立"坐标" 记为 q 1, q 2, q n. 广义坐标不一定是长度 ,可以是角度或其 它物理量. 它物理量. 例如:面积,体积等. 例如:面积,体积等. dq i 广义速度的定义: 广义速度的定义: q i = dt
例1:一球面摆,O 点固定;OM 一球面摆, 点固定; O 为轻刚性杆,杆长为l 为轻刚性杆,杆长为l ;M 点系 一质点, 一质点,其质量为 m . 点为直角坐标原点, 设O 点为直角坐标原点,则 的约束方程为: 质点 M 的约束方程为: x2 + y2 + z2 - l2 = 0它是稳定,不可解,几何, 它是稳定,不可解,几何, 它是稳定 完整约束. 完整约束.
例2:线性三原子分子组 m1 成的体系只能在该连线上 运动.体系在无外力作用. x1 运动.体系在无外力作用. 分析: 分析:体系的质心速度为 常数,即约束方程为: 常数,即约束方程为: vC = C (微分约束) 微分约束) 积分得: 积分得:xC = C t + xCo
m2 x2
m3 x3
m1 x1 + m 2 x 2 + m 3 x3 即: xC = = C t + xCo m1 + m 2 + m 3 这就退化为几何约束, 这就退化为几何约束, 所以它是一种完整约束 .
(4)完整约束和非完整约束 完整约束和非完整约束 非完整约束: 非完整约束 有两种情况 (a) 可解约束 可解约束; (b) 微分约束中若约束方程不能单独积分 ( 必须与运动方程联立才能积分 即解出运动的 必须与运动方程联立才能积分,即解出运动的 同时才能积分 ). 完整约束: 除上述两种情况外的约束. 完整约束 除上述两种情况外的约束 今后主要研究受完整约束的力学体系 完整约束的力学体系 今后主要研究受完整约束的力学体系, 即研 完整系的力学问题 的力学问题 究完整系的力学问题.
§2 . 2 达郎贝尔原理
一,虚位移 假想的,符合约束条件的,无限小的, 假想的,符合约束条件的,无限小的, 即时的位置变更, r 即时的位置变更,δr . 注意:(1)某一固定时刻 某一固定时刻, 注意 某一固定时刻 B" vodt' 即: dt = 0. r dr (2) 与实位移 dr 无关 r 无关. B' vodt" vo 理解: r r 理解 dr = δr + vo dt δr r 当 v →∞, dt → 0 , A v B dr → δr . r r
i
=0
达朗伯原理
例如: 例如:均匀杆 OA,重 P1,长为 l 1, O 能在竖直平面内绕固定 铰链 O 转 动.此杆的 A 端,用铰链连另一 重 P2 ,长为 l 2 的均匀杆 AB .在
y α C(x1,y1) P1 A β D(x2,y2) P2 F B (x3,y3)
AB 杆的 B 端加一水平力 F .求平 x 衡时此二杆与水平线所 成的角度 α 及 β .
∑R
i
δ ri = 0
一般地说,光滑曲面, 光滑曲线,光滑铰链, 一般地说,光滑曲面, 光滑曲线,光滑铰链, 刚性 是理想约束. 杆,不可伸长的绳等都 是理想约束.
3,虚功原理:系统平衡 条件 虚功原理:
∑ F δr
i
i
=0
物理意义: 条件下, 物理意义:在理想约束 条件下,体系离开平衡 位 置的, 置的,符合约束的无限 小任何虚位移 期间, 虚功等于零. 期间,主动力所作的总 虚功等于零.
(2) 稳定约束和非稳定约束 稳定约束: 的约束. 稳定约束: 约束方程不显含 t 的约束. 非稳定约束: 的约束. 非稳定约束: 约束方程显含 t 的约束. r 稳定的几何约束: 例:稳定的几何约束:fi ( r1, r2, …rn ) = 0 稳定的运动约束: r v 稳定的运动约束 fi ( r1, r2, …rn , v1, v2, …vn ) = 0 ( i =1, 2, … k ) (3) 可解约束和不可解约束 不可解约束:约束方程为等式. 不可解约束:约束方程为等式. 可解约束:约束方程可在一个方向偏离等式. 可解约束:约束方程可在一个方向偏离等式. r 不可解几何约束: 例:不可解几何约束: fi ( r1, r2, …rn ,t ) = 0 r 可解几何约束: 可解几何约束: fi ( r1, r2, …rn ,t ) ≥ 0 或 ≤ 0 .
几何 : 关系
x 1 = ( l 1 / 2 ) sin α x 2 = l 1 sin α + ( l 2 / 2) sin β y = l cos α + l cos β 2 3 1
δx 1 = ( l 1 / 2 ) cos α δα δx 2 = l 1 cos α δα + ( l 2 / 2 ) cos β δβ δy = l sin α δα l sin β δβ 1 2 3
l M
点不固定, 若O 点不固定,在 x 方向有一恒定速率 c, , t = 0 时O 点处于坐标原点,则约束方程为 点处于坐标原点,则约束方程为: (x – ct)2 + y2 + z2 - l2 = 0 它是非稳定,不可解,几何,完整约束. 它是非稳定,不可解,几何,完整约束.
例1:一球面摆,O 点固定;OM 一球面摆, 点固定; 为轻刚性杆,杆长为l 为轻刚性杆,杆长为l ;M 点系 一质点, 一质点,其质量为 m .
O l M
若OM为不可伸长的柔软绳 ,则约束方程为: 为不可伸长的柔软绳 则约束方程为: O点固定: x2 + y2 + z2 - l2 ≤ 0 点固定: 点固定 O点不固定:(x – ct)2 + y2 + z2 - l2 ≤ 0 点不固定: 点不固定 它是可解约束.约束空间为以 为球心 为球心, 它是可解约束.约束空间为以O为球心,l 为半 径的球体. 径的球体.
s ri ∑ Fi δri = ∑ ∑ Fi q δq j = ∑ Q jδq j i j i j j
ri (广义力 : Q j = ∑ Fi , 广义速度 : q j ) q j i
ri δq j δri = ∑ j q j ri ri = qj + 辅助公式 : v i = ri ∑ t j q j v i ri q = q j j δr = ri δq ∑ Q jδq j = ∑ Fi δri = ∑ m i ri i ∑ ∑ m i ri q j i i j i j j
二,虚功 虚功: 1,虚功:作用在质点上 的力在虚位移中所作的 功. 平衡时: 平衡时:合外力 Fi + R i = 0, (其中 Fi 主动力, R i 约束反力的合力) 主动力, 约束反力的合力) ( Fi + R i) δ ri = 0 ( ∑ F + R )δr
i i i
=0wk.baidu.com
2,理想约束:作用于力 学体系的所有约束反力 在 理想约束: 虚功为零. 任意虚位移中所作的总 虚功为零. 即:
解:体系为理想约束, 系统自由度为 2 个, 体系为理想约束, 选取 α , β . 虚功原理
∑ F δr
i
i
= P1 δ rC + P2 δ rD + F δ rB = P1δx 1 + P2 δx 2 + F δy 3 = 0 (1)
∑ F δr
i
i
= P1δx 1 + P2 δx 2 + F δy 3 = 0 (1)
三,达朗伯原理 牛顿第二定律: Fi + R i = m i i r 牛顿第二定律: r 平衡条件 : Fi + R i m i i = 0 r 总虚功为零 : ∑ ( Fi + R i m i i ) δ ri = 0 ∵ ∴
∑ R δr = 0 ( F m ) δ r r ∑
i i i i i
d T T Q jδq j = ∑ m ii δri = ∑ r δq j ∑ q i j dt q j j j m i v i2 (其中总动能 T = ∑ ) 2 i
s s d T T ∑ δq j = ∑ Q j δq j q j dt q j j j 由于 s 个 q j 是独立变量 ,
上式代入 (1)得 : [( P1l 1 / 2) cos α + P2 l 1 cos α Fl 1 sin α ]δα + [( P2 l 2 / 2 ) cos β Fl 2 sin β ]δβ = 0 P1 + 2 P2 P2 tg α = , tg β = 2F 2F
§2. 3 完整约束拉格朗日方程
质点位矢 : ri = ri (q 1 , q 2 , q 3 , q n , t ) 广义坐标 : s = 3n k . 辅助 : 公式 ri ri ri = qj + δri = ∑ δq j , v i = ri ∑ t j q j j q j v i ri = q j q j i = 1,2,3, n ,
第二章 拉格朗日运动方程 §2. 1 约束 广义坐标 §2. 2 达郎贝尔原理 §2. 3 完整约束拉格朗日方程 §2. 4 非完整约束的拉格朗日方程 §2. 5 对称性和守恒定律
§2. 1 约束 广义坐标
一,约束与分类 1,约束:限制各质点自由运动的条件. 约束:限制各质点自由运动的条件. 2,分类 (1)几何约束和运动约束 微分约束 几何约束和运动约束( 几何约束和运动约束 微分约束) 几何约束: 几何约束: fi ( r1, r2, …rn ,t ) = 0 运动约束: 运动约束: fi ( r1, r2, …rn , v1, v2, …vn ,t ) = 0 ( i =1, 2, … k ) 为约束个数, 独立约束的个数≤3n . 式中 k 为约束个数 独立约束的个数
s
ri = d r ri r d ri ∵ ri i q i dt q q j dt j j d v i vi v i v i = dt q j q j
ri = d v v i v v i i ri i j q j dt q q j δr = ri δq ∑ m i ri i ∑ ∑ m i ri q j i j i j d v i v i vi v = ∑ ∑ mi δq j i q j q j dt j i d m v 2 m v 2 i i i i ∑ = ∑ q ∑ 2 δq j dt q j i 2 j j i d T T = ∑ δq q q j j dt j j m i v i2 (其中总动能 T = ∑ ) 2 i
d T T = Qj dt q j q j
上式称为完整约束拉格 朗日运动方程
解:广义力为零 主动力 : F1 = P1 i ,F2 = P2 i ,F3 = F j r1 = rC = 0.5l 1 sin α i + 0.5l 1 cos α j r2 = rD = ( l 1 sin α + 0.5l 2 sin β ) i + ( l 1 cos α + 0.5l 2 cos β ) j r = r = ( l sin α + l sin β ) i + ( l cos α + l cos β ) j B 1 2 1 2 3 r1 x = 0.5l 1 cos α i 0.5l 1 sin α j O α α r 2 C(x1,y1) = l 1 cos α i l 1 sin α j α r3 P1 A β D(x2,y2) = l 1 cos α i l 1 sin α j F α B (x ,y )
二,自由度与广义坐标 1,自由度:独立"坐标 "的个数. 自由度:独立" 的个数. 2,广义坐标:描写体系 位置的独立"坐标", 广义坐标: 位置的独立"坐标" 记为 q 1, q 2, q n. 广义坐标不一定是长度 ,可以是角度或其 它物理量. 它物理量. 例如:面积,体积等. 例如:面积,体积等. dq i 广义速度的定义: 广义速度的定义: q i = dt
例1:一球面摆,O 点固定;OM 一球面摆, 点固定; O 为轻刚性杆,杆长为l 为轻刚性杆,杆长为l ;M 点系 一质点, 一质点,其质量为 m . 点为直角坐标原点, 设O 点为直角坐标原点,则 的约束方程为: 质点 M 的约束方程为: x2 + y2 + z2 - l2 = 0它是稳定,不可解,几何, 它是稳定,不可解,几何, 它是稳定 完整约束. 完整约束.
例2:线性三原子分子组 m1 成的体系只能在该连线上 运动.体系在无外力作用. x1 运动.体系在无外力作用. 分析: 分析:体系的质心速度为 常数,即约束方程为: 常数,即约束方程为: vC = C (微分约束) 微分约束) 积分得: 积分得:xC = C t + xCo
m2 x2
m3 x3
m1 x1 + m 2 x 2 + m 3 x3 即: xC = = C t + xCo m1 + m 2 + m 3 这就退化为几何约束, 这就退化为几何约束, 所以它是一种完整约束 .
(4)完整约束和非完整约束 完整约束和非完整约束 非完整约束: 非完整约束 有两种情况 (a) 可解约束 可解约束; (b) 微分约束中若约束方程不能单独积分 ( 必须与运动方程联立才能积分 即解出运动的 必须与运动方程联立才能积分,即解出运动的 同时才能积分 ). 完整约束: 除上述两种情况外的约束. 完整约束 除上述两种情况外的约束 今后主要研究受完整约束的力学体系 完整约束的力学体系 今后主要研究受完整约束的力学体系, 即研 完整系的力学问题 的力学问题 究完整系的力学问题.
§2 . 2 达郎贝尔原理
一,虚位移 假想的,符合约束条件的,无限小的, 假想的,符合约束条件的,无限小的, 即时的位置变更, r 即时的位置变更,δr . 注意:(1)某一固定时刻 某一固定时刻, 注意 某一固定时刻 B" vodt' 即: dt = 0. r dr (2) 与实位移 dr 无关 r 无关. B' vodt" vo 理解: r r 理解 dr = δr + vo dt δr r 当 v →∞, dt → 0 , A v B dr → δr . r r
i
=0
达朗伯原理
例如: 例如:均匀杆 OA,重 P1,长为 l 1, O 能在竖直平面内绕固定 铰链 O 转 动.此杆的 A 端,用铰链连另一 重 P2 ,长为 l 2 的均匀杆 AB .在
y α C(x1,y1) P1 A β D(x2,y2) P2 F B (x3,y3)
AB 杆的 B 端加一水平力 F .求平 x 衡时此二杆与水平线所 成的角度 α 及 β .
∑R
i
δ ri = 0
一般地说,光滑曲面, 光滑曲线,光滑铰链, 一般地说,光滑曲面, 光滑曲线,光滑铰链, 刚性 是理想约束. 杆,不可伸长的绳等都 是理想约束.
3,虚功原理:系统平衡 条件 虚功原理:
∑ F δr
i
i
=0
物理意义: 条件下, 物理意义:在理想约束 条件下,体系离开平衡 位 置的, 置的,符合约束的无限 小任何虚位移 期间, 虚功等于零. 期间,主动力所作的总 虚功等于零.
(2) 稳定约束和非稳定约束 稳定约束: 的约束. 稳定约束: 约束方程不显含 t 的约束. 非稳定约束: 的约束. 非稳定约束: 约束方程显含 t 的约束. r 稳定的几何约束: 例:稳定的几何约束:fi ( r1, r2, …rn ) = 0 稳定的运动约束: r v 稳定的运动约束 fi ( r1, r2, …rn , v1, v2, …vn ) = 0 ( i =1, 2, … k ) (3) 可解约束和不可解约束 不可解约束:约束方程为等式. 不可解约束:约束方程为等式. 可解约束:约束方程可在一个方向偏离等式. 可解约束:约束方程可在一个方向偏离等式. r 不可解几何约束: 例:不可解几何约束: fi ( r1, r2, …rn ,t ) = 0 r 可解几何约束: 可解几何约束: fi ( r1, r2, …rn ,t ) ≥ 0 或 ≤ 0 .