2020年中考数学考点总动员第30讲 概率

第30讲 概 率

1．事件的分类 事件类型 定义

概率 必然事件

一定会发生的事件

1 不可能事件 一定不会发生的事件

随机事件

在一定条件下可能发生也可能不发

生的事件

0～1之间

2.概率：一般地，表示一个随机事件A 发生的可能性大小的数值，叫做这个随机事件A 发生的概率． 3．概率的计算

(1)公式法：对于简单的事件直接用公式法计算即可； P(A)＝事件A 发生的可能的结果总数m 所有可能的结果总数n

；

(2)列表法：当一次试验涉及两步计算时，且可能出现的结果数目较多时，可采用列表法列出所有可能的结果，再根据P(A)＝m

n

计算概率；

(3)画树状图法：当一次试验涉及两步或两步以上的计算时，可采用画树状图表示所有可能的结果，再根据P(A)＝m

n

计算概率．

4．几何概型求概率：与几何图形有关的概率的计算，一般是用几何图形中的面积比进行求解，计算公式为P(A)＝事件A 可能发生的面积几何图形总面积.

5．频率与概率

(1)用频率估算概率：一般地，在大量重复试验下，随机事件A 发生的频率m

n (这里n 是总试验次数，它必

须相当大，m 是在n 次试验中事件A 发生的次数)会稳定到某个常数p.于是，我们用p 这个常数表示事件A 发生的概率，即P(A)＝p ； (2)频率与概率的区别与联系

①区别：概率是用来表示一个随机事件发生的可能性的大小，只要有一个随机事件存在，就有一个概率存在，而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化；

②联系：当试验次数充分大时，频率稳定在概率的附近摆动，为了求出一个随机事件的概率，通常需要大量的重复试验，用所得的频率来估计随机事件的概率.

考点1：频率与概率

【例题1】（2019?湖北省仙桃市?7分）为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位：cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．

（1）填空：样本容量为100 ，a＝30 ；

（2）把频数分布直方图补充完整；

（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．

【分析】（1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值；（2）利用B组的频数为30补全频数分布直方图；

（3）计算出样本中身高低于160cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解．

【解答】解：（1）15÷＝100，

所以样本容量为100；

B组的人数为100﹣15﹣35﹣15﹣5＝30，

所以a%＝×100%＝30%，则a＝30；

故答案为100，30；

（2）补全频数分布直方图为：

（3）样本中身高低于160cm的人数为15+30＝45，

样本中身高低于160cm的频率为＝0.45，

所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率为0.45．

归纳：利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

考点2：一步概率

【例题2抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【分析】抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，则朝上一面的数字可以是1,2,3,4,5,6六种情况，其中朝上一面的数字为2的只有一种情况，根据概率公式计算即可。

【解析】：抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，则朝上一面的数字共出现六种等可能情况，其中朝上一面的数字为2的只有一种情况，则朝上一面的数字为2的概率是

故答案为：A,

考点3：几何概型求概率

【例题3】（2018贵阳）（3.00分）如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】：恰好摆放成如图所示位置的概率是=，

故选：D ．

考点4：概率的综合计算

【例题4】 (2018·承德模拟)从背面相同的同一副扑克牌中取出红桃9张，黑桃10张，方块11张，现将这些牌洗匀背面朝上放在桌面上． (1)求从中抽出一张是红桃的概率；

(2)现从桌面上先抽掉若干张黑桃，再放入与抽掉的黑桃张数相同的红桃，并洗匀且背面都朝上排开后，随机抽一张是红桃的概率不小于2

5

，问至少抽掉了多少张黑桃？

(3)若先从桌面上抽掉9张红桃和m(m ＞6)张黑桃后，再在桌面上抽出一张牌，当m 为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件？当m 为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件？并求出这个事件的概率的最小值．

【解析】(1)抽出一张是红桃的概率是99＋10＋11＝3

10.

(2)设至少抽掉了x 张黑桃，放入x 张的红桃， 根据题意，得9＋x 9＋10＋11≥2

5.

解得x≥3.

答：至少抽掉了3张黑桃．

(3)当m 为10时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件，

当m 为9，8，7时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件，P(最小)＝11（10－7）＋11＝11

14.

归纳： (1)判断使用列表或画树状图方法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适合于两步及两步以上求概率；

(2)不重不漏地列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等； (3)确定所有可能出现的结果数n 及所求事件A 出现的结果数m ； (4)用公式P(A)＝m

n

求事件A 发生的概率．

一、选择题：

1. （2019?浙江绍兴?4分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：

组别（cm）x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180

人数 5 38 42 15

根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（）

A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15

【答案】D

【解答】解：样本中身高不低于180cm的频率＝＝0.15，

所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．

故选：D．

2. （2019?湖北天门?3分）下列说法正确的是（）

A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查

B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定

C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5

D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生

【答案】C

【解答】解：A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A错误；

B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明甲的跳远成绩比乙稳定，B错误；

C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，正确；

D．可能性是1%的事件在一次试验中可能会发生，D错误．

故选：C．

3. （2019?山东省德州市?4分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字1

4

，

1

2

，1的卡片，乙

中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（）

A．2

3

B．

5

9

C．

4

9

D．

1

3

【答案】C

【解答】解：（1）画树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，

∴乙获胜的概率为4

9

，

故选：C．

4. （2019?湖北武汉?3分）从1.2.3.4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为A.c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数解的概率为（）

A．1

4

B．

1

3

C．

1

2

D．

2

3

【答案】C

【解答】解：画树状图得：

由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使ac≤4的有6种结果，

∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数解的概率为1

2

，

故选：C．

5. （2019?湖北省随州市?3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（）

A.

1

10

B.

1

12

C.

1

8

D.

1

6

【答案】B

【解析】解：∵E为BC的中点，

∴，∴=，

∴S△BOE=S△AOB，S△AOB=S△ABD，∴S△BOE=S△ABD=S?ABCD，∴米粒落在图中阴影部分的概率为，故选：B．

二、填空题：

6. (2019甘肃省陇南市)（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：

实验者德?摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基

掷币次数6140 4040 10000 36000 80640 出现“正面朝上”的次数3109 2048 4979 18031 39699

频率0.506 0.507 0.498 0.501 0.492

请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5 （精确到0.1）．

【答案】0.5

【解答】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，

所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．

故答案为0.5．

7. （2019浙江丽水3分）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为 .

【答案】1 2

【解答】袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率是

5

10

=

1

2

．

8. （2019?黑龙江省齐齐哈尔市?3分）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为 .

【答案】22

【解答】解：设袋中黑球的个数为x，

根据题意得＝，解得x＝22，

即袋中黑球的个数为22个．

9. （2019?山东省德州市?4分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字1

4

，

1

2

，1的卡片，乙

中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为 .

【答案】4 9

【解答】解：（1）画树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，

∴乙获胜的概率为4

9

，

三、解答题：

10. （2019?海南省?8分）为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：

（1）本次调查一共随机抽取了50 个参赛学生的成绩；

（2）表1中a＝8 ；

（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是C；

（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有320 人．表1 知识竞赛成绩分组统计表

组别分数/分频数

A60≤x＜70 a

B70≤x＜80 10

C80≤x＜90 14

D90≤x＜100 18

【分析】（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人）； （2）a ＝50﹣18﹣14﹣10＝8；

（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C 组； （4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有500×＝320（人）．

【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人）， 故答案为50；

（2）a ＝50﹣18﹣14﹣10＝8， 故答案为8；

（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C 组，故答案为C ； （4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有500×

＝320（人），故答案为320． 11. (2018·遵义)某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向A 区域时，所购买物品享受9折优惠、指针指向其他区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受8折优惠，其他情况无优惠．在每个转盘中，指针指向每个区城的可能性相同(若指针指向分界线，则重新转动转盘)

(1)若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为14

；

(2)若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率．

解：画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能结果，其中指针指向每个区域的字母相同的有2种结果，

∴P(顾客享受8折优惠)＝2

12＝

1

6

.

12. (2019湖北仙桃)（7分）为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位：cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．

（1）填空：样本容量为100 ，a＝30 ；

（2）把频数分布直方图补充完整；

（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．

【分析】（1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值；（2）利用B组的频数为30补全频数分布直方图；

（3）计算出样本中身高低于160cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解．

【解答】解：（1）15÷＝100，

所以样本容量为100；

B组的人数为100﹣15﹣35﹣15﹣5＝30，

所以a%＝×100%＝30%，则a＝30；

故答案为100，30；

（2）补全频数分布直方图为：

（3）样本中身高低于160cm 的人数为15+30＝45， 样本中身高低于160cm 的频率为

＝0.45，

所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm 的概率为0.45．

13. (2018·邢台三模)嘉嘉和琪琪一块去选汽车牌照，现只有四个牌照可随机选取，这四个牌照编号末尾数字如图所示．

牌照末尾数字 5 6 7 数量(个)

1

1

2

(1)求嘉嘉选取牌照编号末尾数字是6的概率； (2)求她俩选取牌照编号末尾数字正好差1的概率．

【解析】：(1)一共有四个牌照，四种等可能结果，其中末尾数字是6的只有一种等可能结果，以P(摇到牌照末尾数字是6)＝14

.

(2)将这四个牌照编号，末尾数字为5的记为a ，末尾数字为6的记为b ，末尾数字为7的分别为c 1，c 2，

a b c 1 c 2 a (a ，b)

(a ，c 1) (a ，c 2) b (b ，a) (b ，c 1)

(b ，c 2) c 1 (c 1，a) (c 1，b) (c 1，c 2)

c 2

(c 2，a)

(c 2，b)

(c 2，c 1)

一共有12种等可能结果，其中末尾数字正好差1有6种等可能结果，

所以P(末尾数字正好差1)＝1 2 .

14. （2019湖北省鄂州市）．（8分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

类别 A B C D E

类型新闻体育动画娱乐戏曲

人数11 20 40 m 4

请你根据以上信息，回答下列问题：

（1）统计表中m的值为25 ，统计图中n的值为25 ，A类对应扇形的圆心角为39.6 度；

（2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；

（3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．

【分析】（1）先根据B类别人数及其百分比求出总人数，再由各类别人数之和等于总人数求出m，继而由百分比概念得出n的值，用360°乘以A类别人数所占比例即可得；

（2）利用样本估计总体思想求解可得．

【解答】解：（1）∵样本容量为20÷20%＝100，

∴m＝100﹣（11+20+40+4）＝25，n%＝

25

100

×100%＝25%，A类对应扇形的圆心角为360°×

11

100

＝39.6°，

故答案为：25、25、39.6．

（2）1500×

20

100

＝300（人）

答：该校最喜爱体育节目的人数约有300人；（3）画树状图如下：

共有12种情况，所选2名同学中有男生的有6种结果，

所以所选2名同学中有男生的概率为1

2

．