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一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用数学，是一门自然学科。对于所有的高中生来说，要学好这门学科，却不是一件

容易的事。大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。但由于高考“指挥棒”的作用，又不得不学。“怎样才能学好数学？”成了学子们问得最多的问题。而

怎样回答这个问题便成了教师们的难题。很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做

题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐。熟话说，“熟能生巧”，当然，多做体肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。

众所周知，数学题是做不完的。我认为要使学生学好数学，还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。要利用书本上有限的例题和习题来提高学

生的学习兴趣和能力。在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，

采取一题多解与一题多变的形式进行教学。这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。另外，能力提高的过程中，学生的成就感

自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。

对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。下面就一题多解与一题多变在教学中的运用谈谈我个人

的几点看法。

一、在公式的推导中运用一题多解

数学的公式在数学的解题中的作用是非常巨大的。并且，要学好数学，就必须

熟练的运用公式。但很多学生对公式的记忆大多采取死记硬背的方法，对公式的推导往

往不够重视。其实，公式的推导过程就是一种解题的方法，或是一种解题技巧。我们如

果在公式的推导过程中运用一题多解的话，就会让学生在学习知识的产生过程中同时掌

握解题的规律和方法，也便于公式的理解记忆。例如：在学习等差数列通项公

式a n=a1+(n-1)d 时，

方法一：

a2a1 d

a3 a2 d a1 2d

a4 a3 d a1 3d ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

由此得到a n=a1+(n-1)d

方法二：

有等差数列定义知：a n a n 1 d

所以有a n 1a n 2 d

a

n 2a

n 3

d

⋯⋯⋯⋯⋯

a3a2 d

a2a1 d

累加得a n a1n 1 d 从而得到a n=a1+(n-1)d

方法二就是我们常用的求数列通项公式的方法—累差法。这样的话，学生对这个公式

的产生过程印象就更深刻，对公式也就更难忘。另外，在记忆公式的同时，也学到了

重要的数学方法和思路，更有助于学生数学思维的发展。这种实例在高中阶段的新课

教学中还有很多，就不一一列举。

二、在例题讲解中运用一题多解和一题多变

一题多变和一题多解的变式在教学之中，往往能起到一座桥的作用，在最近发展区之中能把学生从已知的彼岸渡到未知的彼岸。一题多解，一道数学题，因思考的角

度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展学生的

思维能力，提高学生分析问题的能力。一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论，积极开展多种变式题的求解，

哪怕是不能解决，有助于学生应变能力的养成，培养学生发散思维的形成，增强学生面

对新问题敢于联想分析予以解决的意识。在例题讲解中运用一题多解和一题

多变，就不用列举大量的例题让学生感到无法接受。而是从一个题中获得解题的规律，技巧，从而举一反三。

下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：

例：已知 x、y≥0 且 x+y=1，求 x2+y2的取值范围。

解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。

解法一：（函数思想）由 x+y=1 得 y=1-x ，则

2 2 2 2 2 1

2

1

x +y = x +（ 1-x ） =2x －2x+1=2（x－2 ） +2 由于 x∈[0 ，1] ，根据二次函数的图象与性质知

1

2 2 1

2 2

当 x=2 时， x +y 取最小值2 ；当 x=0 或 1 时， x +y 取最大值 1。

评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，

往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变

量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导数的运用等都可以求

函数的最值。

解法二：（三角换元思想）由于x+y=1， x、 y≥ 0，则可设

2 2

π

x=cos θ， y=sin θ其中θ∈ [0 ，2 ]

则x2+y2 = cos 4θ +sin 4θ=（cos2θ+sin 2θ）2－ 2 cos 2θ sin 2θ

1

2 1

2

=1 －2 （2sin θ cosθ）=1－2 sin 2θ

1 1－ cos4θ 3 1

=1－2 × 2 = 4 + 4 cos4 θ

于是，当 cos4θ=－1 时， x 2+y 2

取最小值

1

2 ；

当 cos4θ=1 时， x 2 +y 2 取最小值 1。

评注： 三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。

解法三： （对称换元思想）由于 x+y=1， x 、 y ≥ 0，则可设

1 1 1 1

x=

2 +t ， y=

2 － t ，其中 t ∈[ －2 ，2 ]

2

2

1

2 1 2 1 2 2

1

于是， x +y = （2 +t ） +（2 －t ） =2 +2t

t ∈ [0 ，4 ]

2 2 2 1 2 1 2

2

所以，当 t =0 时， x +y 取最小值 2 ；当 t =4 时， x +y 取最大值 1。

评注： 对称换元将减元结果进行简化了，从而更容易求最值。

这三种方法，在本质上都一样，都是通过函数观点来求最值，只是换元方式的不同而已，也就导致了化简运算量大小不同，教师通过引导、启发学生主动思考、运用，提高了学生对数学的认识，也增强了学生思维能力的提高。

解法四： （运用基本不等式）由于 x 、y ≥0 且 x+y=1

（x+y ） 2 1 1 则

xy ≤ 4 = 4 ，从而 0≤ xy ≤4

于是， x 2+y 2=（x+y ）2 －2xy=1－2xy

2 2

1 2

2

1

所以，当 xy=0 时， x +y 取最大值 1；当 xy=4 时， x +y 取最小值 2 。

评注： 运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题，但要注意等号成立的条件是否同时满足。

解法四： （解析几何思想）设 d= x 2+y 2 ，则 d 为动点 C （ x ， y ）到原点（ 0， 0）

x y 1

的距离，于是只需求线段

x 0

上的点到原点的最大和最小距离就可。

y 0

y

当点 C 与 A 或 B 重合时， d =1，则（ x +y ） =1

1

B

max

2

2

max

2

22

1

C 当 OC ⊥ AB 时 d min = 2

，则（ x +y ）min =2

O

A

1 x

评注： 用几何的观点研究代数问题，可以加强学生数形结合思想的养成，使学生

在数和形的理解把握好一个联系的尺度， 能够由数想到形的意义， 由形想到数的结构，从而达到快速解决这类问题的目的。事实上，有许多解析几何最值问题和代数中许多

最值问题都可以用类似的方法解决，这对学生数学思维能力的培养，有着很积极的作用。

解法五：（数形结合思想）设 x 2 +y 2=r 2（r ＞0），此二元方程表示以坐标原点为圆心、半径为 r 的动圆，记为⊙ F 。 x y 1

于是，问题转化为⊙ F 与线段 x

y 0

y

1 B

A

O

1 x