第九章 量子霍尔效应

然而，考虑了局域态后，又为什么霍尔电导 仍是量子化了的呢？对此，普拉格(Prange)认为 局域态的存在并不影响霍尔电流。当电子费米能 级位于局域态时，扩展态的电子会补偿应由局域 态贡献的霍尔电流。后来，劳甫林(Laughlin)又 提出了规范不变的观点。所谓规范不变实质即电 荷守恒。从这一点来说劳甫林的这一观点是普拉 格观点的另一种更实质化、一般化的说法。然而 作为物理的机理来说，哈伯林(Halperin)的“边 界流”观点是十分重要的。边界流是一种拓扑元 激发流。正是边界流的存在，才得以使量子化在 有局域态存在时仍成立。不过，对此也有人持反 对意见。应该说，即使在今天，整数量子霍尔效 应(IQHE)的解释还是不完全清楚的。
应用:
1. 1990年起, 国际电阻标准为:
h e 25812.806 精度
2
2 10
8
2. 精细结构常数 精度
0.3ppm
分数量子霍尔效应
整数霍尔效应发现才2年，紧接着崔琦 (Taui，美籍华裔)、斯多麦(Stormer)和谷沙特 (Gossard)又发现了分数量子霍尔效应(FQHE)， 这就提出了更深层的问题。他们在GaAs— AlGaAs异质结上观察到，上述 H 的表示式中M 为分数，而不仅是整数。实验是在高度净化， 温度更低(～1K)，磁场更强(约15特斯拉)的条 件下进行的。此后的大量实验却发现M=p/q，p 是奇数或偶数，而对最低朗道能级，q总是奇数。 1987年后又发现偶分母分数态M=5/2。
两种状态: 扩展态 和 局域态
只有扩展态可以传导霍尔电流 (0度下), 因此若扩展态的占据数不 变, 则霍尔电流不变. 当Fermi能级 位于能隙中时, 出现霍尔平台.
Laughlin(1981) 和 Halperin(1982)基于规范变换 证明, 只要第 i 个扩展态占满, 则霍尔电阻由下式精 确给出 R h
• 从紧束缚近似提供的能带图像不难理解，在能带 中心附近的态应该保持扩展态，至少对不是非常 强的无序系统来说应该成立；在能带边缘的那些 态是局域态。 • 1968年莫特对这种从局域态到扩展态的过渡，提 出了迁移率边缘的临界能量Ec的概念。 • 莫特在1973年又进一步提出Ec处有一个电导率的 突变，即从局域态的σmin=0到扩展态σmin≠0的 突变.
m n
lc eB
1/2
在xy平面内单位面积态之数目为 nB eB h 对于某一个Landau能级, 在y方向的平衡位置数目也由nB 决定, 故能级的简并度是 nB .
磁通量子化
选标量函数仅依赖方位角
2 1 L A dl R r R 2 R
怎么来解释实验中 H 出现的平台呢？(见 上图)。平台的存在说明有电子的态仅对电子 密度n有贡献，但对 H 无贡献。这就表明有 局域态，为解释这一点必须考虑杂质的存在。 杂质使朗道能级变宽而成了能带，并且互相重 叠起来。理论计算表明大部分电子状态局域化 了，即被杂质所束缚，只有那些处在能带中心 的状态仍然是扩展态。改变电子浓度就改变了 费米能级。当费米能级处在局域态区时霍尔电 导取量子数值，而当费米能级跨过一个扩展态 时，霍尔电导率就改变一个量子数。
2 xx 2 xy
xx xx ( ), xy xy ( )
xy 如果 另一方面
0
, 则当
xx 0 时, xx
也为0.
xy ne B xx c
由此, 当 xx 0 时,
jx xy Ey
,
H xy ne B
• 1982年, 崔琦, H.L. Stomer 等发现具有分数量子数 的霍尔平台, 一年后, R.B.Laughlin给出了一个波函 数, 对分数量子霍尔效应给出了很好的解释. • 1998年诺贝尔物理奖授予Horst Stomer, 崔琦和 Robert Laughlin, 以表彰他们发现分数量子霍尔效 应及对这一新的量子液体的深刻理解.
电流密度为
ne2 j nevd E 0E m
若存在外加静磁场, 则电导率和电阻率都变为张量
xx xy xx , yx yy yx
, E= j 仍然成立.
xy yy
此处
j= E
有磁场时, 加入罗仑兹力, 平面电子运动的 Langevin方程为
xy
为霍尔电导
电子在均匀磁场中运动的Landau能级
由量子力学, 电子处在磁场中的哈密顿量为
1 2 H [( px eBy ) 2 p y pz2 ] S z B 2m
这里选择矢量势
A ( By,0,0)
波函数为(因为H中不显含x, z)
i ( x, y, z) ( y)exp[ ( px x pz z )]
MOSFET 的电子能级结构
2, 超晶格 例: GaAs/AlGaAs 异质结的电子能级结构 电子密度: 1011 cm-2
3, 液氦表面
液氦表面有一 个超过1eV的势垒, 阻止电子透射到液 氦中去,而镜象电 荷(+e)势又吸引电 子于表面.电子密 度:
109 cm-2
整数量子Hall效应(IQHE)
其中 0 h e 为磁通量子.
整数量子Hall效应(IQHE)
• 二维电子系统
目前, 二维电子气主要 以下面三个方式实现 1, MOSFET(金属-氧化 物-半导体场效应管) 硅中空穴向z方向运动, 在SiO2和Si 的表面出现 负电荷.电子密度为:
10 cm
13
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-2
MOSFET 示意图 p-Si 空穴型
1974年沙勒斯(Thouless)等提出了局域化问题的标度 描述。 1979年阿伯拉姆(Abraharms)等在沙勒斯等工作基础 上提出了局域化标度理论，结论是电导率应该是连续变 化而不是突变的。以后就有一系列用场论的重整化群方 法研究无序引起的金属-绝缘体相变。结论是D=l，2维 在无序的作用下应该是绝缘体，无相变。而在D=3时有 金属-绝缘体相变。但在有磁场存在时，上述结论并不成 立。 负磁阻现象(D=2)表明，此时无序系统可能有扩展态。 事实上，量子霍尔效应正是在研究电子的局域化问题时 发现的。量子霍尔效应表明，在有磁场时，2维无序系 统应有扩展态，否则σ=0了。
vd e vd ( E vd B) m
稳态时, j nevd , 假定磁场沿z方向, 在xy 平 面内 E j j
0 x c y x
0 E y c jx j y
其中
c eB m
0 e2 n m
(回旋频率)
(经典电导率)
整数量子霍尔效应的发现是在MOS器件上作出 的，这是一个2维有边界的现象。所谓边界，就是 系统的拓扑结构。在有一定的拓扑结构下考虑无 序(杂质)问题，这本身就是一个新问题。在这一 方面，一些形式上拓扑问题的研究固然重要，但 可能还只是问题的第一步，真正的物理还在于考 虑无序后的局域态、扩展态和边界流等问题。
经典霍尔效应
长条形导体:
电流密度:
jx nev
Ey vB
电阻率与磁场成正比
横向电场:
霍尔电阻率: E j B ne H y x
经典霍尔效应
根据德鲁特电导理论, 金属中的电子在被杂质散射前的一 段时间t内在电场下加速, 散射后速度为零. τ称为弛豫时间. 电子的平均迁移速度为
vd eE m
引言
• 1975年S.Kawaji等首次测量了反型层的霍尔电 导, 1978年 Klaus von Klitzing 和Th. Englert 发现霍尔平台, 但直到1980年, 才注 意到霍尔平台的量子化单位
e h
• 1985年, Klaus von Klitzing 获诺贝尔物理奖.
2
引言
1998年第二次诺贝尔奖
• 实验条件
1. 极低温(1.5K) 2. 强磁场(18T) 3. 比较纯的样品
• 实验装置示意图
实验观测到的霍尔电阻
1. 霍尔电阻有台阶
2. 台阶处纵向电阻为零.
3. 台阶高度为 h ie 2 , i 为整数, 对应于占满第 i 个Landau能级, 精度大约为5ppm.
由于杂质的作用, Landau能级 的态密度将展宽(如下图).
如前所述整数量子霍尔效应(IQHE)可以用单 粒子近似很好地描述，其物理图像已基本清楚。 不过仍存在一些问题值得深入研究。分数量子霍 尔效应(FQHE)必须是高迁移率的样品在更低的温 度下才能观察到。分数量子霍尔效应也是一个强 磁场中的电子强关联系统，因为要解释分数量子 霍尔效应必须考虑电子相互作用。这从理论上提 出了一类全新的问题。
H
e i
2
霍尔平台是怎样产生的?
无序引起的金属—绝缘体相变问题
朗道的费米液体理论，实质上说的是库仑相互作用 仍保持动量空间中费米面的存在，或说金属—金属无相 变，莫特现象反映了在窄能带的晶体场中，库仑相互 作用可能导致金属—绝缘体的相变。 那末在非晶体场中又怎样呢？1958年安得森指出在 一个强随机场中电子的波函数会局域化，即有金属—绝 缘体的相变。这一工作在当时并未引起注意，因为结 论似乎是在意料之中的。
由此易得
xx yy 1 0 xy yx = c 0
电导率与电阻率的关系为
2 xx 2 xy
xx yy 0 (1 c2 2 ) xy yx 0c (1 c2 2 )
( )
A 0 exp i 0
作规范变换,并选取
A A A
若波函数描述延展态,则方位 角可以取任意值. 若满足周期性,则 单值性要求:
exp ie

m, m 0, 1, 2,... 0
根据薛定谔方程可求得电子的能量为
En (n )c p 2m Sz B
1 2 2 z
或 En (n 1 )c 2 其中 n = 0, 1, 2, 3, 4, … H的本征函数为
* zz* nm const z * z e z z z ( x iy ) 2lc , z * ( x iy ) 2lc
第九章 量子霍尔效应
• 引言 • 经典Hall效应 • 电子的Landau能级 • 磁通量子化 • 整数量子Hall效应(IQHE) • 分数量子Hall效应(FQHE) • 展望
内容提要
引言
(1985年第一次诺贝奖) 1930年, Landau 证明量子力学下电 子对磁化率有贡献, 同时也指出动能的 量子化导致磁化率随磁场的倒数周期 变化.
量子霍尔效应
• Stormer, Horst L. • Email:
horst@phys.columbia.edu
• Telephone: (212)8543279
量子霍尔效应
• DANIEL C. TSUI, 崔琦 Professor • Room B-426, Engineering Quadrangle • Carol Agans, Administrative Assistant • 609-258-3217 • Connie Brown, Assistant • 609-258-4641 • 609-258-6279 (f)
量子霍尔效应
• Prof. Robert B. Laughlin • Department of Physics • Stanford University, Stanford, CA 94305 • rbl@large.stanford.edu
经典霍尔效应
1879年,由Johns Hopkins 大学 的研究生Edwin Hall发现, 其导 师是Henry A. Rowland 教授.