机械原理第十章 机械系统动力学
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10.2.1 等效动力学模型的建立
机械的运动方程式——为研究机械系统的真实运动而建立的 外力于运动参数间的寒暑表达式。
转化的原则：使系统转化前后的动力学效果保持不变。
作为等效动力学模型的条件：
• 等效构件的质量或转动惯量所具有的动能，应等于整个系
统的总动能。
• 等效构件上的等效力、等效力矩所作的功或所产生的
力矩是速度的函数且具有下降的趋
Mr
Mr
势时，机械具有自动调节非周期性
Md
速度波动的能力。
S
如右图所示，当机械处于稳定运转时，
Md=Mr，此时机械的稳定运转速度为 o ωs ，S点称为稳定工作点。当由于某
种随机因素使Mr增大时，由于Md<Mr ， 等效构件的角速度会下降，但是随着
角速度的下降， Md将增大，所以可使
通过10.4.1图可以看出,等效构件角速度由于机械动能的增加而上 升,如果在等效力矩和等效转动惯量变化的公共周期内,驱动力矩和 阻力矩所作功相等,则机械动能的增量等于零。于是，经过等效力 矩与等效转动惯量变化的一个公共周期，机械的动能又恢复到原
来的值，因而等效构件的角速度也将恢复到原来的数值。可见， 等效构件在稳定运转过程中其角速度将呈现周期性的波动。
W 0 (M d M r )d E
积分求出各交点的△W，进而求出
[W ] Wmax Wmin
如果Md与Mr以线图或表格给出，则可通过Md和Mr之间包
含的各块面积计算各交点处的△W值。还可借助于能量指示 图来确定[W]，见10.4.1图。
10.5.3 飞轮主要尺寸的确定
1.轮形飞轮
这种飞轮一般较大，由轮毂、轮辐和轮缘三部分组成。其轮
矩所产生的功率P之和为 n
m
P Fivi cosi M j j
i 1
j 1
若等等效效构构件件的为角绕速定度轴为转，动则的根构据件等，效其构上件作上用作有用假的想等的效等力效矩力所矩产Me生,,
的功率应该等于整个机械系统中所有外力、外力矩所产生的功率之
和，可得
M e P
于是
Me
n i1
件位置函数的情况为例,右图为等效 △E
力矩Med= Med (φ)与Mer= Mer (φ) 在一个运动循环内的变化曲线。
(b)
△Emax
△Emin
e a' φ φ
动能增量为：
E Wd ( ) Wr ( )
(c)
a [Md () Mr ()]d
△Wmax
1 2
J 2 a' a'
1 2
J
a
2 a
M r M r ()，J J ()，则
1 J 2
2
1 2
J
2
00
0 M d d
0 M r d
故
J0 J
2 0
2 J
(
0
M
d
d
0 M r d )
通过此式即可求出等效构件的角速度函数。同时，由于
() d dt
进行变换并积分可得 即
t
d
dt
t0
0 ( )
d
t t0 0 ( )
第10章 机械系统动力学
§10－1 作用在机械上的力及机械的运转过程 §10－2 机械的等效动力学模型 §10－3 机械运动方程式的建立及求解 §10－4 机械的速度波动及其调节方法 §10－5 飞轮设计
§10－1 作用在机械上的力及机械的运转过程
10.1.1 作用在机械上的力
工作阻力——机械工作时需要克服的工作负荷，决定于机械 的工艺特点。
Md
a
ωa ωs ωb
b
ω
与Mr自动地重新达到平衡，机械将在ωa的速度下稳定运转；
反之，机械将自动调节，在ωb的速度下稳定运转。
（2）对于没有自调性的机械系统，就必须安装一种专门的调节 装置—调速器，来调节机械出现的非周期性速度波动。
§10－5 飞轮设计
10.5.1 飞轮设计的基本原理
飞轮设计的基本问题，就是
功率，应等于整个系统的所有力、所有力矩所作的功或所 产生的功率之和。
10.2.2等效量的计算
1.等效力矩和等效力
设作用在机械上的外力为，Fi(i=1,2,…,n),其作用点的速度为vi， Fi
的方向和vi的方向夹角为 i ，作用在机械中的外力矩Mi(i=1,2,…,n),
受力矩作用的构件的角速度为 j ，则作用在机械中所有外力和外力
2. 速度波动程度的衡量指标
如果一个周期内角速度的变
化如右图所示，平均角速度
为
m
1
T
T d
0
ω
ωmax
ωmin
φ
φT
不容易求得，工程上常采用算术平均值：
m
1 2
(max
min )
因此，可用平均角速度衡量速度波动程度。此外用速度波动系数， 或速度不均匀系数δ也可反映机械运转的速度波动程度。
max min m
10.4.2 非周期性速度波动及其调节方法
1. 非周期性波动产生的原因
非周期性速度波动多是由于工作阻力或驱动力在机械运转过程中 发生突变，从而使输入能量与输出能量在一段较长时间内失衡所 造成的。
2. 非周期性波动的调节方法
非周期性速度波动的调节问题可分为两种情况：
（1）当机械的原动件所发出的驱动 Md
联立上述两式，可求出角速度随时间的变化规律，进而通过下式 计算等效构件的角加速度
d d d d dt d dt d
§10－4 机械的速度波动及其调节方法
10.4.1
周期性速度波动及其调节
Md Mr
Md
Mr
1. 周期性速度波动产生的原因
(a) a 等效力矩和等效转动惯量是等效构 △W
b
c
d
Fi
vi
cosi
m
Mj
j 1
j
同理，当等效构件为移动件时，可以类似得到作用于其上的等效
力为
Fe
n i1
Fi
vi
cosi
v
m
Mj
j 1
j
v
2.等效转动惯量和等效质量
若等效构件为绕定轴转动的构件，角速度为ω ，其对转动轴的假
想的等效转动惯量为Je，则根据等效构件所具有的动能等于机械 系统中各构件所具有的动能之和，可得
e a'
φ φ φ
[W ] Wmax Wmax
(M c
b
d
Mr )d
若设为调节机械系统的周期性速度波动，安装的飞轮的等效转
动惯量为JF，则根据动能定理可得
[W
]
Emax
Emin
1 2
(J
JF
)(m2 ax
2 m
in
)
(J
JF
)m2
由此可得机械系统在安装飞轮后其速度波动系数的表达式为
[W ]
ω
ω
ωm
t
t
启动
稳定运转
停止
启动 稳定运转 停止
匀速稳定运转时，速度不需要调节。 后两种情况由于速度的波动，会产生以下不良后果：
根据能量守恒定律，作用在机械系统上的力在任一时间间隔内 所作的功，应等于机械系统动能的增量。用机械系统的动能方 程式表示为
Wd Wr Wf Wd Wc E2 E1
B
JF
m ( D)2 22
mD 2 8
D
当根据安装空间选定飞轮直径D后， 根据所选的飞轮材料，即可求出飞轮 的宽度B为
B
4m
D2
结束
2 m
(
J
JF
)
在设计时，应满足δ≤[δ]，从而得到应安装的飞轮的等效转动
惯量为
JF
[W ]
2 m
[
]
J
若J《JF，J通常忽略不计。
将平均角速度用转速n表示：JF≥900[W]/[δ]n2π2
10.5.2 最大盈亏功[W]的确定
如10.4.1图所示，在机械动能具有最大增量△Emax和最小增量 △Emin的两个位置，机械分别有最大角速度ωmax和最小角速度 ωmin。 △Emax 和△Emin应出现在Md与Mr两曲线的交点处，将 Md与Mr分别用φ的形式表达，则有
驱动力——驱使原动件运动的力，其变化规律决定与原动机 的机械特性。
10.1.2 机械的运转阶段及特征
机械的运转三个阶段:
ω
启动、稳定运转、停车。
t
启动 稳定运转 停止
稳定运转阶段的状况有：
ω
①匀速稳定运转： 常数
ωm
②周期变速稳定运转：t t TP
t
③非周期变速稳定运转
启动 稳定运转 停止
me
dv dt
10.3ห้องสมุดไป่ตู้2 机械运动方程式的求解
机械运动方程式建立后,便可求解已知外力作用下机械系统的真实 运动规律。下面以等效构件为转动构件，等效力矩和等效转动惯 量均是机构位置函数的情况为例，介绍机械系统真实运动的求解 方法。
当等效力矩是机构位置函数时，采用能量形式的机械运动方程式 比较方便。设已知等效力矩和等效转动惯量为M d M d () ，
2.力矩形式方程式
将单位时间时间间隔内的动能定理写为微分形式，为
得到
dW
M e d
dE
d(1 2
Je2 )
Me
1 2
d
d
(Je 2 )
2
2
dJe
d
J e
d d
又因
d d
d
dt
d d
Je
d d
得到
Me
M ed
Mer
2
2
dJe
d
Je
d
dt
若等效构件为移动构件,则得到
Fe
Fed
Fer
v2 2
dme ds
毂和轮缘的转动惯量较小，可忽略不计。其转动惯量为：
轮幅
轮缘
轮毂 JA
B
H
A
D2 D D1
JF
m ( D12 2
D22 ) 4
m 8
( D12
D22 )
若设飞轮宽度为B（m），轮缘厚度为H（m），平均直径
为D（m），材料密度为 (kg / m3) ，则
1.盘形飞轮
m
1 4
(D12
D22 )B
BHD
3. 周期性波动的调节方法
为了减少机械运转时的周期性速度波动，最常用的是安装飞轮， 即在机械系统中安装一个具有较大转动惯量的盘状零件，由于飞 轮转动惯量很大，当机械出现盈功时，它可以以动能的形式将多 余的能量储存起来，从而使主轴角速度上升的幅度减小；反之， 当机械出现亏功时，飞轮又可释放出其储存的能量，以弥补能量 的不足，从而使主轴角速度下降的幅度减小。
机械运转的三个阶段有如下特征：
启动阶段，机械系统的动能增加，即
Wd Wc E2 E1 0
稳定运转阶段（若机械左变速稳定运转）,即
Wd Wc E2 E1 0
停车阶段，机械系统的动能逐渐减小，即
Wd Wc E2 E1 0
启动阶段和停车阶段统称为机械的过渡过程。
§10－2 机械的等效动力学模型
E
1 2
Je 2
n i 1
1 2mi
v2 si
m j 1
1 2
J
s
j
2 j
于是
Je
n i 1
mi
vsi
2
m j 1
J
s
j
j
2
同理，当等效构件为移动件时，可以类似得到等效构件所具有的 等效质量为
me
n i 1
mi
vsi v
2
m j 1
J
s
j
j
v
2
等效量不仅与作用于机械系统中的力、力矩以及各活动构件的质量、 转动惯量有关，而且和各构件与等效构件的速比有关，但与系统的 真实运动无关。因此，可在机械真实运动未知的情况下计算各等效 量。
J
2
e1 1
设以Med和Mer分别表示作用于机械中的所有驱动力和所有阻力 的等效力矩，则
Me Med Mer
于是，上式可写为
2
1
M
ed d
M d 2
1
er
1 2
J
e
2
22
1 2
J
2
e1 1
若等效构件为移动构件，可得
s2 s1
Fed ds
s2 s1
Ferds
1 2
me2v22
1 2
me1v12
§10－3 机械运动方程式的建立及求解
10.3.1 作用在机械上的力
机械真实运动可通过建立等效构件的运动方程式求解，常用的机 械运动方程式有以下两种形式。
1.能量形式方程式
设等效构件为转动构件，由位置1转到位置2，根据动能定理，在
一定时间间隔内， W E 可得
2
1
M e d
1 2
J
e
2
22
1 2
根据机器实际所需的ωm和δ 来确定其转动惯量JF。由右图
可以得出，由于速度波动，
机械系统的动能随位置φ的
变化而变化。假定等效转动 惯量J为常数，可以得出在位
置b处为Emin 、ωmin，而在c 处为Emax 、 ωmax。
Md Mr
(a) a b E
cd
Emax
(b) Emin
ω
ωmax
(c) ωmin
机械的运动方程式——为研究机械系统的真实运动而建立的 外力于运动参数间的寒暑表达式。
转化的原则：使系统转化前后的动力学效果保持不变。
作为等效动力学模型的条件：
• 等效构件的质量或转动惯量所具有的动能，应等于整个系
统的总动能。
• 等效构件上的等效力、等效力矩所作的功或所产生的
力矩是速度的函数且具有下降的趋
Mr
Mr
势时，机械具有自动调节非周期性
Md
速度波动的能力。
S
如右图所示，当机械处于稳定运转时，
Md=Mr，此时机械的稳定运转速度为 o ωs ，S点称为稳定工作点。当由于某
种随机因素使Mr增大时，由于Md<Mr ， 等效构件的角速度会下降，但是随着
角速度的下降， Md将增大，所以可使
通过10.4.1图可以看出,等效构件角速度由于机械动能的增加而上 升,如果在等效力矩和等效转动惯量变化的公共周期内,驱动力矩和 阻力矩所作功相等,则机械动能的增量等于零。于是，经过等效力 矩与等效转动惯量变化的一个公共周期，机械的动能又恢复到原
来的值，因而等效构件的角速度也将恢复到原来的数值。可见， 等效构件在稳定运转过程中其角速度将呈现周期性的波动。
W 0 (M d M r )d E
积分求出各交点的△W，进而求出
[W ] Wmax Wmin
如果Md与Mr以线图或表格给出，则可通过Md和Mr之间包
含的各块面积计算各交点处的△W值。还可借助于能量指示 图来确定[W]，见10.4.1图。
10.5.3 飞轮主要尺寸的确定
1.轮形飞轮
这种飞轮一般较大，由轮毂、轮辐和轮缘三部分组成。其轮
矩所产生的功率P之和为 n
m
P Fivi cosi M j j
i 1
j 1
若等等效效构构件件的为角绕速定度轴为转，动则的根构据件等，效其构上件作上用作有用假的想等的效等力效矩力所矩产Me生,,
的功率应该等于整个机械系统中所有外力、外力矩所产生的功率之
和，可得
M e P
于是
Me
n i1
件位置函数的情况为例,右图为等效 △E
力矩Med= Med (φ)与Mer= Mer (φ) 在一个运动循环内的变化曲线。
(b)
△Emax
△Emin
e a' φ φ
动能增量为：
E Wd ( ) Wr ( )
(c)
a [Md () Mr ()]d
△Wmax
1 2
J 2 a' a'
1 2
J
a
2 a
M r M r ()，J J ()，则
1 J 2
2
1 2
J
2
00
0 M d d
0 M r d
故
J0 J
2 0
2 J
(
0
M
d
d
0 M r d )
通过此式即可求出等效构件的角速度函数。同时，由于
() d dt
进行变换并积分可得 即
t
d
dt
t0
0 ( )
d
t t0 0 ( )
第10章 机械系统动力学
§10－1 作用在机械上的力及机械的运转过程 §10－2 机械的等效动力学模型 §10－3 机械运动方程式的建立及求解 §10－4 机械的速度波动及其调节方法 §10－5 飞轮设计
§10－1 作用在机械上的力及机械的运转过程
10.1.1 作用在机械上的力
工作阻力——机械工作时需要克服的工作负荷，决定于机械 的工艺特点。
Md
a
ωa ωs ωb
b
ω
与Mr自动地重新达到平衡，机械将在ωa的速度下稳定运转；
反之，机械将自动调节，在ωb的速度下稳定运转。
（2）对于没有自调性的机械系统，就必须安装一种专门的调节 装置—调速器，来调节机械出现的非周期性速度波动。
§10－5 飞轮设计
10.5.1 飞轮设计的基本原理
飞轮设计的基本问题，就是
功率，应等于整个系统的所有力、所有力矩所作的功或所 产生的功率之和。
10.2.2等效量的计算
1.等效力矩和等效力
设作用在机械上的外力为，Fi(i=1,2,…,n),其作用点的速度为vi， Fi
的方向和vi的方向夹角为 i ，作用在机械中的外力矩Mi(i=1,2,…,n),
受力矩作用的构件的角速度为 j ，则作用在机械中所有外力和外力
2. 速度波动程度的衡量指标
如果一个周期内角速度的变
化如右图所示，平均角速度
为
m
1
T
T d
0
ω
ωmax
ωmin
φ
φT
不容易求得，工程上常采用算术平均值：
m
1 2
(max
min )
因此，可用平均角速度衡量速度波动程度。此外用速度波动系数， 或速度不均匀系数δ也可反映机械运转的速度波动程度。
max min m
10.4.2 非周期性速度波动及其调节方法
1. 非周期性波动产生的原因
非周期性速度波动多是由于工作阻力或驱动力在机械运转过程中 发生突变，从而使输入能量与输出能量在一段较长时间内失衡所 造成的。
2. 非周期性波动的调节方法
非周期性速度波动的调节问题可分为两种情况：
（1）当机械的原动件所发出的驱动 Md
联立上述两式，可求出角速度随时间的变化规律，进而通过下式 计算等效构件的角加速度
d d d d dt d dt d
§10－4 机械的速度波动及其调节方法
10.4.1
周期性速度波动及其调节
Md Mr
Md
Mr
1. 周期性速度波动产生的原因
(a) a 等效力矩和等效转动惯量是等效构 △W
b
c
d
Fi
vi
cosi
m
Mj
j 1
j
同理，当等效构件为移动件时，可以类似得到作用于其上的等效
力为
Fe
n i1
Fi
vi
cosi
v
m
Mj
j 1
j
v
2.等效转动惯量和等效质量
若等效构件为绕定轴转动的构件，角速度为ω ，其对转动轴的假
想的等效转动惯量为Je，则根据等效构件所具有的动能等于机械 系统中各构件所具有的动能之和，可得
e a'
φ φ φ
[W ] Wmax Wmax
(M c
b
d
Mr )d
若设为调节机械系统的周期性速度波动，安装的飞轮的等效转
动惯量为JF，则根据动能定理可得
[W
]
Emax
Emin
1 2
(J
JF
)(m2 ax
2 m
in
)
(J
JF
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由此可得机械系统在安装飞轮后其速度波动系数的表达式为
[W ]
ω
ω
ωm
t
t
启动
稳定运转
停止
启动 稳定运转 停止
匀速稳定运转时，速度不需要调节。 后两种情况由于速度的波动，会产生以下不良后果：
根据能量守恒定律，作用在机械系统上的力在任一时间间隔内 所作的功，应等于机械系统动能的增量。用机械系统的动能方 程式表示为
Wd Wr Wf Wd Wc E2 E1
B
JF
m ( D)2 22
mD 2 8
D
当根据安装空间选定飞轮直径D后， 根据所选的飞轮材料，即可求出飞轮 的宽度B为
B
4m
D2
结束
2 m
(
J
JF
)
在设计时，应满足δ≤[δ]，从而得到应安装的飞轮的等效转动
惯量为
JF
[W ]
2 m
[
]
J
若J《JF，J通常忽略不计。
将平均角速度用转速n表示：JF≥900[W]/[δ]n2π2
10.5.2 最大盈亏功[W]的确定
如10.4.1图所示，在机械动能具有最大增量△Emax和最小增量 △Emin的两个位置，机械分别有最大角速度ωmax和最小角速度 ωmin。 △Emax 和△Emin应出现在Md与Mr两曲线的交点处，将 Md与Mr分别用φ的形式表达，则有
驱动力——驱使原动件运动的力，其变化规律决定与原动机 的机械特性。
10.1.2 机械的运转阶段及特征
机械的运转三个阶段:
ω
启动、稳定运转、停车。
t
启动 稳定运转 停止
稳定运转阶段的状况有：
ω
①匀速稳定运转： 常数
ωm
②周期变速稳定运转：t t TP
t
③非周期变速稳定运转
启动 稳定运转 停止
me
dv dt
10.3ห้องสมุดไป่ตู้2 机械运动方程式的求解
机械运动方程式建立后,便可求解已知外力作用下机械系统的真实 运动规律。下面以等效构件为转动构件，等效力矩和等效转动惯 量均是机构位置函数的情况为例，介绍机械系统真实运动的求解 方法。
当等效力矩是机构位置函数时，采用能量形式的机械运动方程式 比较方便。设已知等效力矩和等效转动惯量为M d M d () ，
2.力矩形式方程式
将单位时间时间间隔内的动能定理写为微分形式，为
得到
dW
M e d
dE
d(1 2
Je2 )
Me
1 2
d
d
(Je 2 )
2
2
dJe
d
J e
d d
又因
d d
d
dt
d d
Je
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得到
Me
M ed
Mer
2
2
dJe
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Je
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dt
若等效构件为移动构件,则得到
Fe
Fed
Fer
v2 2
dme ds
毂和轮缘的转动惯量较小，可忽略不计。其转动惯量为：
轮幅
轮缘
轮毂 JA
B
H
A
D2 D D1
JF
m ( D12 2
D22 ) 4
m 8
( D12
D22 )
若设飞轮宽度为B（m），轮缘厚度为H（m），平均直径
为D（m），材料密度为 (kg / m3) ，则
1.盘形飞轮
m
1 4
(D12
D22 )B
BHD
3. 周期性波动的调节方法
为了减少机械运转时的周期性速度波动，最常用的是安装飞轮， 即在机械系统中安装一个具有较大转动惯量的盘状零件，由于飞 轮转动惯量很大，当机械出现盈功时，它可以以动能的形式将多 余的能量储存起来，从而使主轴角速度上升的幅度减小；反之， 当机械出现亏功时，飞轮又可释放出其储存的能量，以弥补能量 的不足，从而使主轴角速度下降的幅度减小。
机械运转的三个阶段有如下特征：
启动阶段，机械系统的动能增加，即
Wd Wc E2 E1 0
稳定运转阶段（若机械左变速稳定运转）,即
Wd Wc E2 E1 0
停车阶段，机械系统的动能逐渐减小，即
Wd Wc E2 E1 0
启动阶段和停车阶段统称为机械的过渡过程。
§10－2 机械的等效动力学模型
E
1 2
Je 2
n i 1
1 2mi
v2 si
m j 1
1 2
J
s
j
2 j
于是
Je
n i 1
mi
vsi
2
m j 1
J
s
j
j
2
同理，当等效构件为移动件时，可以类似得到等效构件所具有的 等效质量为
me
n i 1
mi
vsi v
2
m j 1
J
s
j
j
v
2
等效量不仅与作用于机械系统中的力、力矩以及各活动构件的质量、 转动惯量有关，而且和各构件与等效构件的速比有关，但与系统的 真实运动无关。因此，可在机械真实运动未知的情况下计算各等效 量。
J
2
e1 1
设以Med和Mer分别表示作用于机械中的所有驱动力和所有阻力 的等效力矩，则
Me Med Mer
于是，上式可写为
2
1
M
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1
er
1 2
J
e
2
22
1 2
J
2
e1 1
若等效构件为移动构件，可得
s2 s1
Fed ds
s2 s1
Ferds
1 2
me2v22
1 2
me1v12
§10－3 机械运动方程式的建立及求解
10.3.1 作用在机械上的力
机械真实运动可通过建立等效构件的运动方程式求解，常用的机 械运动方程式有以下两种形式。
1.能量形式方程式
设等效构件为转动构件，由位置1转到位置2，根据动能定理，在
一定时间间隔内， W E 可得
2
1
M e d
1 2
J
e
2
22
1 2
根据机器实际所需的ωm和δ 来确定其转动惯量JF。由右图
可以得出，由于速度波动，
机械系统的动能随位置φ的
变化而变化。假定等效转动 惯量J为常数，可以得出在位
置b处为Emin 、ωmin，而在c 处为Emax 、 ωmax。
Md Mr
(a) a b E
cd
Emax
(b) Emin
ω
ωmax
(c) ωmin