微专题3平面向量问题的“基底法”和“坐标法”(含答案)

微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法”

例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，

动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λ

DC →，则 AE →·A F →的最小值为________．

(例1)

变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π3

，点M 是边AB 的中点，点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN →，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________．

变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________．

处理平面向量问题一般可以从两个角度进行：

切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．

切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达

成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．

1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F

→＝________．

2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →＝________．

3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE

→＝3332

，则AB 的长为________．

(第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________．

5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC

→⊥AB →，则实数m n

＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13

AC →，则|BQ →|的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12

PC →，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________．

(第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE

→＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________．

9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，

动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n

的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC

→且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3.

(1) 求AB →·AC →的值；

(2) 求λ＋μ的值．

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