空间向量及其运算(讲义及答案)
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空间向量及其运算（讲义）
➢ 知识点睛
一、空间向量的定义及定理
1. 定义：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．
2. 空间向量的有关定理及推论 （1）共线向量定理
对空间任意两个向量a ，b （b ≠0），a ∥b 的充要条件是：存在实数λ，使__________．
扩充：对空间三点P ，A ，B ，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线：
①PA PB λ−−→
−−→
=；
②对空间任一点O ，OP OA t AB −−→
−−→
−−→
=+；
③对空间任一点O ，1OP x OA y OB x y −−→
−−→
−−→
=++=（）． （2）共面向量定理
如果两个向量a ，b __________，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是：存在________的有序实数对(x ，y )，使____________．
扩充：对空间四点P ，M ，A ，B ，可通过证明下列任意一个结论成立来证明四点共面：
①MP x MA y MB −−→
−−→
−−→
=+；
②对空间任一点O ，OP OM x MA y MB −−→−−→−−→−−→
=++；
③对空间任一点O ，1OP xOM y OA z OB x y z −−→
−−→
−−→
−−→
=++++=（
④PM −−→
∥AB −−→
（或PA −−→
∥MB −−→
或PB −−→
∥AM −−→
）． （3
）空间向量基本定理
l
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得___________________________．
其中，__________叫做空间的一个基底．
二、空间向量的线性运算
类比平面向量
三、空间向量的坐标运算
a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)（a，b均为非零向量）：
a+b=____________________，a-b=_____________________，
λa=_____________________；
a b⋅=__________________，a=____________________；
cos
a∥b⇔__________⇔__________________；
a⊥b⇔__________⇔__________________．
四、空间位置关系
1.直线的方向向量与平面的法向量
（1）直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任
AB为直线l的方向向量．
意两点，则称−−→
AB平行的任意__________也是直线的方向向量．
与−−→
（2）平面的法向量
①定义：与平面__________的向量，称作平面的法向量．
②确定：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为_______________．
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2. 空间位置关系的向量表示
➢ 精讲精练
1. 如图，在空间四边形ABCD 中，若G 是CD 的中点，则
1()2AB BD BC −−→
−−
→−−→++=（ ）
A ．BC −−→
B ．CG −−→
C ．AG −−→
D ．12
BC −−
→
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G
D
B
A
E O
A
B
C
D
第1题图 第2题图
2. 如图，在四面体OABC 中，设OA −−→=a ，OB −−→=b ，OC −−→
=c ，若D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则−−→
OE =___________．（用
a ，
b ，
c 表示）
3. 已知向量a ，b ，若2AB −−→=+a b ，56BC −−→=-+a b ，72CD −−→
=-a b ，则一定共线的三点是（ ）
A ．A ，
B ，D B ．A ，B ，
C C ．B ，C ，D
D ．A ，C ，D
4. 下列条件：
①OM OA OB OC −−→−−→−−→−−→=+-； ②111532
OM OA OB OC −−→−−
→−−→−−→=++；
③MA MB MC −−→−−→−−→
++=0；
④OM OA OB OC −−→−−→−−→−−→
+++=0．
能推出M ，A ，B ，C 四点共面的是__________．（填写序号）
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5. 已知{a ，b ，c }是空间向量的一个单位正交基底，{a +b ，a -b ，c }是空间的另一个基底，若向量p 在基底{a +b ，a -b ，c }下
的坐标为31
(3)22-，，
，则p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为 _________________．
6. 已知a =(x ，4，1)，b =(-2，y ，-1)，c =(3，-2，z )，且a ∥b ，b ⊥c ． （1）x =_______，y =_________，z =_________； （2）a +c 与b +c 所成角的余弦值为______________．
7. 如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为1，若E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则EF −−→
⋅DC −−→
=（ ）
A ．1
4
B ．14
-
C
D
．
D
C
B
A F
E
第7题图 第8题图
8. 如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为a ，若E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则−−→
AE ⋅AF −−→
=（ ）
A ．2a
B ．212a
C ．214
a
D 2
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9. 若n 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，则下列结论正确的是（ ）
A ．若l ⊥α，则a ⊥n
B ．若l ∥α，则a ∥n
C ．若a ∥n ，则l ⊥α
D ．若a ⋅n =0，则l ⊥α
10. 已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)三点，n =(1，1，1)， 则以n 为方向向量的直线l 与平面ABC 的关系是（ ） A ．垂直 B ．不垂直 C ．平行
D ．以上都有可能
11. 若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则下列能使l ∥α的是（ ）
A ．a =(1，0，0)，n =(-2，0，0)
B ．a =(1，3，5)，n =(1，0，1)
C ．a =(0，2，1)，n =(-1，0，-1)
D ．a =(1，-1，3)，n =(0，3，1)
12. 已知平面α，β的法向量分别为a =(1，1，2)，b =(x ，-2，3)，若α⊥β，则x 的值为（ ）
A ．-2
B ．-4
C ．3
D ．4
13. 已知AB −−→
=(2，2，1)，AC −−→
=(4，5，3)，则平面ABC 的单位法向量是
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________________．
14. 如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱111ABC A B C -的顶点C 与原点O 重合，顶点A ，1C ，B 分别在x 轴、y 轴、z 轴上，若AC =12CC BC =，则直线1BC 与直线1AB 的夹角的余弦值为（ ）
A
．
5
B
．
3
C
．
5
D ．35
15. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，B 1D 1的中点，求证：EF ⊥A 1D ．
B 1
D 1
C 1
A 1
D C
B
A
E F
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16. 如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1的中点． （1）求证：AG ∥平面BEF ；
（2）在棱BB 1上找一点M ，使DM ⊥平面BEF ，并证明你的
结论．
G
F
E
A
B
C D
A 1
C 1
D 1
B 1
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【参考答案】
➢ 知识点睛
一、空间向量的定义及定理
2. （1）a=λb
（2）不共线，唯一，p =x a +y b （3）p =x a +y b +z c ，{a ，b ，c } 三、空间向量的坐标运算
(a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3)，(a 1-b 1，a 2-b 2，a 3-b 3)，(λa 1，λa 2，λa 3)
a 1
b 1+a 2b 2+a 3b 3
a b a b ⋅
b =λa ，
3
12123123
0b b b a a a a a a λ===≠（，，）
0a b ⋅=，a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0
四、空间位置关系
1. （1）非零向量
（2）垂直，0
0n a n b ⋅⋅=⎧⎨=⎩
2.
222
111111
0x y z x y z x y z ==≠（，，）
，1212120x x y y z z ++= 1212120x x y y z z ++=，
222
111111
0x y z x y z x y z ==≠（，，）
222
111111
0x y z x y z x y z ==≠（，，）
，1212120x x y y z z ++= ➢ 精讲精练 1. C
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2.
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a b c ++ 3. A 4. ①③ 5. (1，2，3)
6. （1）2，4-，2；（2）2
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- 7. B 8. C 9. C 10. A 11. D 12. B
13. (13，23-，23)或(13-，23，23
-)
14. A 15. 证明略
16. （1）证明略；（2）M 为BB 1的中点，证明略
1.1空间向量及运算新课讲义-2021-2022高一下学期数学人教B版(2019)选择性必修一
1 2(AB x =一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。11(x ,y ,z a =22(x ,y b =，则 12112(x ,y )a b x z +=++， 12112(x ,y )a b x z -=--， 111(,,)a x y z R λλλλ=， 12a b x x y ⋅=+12//x a b x ⇔=12a b x x ⊥⇔+211||x a y =+222|x b y =++夹角公式：2 1cos ||||x a b a b a b ⋅⋅==⋅+（3）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222121|()()()AB x y y z z =+-+-空间向量的共面定理 （1）ABCD ,(OD xOA yOB zOC x y =+++（2）a b c ， ，向量共面：a xb yc =+
2 典例解析 考点一：概念的判断 例1．若空间向量a 与b 不相等，则与a ，b 一定( ) A ．有不同的方向 B ．有不相等的模 C ．不可能是平行向量 D ．不可能都是零向量 变式1：下列命题中，不正确的命题的个数是（ ） ①空间向量任意五边形ABCDE ，则0;AB BC CD DE EA ++++=②若//,a b a 则所在的直线与b 所在的直线平行；③空间任意两非零向量a ，b 共面；④空间向量a 平行于平面α，则a 所在的直线平行于平面α. A.1 B.2 C.3 D.4 变式2 给出下列命题： ①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量,a b 满足||||a b =，则a b =；④若空间向量 ,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 考点二：空间向量的线性运算 例2．如图在长方体1111D C B A ABCD -中，O 为AC 中点。 (1)化简：11122 AO AB AD -- (2)设E 是棱1DD 上的点，且123DE DD = ，若1EO=xAB yAD zAA ++试求,,x y z 的值。
武_选修111_讲义_空间向量及其运算
关键字:空间向量及其运算 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法； 2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 知识点一、空间向量的概念 1.空间中，既有大小又有方向的量称为空间向量(简称为向量)。 2.与平面向量一样，空间向量也是用有向线段来表示。 //向量只有两要素:方向和大小;而有向线段有三要素:起点,方向和大小. //不同有向线段可以表示相同的向量。 3.大小相等、方向相同的向量称为相等的向量。 4.始点和终点相同的向量叫做零向量，记作0。 //注意零向量的方向是无法确定的。 //但我们规定：零向量的方向与任一向量平行，与任意向量共线，与任意向量垂直。 //零向量的方向不确定，但模的大小确定。零向量与任意向量的数量积为0。 5.表示向量a的有向线段的长度叫做向量的模或长度， 用|a|或a→|表示。 6.方向相同或相反的两个非零向量互相平行，通常规定零向量与任意向量平行。 7.一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面。 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 思考空间向量与平面向量有何异同？ 提示：(1)所处范围：平面向量的范围是在同一个平面的范围内，而空间向量则是在空间的范围内。 (2)是否共面：平面向量中的所有向量都是共面的，而空间中，任意两个向量都是共面的，三个向量则有可能是不共面的，如图所示。
(3)性质推广：平面向量的所有的性质在空间中仍然成立，空间向量的有关问题通常转化为平面向量来解决。 知识点二、空间向量的线性运算 在空间中任取一点O，作OA→＝a，OC→＝b。 →。 2.减法：a－b＝CA→。 1.加法：a＋b＝OB 3.数乘向量：当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： λ>0时，λa与a方向相同； λ<0时，λa与a方向相反。 λ＝0或a＝0时，λa为零向量。 4.空间向量线性运算律。 (1)加法交换律：a＋b＝b＋a； (2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb。 【提示】 (1)平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则，对空间向量也同样成立。 (2)三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。 练习 一、判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) 1.实数与向量之间可进行加法、减法运算。(×) 2.若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同。(√) 3.空间中的任意三个向量一定是共面向量。(×) 二、做一做 1.下列说法正确的是() A.若|a|<|b|，则a §8.5 空间向量及其运算 1． 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23， 1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算 学 习目标核心素养 1．了解空间向量、向量的模、零向量、相反向 量、相等向量、共面向量等概念．(重点) 2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量 的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算 律．(重点、易混点) 3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算 律．(重点、易错点) 1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽 象素养． 2．借助于空间向量的线性运算，提升数学运算 素养． 3．借助于空间向量的数量积，提升数学运算及 逻辑推理的数学素养． 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 图1图2 1．空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB →，模为|AB →|． ②字母表示法：可以用字母a ，b ，c ，…表示，模为|a |，|b |，|c |，…． 2．几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？ [提示] 空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面． 3．空间向量的线性运算 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 图1 图2 (1)如图1，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，CA →＝OA →－OC → ＝a －b ． (2)如图2，DA →＋DC →＋DD 1→＝DB 1→ ． 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a ，则实数λ与空间向量a 相乘的运算称为数乘向量，记作λa ．其中： ①当λ≠0且a ≠0时，λa 的模为|λ||a |，而且λa 的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a 的方向相同； 3．1.2 共面向量定理 [对应学生用书P50]如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，观察下列几组向量，回答问 题． 问题1：、、可以移到一个平面内吗？ 提示：可以，因为＝，三个向量可移到平面ABCD内． 问题2：，，三个向量的位置关系？ 提示：三个向量都在平面ACC1A1内． 问题3：、、三个向量是什么关系？ 提示：相等． 1．共面向量 一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x a＋y b. 1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面．2．向量共面不具有传递性． 3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据． [对应学生用书P51] [例1] 给出以下命题： ①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD ，则由四条线段AB 、BC 、CD 、DA 分别确定的四个向量之和为零向量； ③若存在有序实数组(x ，y )使得＝x ＋y ，则O 、P 、A 、B 四点共面； ④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面； ⑤若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量共面． 其中正确命题的序号是________． [思路点拨] 先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断． [精解详析] ①错：空间中任意两个向量都是共面的； ②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向； ③正确：因为、、共面， ∴O 、P 、A 、B 四点共面； ④错：没有强调零向量； ⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量． [答案] ③ [一点通] 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理． 1．下列说法正确的是________(填序号)． ①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体； ②设平行六面体的三条棱是、、，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是＋＋； ③若＝1 2 (＋)成立，则P 点一定是线段AB 的中点； ④在空间中，若向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共面． ⑤若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线所确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面是同一个平面． 解析：①②③⑤不正确，④正确． 答案：④ 2．已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，试问向量p 、q 、r 是否共面？ 解：设r ＝x p ＋y q ， 则－7a ＋18b ＋22c ＝x (a ＋b －c )＋y (2a －3b －5c ) ＝(x ＋2y )a ＋(x －3y )b ＋(－x －5y )c ， 空间向量及其运算(习题及答案) 例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为上底面 A1B1C1D1的中心，若AE=AA1+xAB+yAD，则x，y的值分 别为（）。 解析：由于E为上底面A1B1C1D1的中心，所以AE的 长度为A1E的长度的一半，即AE=1/2A1E。又因为A1E的方 向向量为1/2(AB+AD)，所以AE=1/2(AA1+AB+AD)。将 AE=AA1+xAB+yAD代入，得到x=1/2，y=1/2，故选D。 例2：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2， AA1=2，AD=1，且AB，AD，AA1两两之间的夹角都是60°，则AC1·BD1=（）。 解析：由于AB，AD，AA1两两之间的夹角都是60°，所以它们构成一组正交基底。设AB=a，AD=b，AA1=c，则 AC1=AB+BC1+CA1=a+b/2+c/2， BD1=BD=AD+DC1+CB1=b+a/2+c/2.将AC1·BD1代入，得到 AC1·BD1=(a+b/2+c/2)·(b+a/2+c/2)=ab+ac/2+bc/2+a^2/4+b^2/4+ c^2/4+ac/4+bc/4，化简得到 AC1·BD1=ab+ac+bc+1/4(a^2+b^2+c^2)，代入数值计算得到 AC1·BD1=5/2，故选B。 例3：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是 A1B1，C1D1的一个四等分点，求BE与DF所成角的余弦值。 解析：以DA，DC。设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为1，则B(1，1，0)，E(1，1/2，1)，D(0，0，0)，F(0，1/2，1)。由于BE的方向向量为(0,-1,1)，DF的方向向量为(0,1,1)， 所以BE·DF=0*(-1)+(-1)*1+1*1=0，即BE与DF所成角的余弦 值为0，故选A。 1.在三棱锥O-ABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示MN，则MN=1/2√(2a^2+2b^2-2c^2)。将公式中的分 数写成根号下的分式形式，避免格式错误。 2.在斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=a，AB=b，AD=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下向量：AP=1/3(b+c-a。0.c-a-b)。将向量的分量 用逗号隔开，避免格式错误。 1.1 空间向量及其运算讲义（选择性必修一） 一、知识框架 二、考点解析 考点一 概念的辨析 【例1】下列命题中，假命题是（ ） A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C ．只有零向量的模等于0 D ．共线的单位向量都相等 【跟踪练习】 1．在下列命题中： ①若向量,a b 共线，则,a b 所在的直线平行； ②若向量,a b 所在的直线是异面直线，则,a b 一定不共面； ③若三个向量,a b c ，两两共面，则,a b c ，三个向量一定也共面； ④已知三个向量,a b c ，，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.在下列命题中： ①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行； ②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面； ④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考法二 空间向量的线性运算 【例2】在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（ ） A ．1223 EF AC AB AD → →→→ =+- B ．112223EF A C AB A D → →→→ =--+ C ．112223 EF AC AB AD →→→→ =-+ D ．112223 EF AC AB AD →→→→ =-+- 1 / 10 空间向量及其运算（讲义） ➢ 知识点睛 一、空间向量的定义及定理 1. 定义：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2. 空间向量的有关定理及推论 （1）共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b （b ≠0），a ∥b 的充要条件是：存在实数λ，使__________． 扩充：对空间三点P ，A ，B ，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线： ①PA PB λ−−→ −−→ =； ②对空间任一点O ，OP OA t AB −−→ −−→ −−→ =+； ③对空间任一点O ，1OP x OA y OB x y −−→ −−→ −−→ =++=（）． （2）共面向量定理 如果两个向量a ，b __________，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是：存在________的有序实数对(x ，y )，使____________． 扩充：对空间四点P ，M ，A ，B ，可通过证明下列任意一个结论成立来证明四点共面： ①MP x MA y MB −−→ −−→ −−→ =+； ②对空间任一点O ，OP OM x MA y MB −−→−−→−−→−−→ =++； ③对空间任一点O ，1OP xOM y OA z OB x y z −−→ −−→ −−→ −−→ =++++=（ ④PM −−→ ∥AB −−→ （或PA −−→ ∥MB −−→ 或PB −−→ ∥AM −−→ ）． （3 ）空间向量基本定理 l 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得___________________________． 其中，__________叫做空间的一个基底． 二、空间向量的线性运算 类比平面向量 三、空间向量的坐标运算 a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)（a，b均为非零向量）： a+b=____________________，a-b=_____________________， λa=_____________________； a b⋅=__________________，a=____________________； cos 3．1.1 空间向量及其线性运算 [对应学生用书P48] 春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来． 问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？ 提示：是． 1．空间向量 (1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量． (2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示． 2．相等向量 凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量. 问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算． 提示：利用平行四边形法则、三角形法则等． 问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？ 提示：交换律、结合律、分配律． 1．空间向量的加减运算和数乘运算 ＝＋＝a＋b，＝－＝a－b， ＝λa(λ∈R)． 2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R). 空间中有向量a，b，c(均为非零向量)． 问题1：向量a与b共线的条件是什么？ 提示：存在惟一实数λ，使a＝λb. 问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？ 提示：一定；不一定． 1．共线向量或平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量． 向量a与b平行，记作a∥b. 规定，零向量与任何向量共线． 2．共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa. 1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则． 2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍． 3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行． [对应学生用书P49] [例1] 下列四个命题： (1)所有的单位向量都相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b； 1.1 空间向量及其运算 1、空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2、空间向量的有关定理 〔1〕共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点 〔2〕共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b . 在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点 3、空间向量的数量积及运算律 〔1〕数量积及相关概念 ①两向量的夹角：两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，那么∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角， 记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，假设〈a ，b 〉＝π2 ，那么称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. 〔2〕空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 知识梳理 第6讲 空间向量及运算 1．空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式 ①设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则|AB |＝□ 01 x 1－x 2 2 ＋y 1－y 2 2 ＋z 1－z 2 2 . ②设点P (x ，y ，z )，则与坐标原点O 之间的距离为 |OP |＝□02 x 2＋y 2＋z 2. (2)中点公式 设点P (x ，y ，z )为P 1 (x 1 ，y 1 ，z 1 )，P 2 (x 2 ，y 2 ，z 2 )的中点，则□03⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋x 22， y ＝y 1 ＋y 2 2 ，z ＝z 1 ＋z 2 2 . 2．空间向量的数量积 a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． 3．空间向量的坐标运算 a ＝(a 1，a 2，a 3)， b ＝(b 1，b 2，b 3)(a ，b 均为非零向量)： 1．概念辨析 (1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同．( ) (2)在向量的数量积运算中(a·b )·c ＝a ·(b·c )．( ) (3)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (4)对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC → (其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．小题热身 (1)如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD → ＝ b ，AA 1→＝ c ，则下列向量中与BM → 相等的向量是( ) 专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理 一、单选题 1．（2019·全国高二课时练习）已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ） A ．2a ，a ﹣b ，a +2b B ．2b ，b ﹣a ，b +2a C ．a ，2b ，b ﹣c D ．c ，a +c ，a ﹣c 【答案】C 【解析】 对于A ，因为2a = 43（a ﹣b ）+2 3（a +2b ），得2a 、a ﹣b 、a +2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A 不正确； 对于B ，因为2b = 43（b ﹣a ）+2 3 （b +2a ），得2b 、b ﹣a 、b +2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B 不正确； 对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a =λ•2b +μ（b ﹣c ）成立，故a 、2b 、b ﹣c 三个向量不共面， 它们能构成一个基底，C 正确； 对于D ，因为c =12（a +c ）﹣1 2 （a ﹣c ），得c 、a +c 、a ﹣c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D 不正确 故选：C ． 2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =， AB b =，AD c =，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c 表示1A N （ ） A ．12 a b c -++ B ．a b c -++ C ．12 a b c --+ D ．12 a b c -+ 【答案】A 【解析】 N 是BC 的中点， 11111 222 A N A A A B BN a b B C a b A D a b c ∴=++=-++=-++=-++. 故选：A. 3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ） A ．111 333OA OB OC ++ B ．111 234OA OB OC ++ C ．111244 OA OB OC ++ D ．111446 OA OB OC ++ 【答案】C 【解析】 在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点 ∴1 2 OG OA AD =+ 11 ()22OA AB AC =+⨯+ 1 ()4OA OB OA OC OA =+⨯-+- 111 244 OA OB OC =++ 故选:C. 4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，设AB a =， AD b =，1AA c =，则CE =（ ） 空间向量与立体几何 一．空间向量及其运算 1．空间向量及有关概念 （1）共线向量定理：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量 或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直 线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式 A O P O =a t + ①其中向量a 叫做直线l 的方向向量。在l 上取a AB =，则①式可化为 .)1(t t +-= ②当21 = t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(2 1+= ③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。 （2）向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a 在α平面内，我们就说向量 a 平行于平面α，记作a ∥α。注意：向量a ∥α与直线a ∥α的联系与区别。 共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。 共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、 y ，使.b y a x p +=① 推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使,y x +=④或对空间任一定点O ，有.MB y MA x OM OP ++=⑤在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。①式叫做平面MAB 的向量表示式。又∵.,OM OA MA -=.OM -=代入⑤，整理得 .)1(y x y x ++--= ⑥ 由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。 2.空间向量的运算及运算律与平面向量相同 二．空间向量基本定理 如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x , y , z , 使 .c z b y a x p ++= 说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是 {}R z y x c z b y a x p p ∈++=、、,| ，这个集合可看作由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{a ，b ，c } §8.6空间向量及其运算 最新考纲考情考向分析 1。了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容．一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现,考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力. 1．空间向量的有关概念 名称概念表示 零向 量 模为0的向量0单位长度(模）为1的向量 2.空间向量中的有关定理 （1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb。 (2）共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝x a＋y b，其中x，y∈R，a，b为不共线向量． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组｛x，y，z｝，使得p＝x a＋y b＋z c,｛a，b,c}叫作空间的一个 基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a,b，在空间任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB叫作向量a,b的夹角,记作〈a，b>，其范围是0≤〈a，b>≤π,若〈a，b〉＝错误!，则称a与b互相垂直，记作a⊥b。 ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则｜a｜｜b|cos 1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其运算 学习目标核心素养1．了解空间向量、向量的模、零向量、 相反向量、相等向量、共面向量等概念．(重点) 2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．(重点、易混点) 3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算律．(重点、易错点) 1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助于空间向量的线性运算，提升数学运算素养． 3．借助于空间向量的数量积，提升数学运算及逻辑推理的数学素养． 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 图1图2 1．空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB →，模为|AB → |． ②字母表示法：可以用字母a ，b ，c ，…表示，模为|a |，|b |，|c |，…． 2．几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？ [提示] 空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面． 3．空间向量的线性运算 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 图1 图2 (1)如图1，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，CA →＝OA →－OC → ＝a －b ． (2)如图2，DA →＋DC →＋DD 1→＝DB 1→ ． 高考数学一轮复习学案：空间向量及其运算 （含答案） 8.6空间向量及其运算空间向量及其运算最新考纲考情考向分析 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系.空间向量的有关概念.定理.公式及四种运算等内容一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行.垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度模为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关定理1共线向量定理空间两个向量a与bb0共线的充要条件是存在实数，使得ab.2共面向量定理共面向量定理的向量表达式pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量3空 间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，a，b，c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律1数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b2，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cosa，b叫做向量a，b 的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa，b2空间向量数量积的运算律abab；交换律abba；分配律abcabac.4空间向量的坐标表示及其应用设aa1，a2，a3，bb1，b2，b 3.向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线abb0， Ra1b1，a2b2，a3b3垂直ab0a0，b0a1b1a2b2a3b30模 |a|a21a22a23夹角a，ba0，b0cosa， ba1b1a2b2a3b3a21a22a23b21b22b23知识拓展1向量三点共线定理在平面中A，B，C三点共线的充要条件是OAxOByOC其中xy1，O 为平面内任意一点2向量四点共面定理在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是OPxOAyOBzOC其中xyz1，O为空间中任意一点题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1空间中任意两个非零向量a，b共面2在向量的数量积运算中abcabc3对于非零向量b，由abbc，则ac.4两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同5若A，B，C，D是空间任意四点，则有ABBCCDDA0.6若ab0，则a，b是钝角题组二 空间向量的运算及应用 知识梳理 数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉； ②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； ③|a |2＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)向量的坐标运算： a ＝(a 1，a 2，a 3)， b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 向量差 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) 数量积 a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ∥b ⇒a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R ，b ≠0) 垂直 a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 夹角公式 cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 2 3 b 21＋b 22＋b 23 方法归纳 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB 为直线l 的方向向量，与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向 量，则求法向量的方程组为⎩ ⎪⎨⎪⎧ n· a ＝0，n· b ＝0. 2．建立空间直角坐标系的原则： (1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法： 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化． 1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算学习任务核心素养 1.理解空间向量及相关概念．(重点) 2.掌握空间向量的线性运算．(重点) 3.掌握共线向量定理、共面向量定理及其推论的应用．(重点、难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养. 2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升直观想象和逻辑推理素养. 回忆平面向量的有关概念与约定，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，请说明理由． 知识点1空间向量及相关概念 (1)空间向量的定义及表示 定义在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量 长度或模空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法几何表示 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有 向线段的长度表示空间向量的模 符号表示 空间向量常用一个小写字母表示．如：向量a，b， c…，其模分别记为|a|，|b|，|c|… 空间向量也可以用有向线段表示．如图 所示，向量a也可记作AB → ，其模记为|a| 或|AB → | (2)几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 1 相反向量 相反 相等 a 的相反向量：－a ； AB →的相反向量：BA → 相等向量 相同 相等 a ＝b 1.若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，那么它们的 起点、终点也相同吗？ [提示] 起点、终点未必相同． 单位向量、零向量都只规定了向量的模而没有规定方向．需注意单位 向量有无数个，它们的方向并不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等． 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量AB →与向量BA → 的长度相等． ( ) (2)零向量没有方向． ( ) [提示] (1)√ 对于任意向量AB →和BA →，都有|AB →|＝|BA → |成立． (2)× 零向量有方向，它的方向是任意的． 回忆平面向量的加法、减法与数乘运算，思考如何定义空间向量的加法、减法与数乘运算，并尝试总结空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有何不同． 知识点2 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a ＋ b ＝OA →＋AB →＝OB → 减法 a － b ＝OA →－OC →＝CA →空间向量及其运算
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