2.1.2椭圆的简单几何性质(直线与椭圆的弦长公式)(第二课时)
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椭圆的简单几何性质
(2)
y2 y1 1. 倾斜角、斜率： k tan x2 x1
2. 直线方程的五种形式. （1）点斜式： y y k ( x x ) （2）斜截式： y kx b y y1 x x1 （3）两点式： y2 y1 x2 x1 x y （4）截距式： 1 a b
x2 y2 1 36 9
中点弦问题
例 ：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程. 解法一：
韦达定理→中点坐标→斜率
课后探讨第二种解法
练习：
x2 y2 1 的弦被点P（4，2）平 1、如果椭圆被 36 9
分，求这条弦所在直线方程。
课后练习
1、过椭圆 x2 2 y 2 4 的左焦点作倾斜角为 30 的直 线，求弦长AB.
x y2 1 5 m
总有公共点，求m的取值范围。
回忆：直线与圆的相交弦长 弦长公式：
l 2 r d
2
2
二、弦长公式
推导：设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线斜率为k．
弦长公式：
| AB | 1 k
2
其中 x1 x2
1 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 1 2 ( y1 y2 ) 2 4 y1 y2 k 、 x1 x2 可以由韦达定理求得
一.直线复习
（5）一般式： Ax By C 0
3. 两条直线的平行与垂直 平行： 垂直：
l1 / /l2 k1 k2 l1 l2 k1k2 1
4.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离 为：d
C1 C 2 A2 B 2
一、直线与椭圆的位置关系
2
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
方法与过程：
(1)联立方程组；
(2)消去其中一个未 知数，得到二元一 次方程； (3)韦达定理； (4)弦长公式.
变式训练：
已知椭圆 和点P（4,2），直线L经过 1 点P且与椭圆交于A,B两点。当直线L的斜率为 2 时，求线段AB的长度。
通法
相交 相切 相离
例1：已知椭圆 ，问 m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？
4 x 2 y 2 1 及直线 y x m
变式训练：已知直线 相交，求m的取值范围。
直线 2
x2 y2 y 2 x m 与椭圆 1 4 2
y kx 1(k R) 与焦点在x轴上的椭圆
种类:
相离(没有交点)
相切(一个交点)
相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax By C 0 2 2 由方程组： x y 2 2 1 b a
消去y
mx2+nx+p=0（m≠ 0） = n2-4mp
>0 =0 <0
方程组有两解 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交点
(2)
y2 y1 1. 倾斜角、斜率： k tan x2 x1
2. 直线方程的五种形式. （1）点斜式： y y k ( x x ) （2）斜截式： y kx b y y1 x x1 （3）两点式： y2 y1 x2 x1 x y （4）截距式： 1 a b
x2 y2 1 36 9
中点弦问题
例 ：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程. 解法一：
韦达定理→中点坐标→斜率
课后探讨第二种解法
练习：
x2 y2 1 的弦被点P（4，2）平 1、如果椭圆被 36 9
分，求这条弦所在直线方程。
课后练习
1、过椭圆 x2 2 y 2 4 的左焦点作倾斜角为 30 的直 线，求弦长AB.
x y2 1 5 m
总有公共点，求m的取值范围。
回忆：直线与圆的相交弦长 弦长公式：
l 2 r d
2
2
二、弦长公式
推导：设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线斜率为k．
弦长公式：
| AB | 1 k
2
其中 x1 x2
1 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 1 2 ( y1 y2 ) 2 4 y1 y2 k 、 x1 x2 可以由韦达定理求得
一.直线复习
（5）一般式： Ax By C 0
3. 两条直线的平行与垂直 平行： 垂直：
l1 / /l2 k1 k2 l1 l2 k1k2 1
4.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离 为：d
C1 C 2 A2 B 2
一、直线与椭圆的位置关系
2
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
方法与过程：
(1)联立方程组；
(2)消去其中一个未 知数，得到二元一 次方程； (3)韦达定理； (4)弦长公式.
变式训练：
已知椭圆 和点P（4,2），直线L经过 1 点P且与椭圆交于A,B两点。当直线L的斜率为 2 时，求线段AB的长度。
通法
相交 相切 相离
例1：已知椭圆 ，问 m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？
4 x 2 y 2 1 及直线 y x m
变式训练：已知直线 相交，求m的取值范围。
直线 2
x2 y2 y 2 x m 与椭圆 1 4 2
y kx 1(k R) 与焦点在x轴上的椭圆
种类:
相离(没有交点)
相切(一个交点)
相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax By C 0 2 2 由方程组： x y 2 2 1 b a
消去y
mx2+nx+p=0（m≠ 0） = n2-4mp
>0 =0 <0
方程组有两解 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交点