人教A版高中数学必修三课件3.1.3

(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环、5环、 4环、3环、2环、1环、0环，但由于这些概率都未知，故不 能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面大于等于7 环，即7环、8环、9环、10环，由于此两事件必有一个发生， 另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理．
根据题意作出文氏图．
(1)从图(1)中可以看到：“朝上的一面出现奇数”与 “朝上的一面出现偶数”各自所含结果所组成的集合互为 补集，因此它们构成对立事件．
(2)从文氏图(2)中可以看到：“朝上的一面的数字不 大于4”与“朝上的一面的数字大于4”各自所含结果组成 的集合互为补集．它们构成对立事件．
跟踪训练
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
解析：互斥表示不能同时成立，但可以有第三种情况 出现，对立指不能同时成立，而且两者必有一个要发生．
答案：C
3．给出以下结论：
①互斥事件一定对立 ②对立事件一定互斥 ③互斥 事件不一定对立 ④事件A与B的和事件的概率一定大于事 件A的概率 ⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”， 即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同 时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲 报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订 一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只 订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互 斥事件．
7．互斥事件概率加法公式
当事件A与B互斥时，满足加法公式：
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以 P(A∪B)＝________，于是有P(A)＝________.
例如：投掷骰子六点向上的概率为1/6，投得向上点数不 为六点的概率为：________.
6．若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称 事件A与事件B互为 例：互斥事件
7．P(A)＋P(B)＝1 1－P(B) 例：
思考应用
1．如何类比集合之间的包含关系理解事件之间的 包含关系？
解析：非空集合A是集合B的子集是指集合A的每个元 素都是集合B的元素．若将事件所包含的基本事件看成“元 素”，那么，对于事件A与事件B，事件A发生则事件B一定 发生其实就是指事件A所包含的“元素”都是事件B的“元 素”，于是，我们称事件B包含事件A，记作B⊇A.类似地， 不可能事件记作∅，任何事件包含不可能事件；类比集合的 相等可定义两个事件相等：如果事件C发生，那么事件D一定 发生，反过来也成立，则这两个事件相等，一般地，A⊇B且 A⊆B，则A＝B.
理解和判断对立事件
抛掷一个骰子，用图形画出下列每对事件 所含结果所形成的集合之间的关系，并说明二者之间是 否构成对立事件．
(1)“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶 数”；
(2)“朝上的一面数字不大于4”与“朝上的一面的 数字大于4”．
解析：对立事件的含义是：两个事件在一次试验中 有且仅有一个发生，类比集合．可用文氏图揭示事件之 间的关系．
2．如何类比集合的运算理解事件的运算？
解析：集合A与集合B的并集是指由集合A或集合B的 元素构成的集合， 集合A与集合B的交集是由既是集合A的 元素又是集合B的元素构成的集合，将某事件所包含的基本 事件看成“元素”，我们可类似地理解事件的运算：(1)事 件A与事件B的并事件即若某事件发生当且仅当事件A发生 或事件B发生，记作A∪B或A＋B；(2)事件A与事件B的交 事件即若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，记 作A∩B或AB.
事件的运算
抛掷一枚骰子，下列事件： A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于 3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}．则： (1)A∩B＝________，B·C＝________. (2)A∪B＝________，B＋C＝________. (3)记为H 事件H的对立事件，则＝_D______， ·CA＝_____， ∪BC＝_____， +D ＝E______.
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
分析：利用互斥事件和对立事件的定义判断．
解析：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括 “只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A 与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也 不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件，由 于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导 致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．
3．如何理解互斥事件？
解析：对互斥事件的理解要抓住以下三个方面， 第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系； 第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的； 第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出 现来确定的．
4．如何理解互斥事件与对立事件的区别与联系？
解析：互斥事件指的是事件A∩B为不可能事件，即A∩B ＝∅，其含义是：事件A与事件B在一次试验中不会同时发生； 对立事件指的是事件A∩B为不可能事件，同时事件A∪B为必 然事件，其含义是：事件A与事件B在一次试验中有且只有一 个发生．互斥事件与对立事件的区别与联系是：互斥事件是 指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三 种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生；(2)事件A不发 生且事件B发生；(3)事件A与事件B同时不发生．而对立事件 是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；
(1)事件A发生B不发生；(2)事件B发生事件A不发生， 对立事件是互斥事件的特殊情形．所以在一次试验中，两个 互斥的事件可能都不发生，可能有一个发生，但绝对不可能 同时发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同 时发生．因此两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事 件对立，它们一定互斥．从集合角度看，事件A、B互斥，它 们相应集合的交集是空集；事件A、B对立，就是事件A包含 的结果的集合是其对立事件B包含的结果的补集．如果事件A 与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A与事件 B对立，则P(A)＝1－P(B)．
理解和判断互斥事件
判断下列每对事件是否为互斥事件． (1)将一枚硬币抛两次，事件A：两次出现正面，事 件B：只有一次出现正面． (2)某人射击一次，事件A：中靶，事件B：射中9 环． (3)某人射击一次，事件A：射中环数大于5，事件B： 射中环数小于5.
解析：(1)若“两次出现正面”发生，则“只有一 次出现正面”不发生，反之亦然，即事件A与B不可能 同时发生，则A，B互斥．
2．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参 加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是， 再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生； (2)至少1名男生与全是男生； (3)至少1名男生与全是女生； (4)至少1名男生与至少1名女生．
分析：根据互斥事件和对立事件的定义来判断．
1．一定发生 包含
例：事件B包含事件A A⊆B
2．A⊆B B⊆A
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3．并(和)事件
若某事件发生当且仅当___________，则称此事件为事 件A与B的并事件(或称和事件)记作：A∪B.
4．交(积)事件
若某事件发生当且仅当_________，则称此事件为事件 A与B的交事件(或称积事件)记作：A∩B.
5．互斥事件
若A∩B为_________，即A∩B＝______，那么称事件A 与事件B________.
3.事件A发生或事件B发生 4.事件A发生且事件B发生 5.不可能事件 ∅ 互斥
6．对立事件____________________对立事件．
例如：某同学在高考中数学考了150分，与这同学在高 考中考得130分，这两个事件是________．
(2)抽到的既是高一(1)班的运动员，又是英语竞赛小 组的成员；
(3)抽到的既是高一(1)班的数学竞赛小组又是英语竞 赛小组的成员，或者是高一(1)班的运动员．
互斥事件的概率
某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、 8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手 在一次射击中：
(2)某人射击一次中靶不一定击中9环，但击中九 环一定中靶，即B发生则A一定发生，则A，B不互斥．
(3)A，B互斥．
跟踪训练
1．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E 为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件； 如果是，再判断它们是不是对立事件：
跟踪训练
3．某校组织一个夏令营，在高一(1)班抽一部分学生 参加，记事件A为抽到高一(1)班的运动员，事件B为抽到高 一(1)班数学竞赛小组成员，事件C为抽到高一(1)班英语竞 赛小组成员．说明下列式子所表示的事件：
(1)A∪B (2)A∩C (3)A∪(B∩C)
解析： (1)抽到的是高一(1)班的运动员，或是数学竞 赛小组成员；
解析：从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结 果：2男或2女或1男1女．
(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生， 所以它们是互斥事件；
当恰有2名女生时，它们都没有发生，所以它们不是 对立事件．
(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时 发生，所以它们不是互斥事件；
(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生， 所以它们是互斥事件；
由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)当选出的是1名男生1名女生时，至少1名男生与 至少1名女生同时发生，所以它们不是互斥事件．
点评：判断互斥事件和对立事件时，主要用定义来 判断．当两个事件不能同时发生时，这两个事件是互斥 事件；当两个事件不能同时发生且必有一个发生时，这 两个事件是对立事件．
自测自评 1．在一对事件A，B中，若事件A是必然事件，事件B
是不可能事件，那么A和B( C )
A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，但不是互斥事件 C．是互斥事件，也是对立事件 D．既不是对立事件，也不是互斥事件
2．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、 丙、丁4个人，每人分得1件，事件“甲分得红牌”与事件 “乙分得红牌”是( )
其中正确命题的个数为( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：①错；②对；③对；④错，可能相等如B是A 的特殊情况；⑤错，对立事件才有这个公式．
答案：C
4．设A，B为两个事件，且P(A)＝0.3，则当_______
时，一定有P(B)＝0.7.( B )
A．A与B互斥
B．A与B对立
C．A⊆B
D．A不包含B
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”仅仅 是事件C中的一种可能情况，事件C与事件E可能同时发 生，故C与E不是互斥事件．
点评：要判断两个事件是不是互斥事件，只需要 找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时 发生．在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发 生，可判断是否为对立事件．
(1)射中10环或7环的概率； (2)不够7环的概率． 解析：(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为 事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A 与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B. 则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49. 故射中10环或7环的概率为0.49.
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
概率
3.1 随机事件的概率 3.1.3 概率的基本性质
1．正确理解事件的包含、并(和)、交(积)、相等， 及互斥事件和对立事件的概念．
2．掌握概率的几个基本性质．
3．正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与 对立事件的区别与联系．
基础梳理
1．事件的包含关系 如果事件A发生，则事件B______.则称事件B______事 件A. 例如：事件A＝{投掷一个骰子投得向上点数为2}，B ＝{投掷一个骰子投得向上点数为偶数}，则__________， 记作：______. 2．相等事件 若______且______，那么事件A与事件B相等．