《解三角形的实际应用举例》教学设计(可编辑修改word版)

课题：解三角形的实际应用举例

一、教材分析

本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。

二、教学目标

1、知识与技能

①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义

②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等）

2、过程与方法

①采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步

构建知识框架

②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用

3、情感态度价值观

①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值

②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力

三、教学重点、难点

1、重点：①实际问题向数学问题的转化

②掌握运用正、余弦定理等知识方法解三角形的方法

2、难点：实际问题向数学问题转化思路的确定

四、教学方法与手段

本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。通过问题的探究，要让学生结合实际问题，画出相关图形，学会分析问题情景，确定合适的求解顺序，明确所用的定理；其次，在教学中让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力。

例 1、如图所示，设 A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量 者在 A 的同侧，在所在的河 B

岸边选定一点C ，测出 AC 的距离是 55m ， ∠ BAC= 51︒ ， ∠ ACB= 75︒ 。求 A 、B 两点的 距离(精确到 0.1m)

A

C

启发提问 1： ∆ ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

启发提问 2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？ 请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC 的对角，应用正弦定理算出 AB 边。 解：根据正弦定理，得

AB = AC sin ∠ACB sin ∠ABC

AB=

AC sin ∠ACB = 55sin ∠ACB = 55sin 75︒

sin ∠ABC

sin ∠ABC

sin(180︒ - 51︒ - 75︒)

= 55sin 75︒ ≈ 65.7(m) sin 54︒

答:A 、B 两点间的距离为 65.7 米

变式练习：两灯塔 A 、B 与海洋观察站 C 的距离都等

于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 ︒ ，灯塔 B 在

观察站 C 南偏东 60

︒ ，则 A 、B 之间的距离为多少？

解略： 2 a km

例 2、如图，A 、B 两 A

B

点都在河的对岸（不可 到达）设，计一种测量 A 、B δ

γ

α

两点间距离的方法。

D

β

C

解：测量者可以在河岸

边选定两点 C 、D ，测得 CD=a ，并且在 C 、D 两点分别测得

∠ BCA=， ∠ ACD= ， ∠ CDB=， ∠ BDA =，

在∆ ADC 和∆ BDC 中，应用正弦定理得

AC=

a sin(+ ) = a sin(+ )

sin[180︒ - (+ + )] sin(+ + )

BC= a sin= a sin

sin[180︒-(++)]sin(++)

计算出 AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离

AB= AC 2+BC 2- 2 AC ⨯BC cos

分组讨论：还没有其它的方法？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练：若在河岸选取相距 40 米的C、D 两点，测

得∠BCA=60 ︒，∠ACD=30 ︒，∠CDB=45 ︒，∠BDA =60 ︒

略解：将题中各已知量代入例 2 推出的公式，得 AB=20 6

例 3、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。

A

D β C αE

H G B

分析：求 AB 长的关键是先求 AE，在∆ACE 中，如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA，再测出由 C 点观察A 的仰角，就可以计算出 AE 的长。

解：选择一条水平基线 HG，使 H、G、B 三点在同一条直线上。由在 H、G 两点用测角仪器测得 A 的仰角

分别是、，CD =a，测角仪器的高是 h，那么，在∆ACD 中，根据正弦定理可得

AC = a sin

sin(-)

AB = AE + h

= AC sin+ h

= a sin sin + h

sin(-)

例4、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 ︒的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东 32 ︒的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果