运筹学大作业 单纯性法与对偶单纯性法比较

对偶单纯形法与单纯形法对比分析

1．教学目标：

通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解 2．教学内容：

1）对偶单纯形法的思想来源 2）对偶单纯形法原理 3．教学进程：

1）讲述对偶单纯形法解法的来源：

所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家C.莱姆基于1954年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。

2）为什么要引入对偶单纯形法：

单纯形法是解线性规划的主要方法，对偶单纯形法则提高了求解线性规划问题的效率，因为它具有以下优点： （1）初始基解可以是非可行解, 当检验数都为负值时, 就可以进行基的变换, 不需加入人工变量, 从而简化计算； （2）对于变量多于约束条件的线性规划问题,用对偶单纯形法可以减少计算量,在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中,有时适宜用对偶规划单纯形法。 由对偶问题的基本性质可以知道，线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一组互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w 。据此可知，用单纯形法求解线性规划问题时，在得到原问题的一个基可行解的同时，在检验数行得到对偶问题的一个基解，并且将两个解分别代入各自的目标函数时其值相等。

我们知道，单纯形法计算的基本思路是保持原问题为可行解（这时一般其对偶问题为非可行解）的基础上，通过迭代，增大目标函数，当其对偶问题的解也为可行解时，就达到了目标函数的最优值。那么对偶单纯形法的基本思想可以理解为保持对偶问题为可行解（这时一般原问题为非可行解）的基础上，通过迭代，减小目标函数，当原问题也达到可行解时，即达到了目标函数的最优值。其实对偶单纯形法本质上就是单纯形法, 只不过在运用时需要将单纯形表旋转一下而已。 一.单纯形法和对偶单纯性法

单纯形法是求解线性规划的主要方法, 单纯形表则是单纯形法和对偶单纯形法的运算工具。设线性规划问题为

Max ∑==n

j j j x c Z 1

⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≤∑=),....,1(0)

,...,1(..1n j m i t s x b x a j

n

j i j ij ⑴

将其化为标准形式，得

Max Z= CX

s.t. ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+0,X X s

s X b

AX ⑵

其中),(C C N B C =，)0,...,0,0(0==C N ，),(N B A =，⎪⎩⎪⎨⎧=X X N

B

X ，则其对应的线性约束

转换为

01

1

=++--X B

X B

X s N B ，

X

B

X B

B X s

N B b 1

1

1---+-=，代入目标函数得

X

B

C X B C C B C S

B N B N B b Z 1

1

1

)(-----+=，相应的一个基解为

b B X B 1

-=，

0=X

N

，0=X S 。显然，若01

≥-b B ，且0)(1

≥--N B C C B N ，01

≥--X

B C S

B ，

则基解⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=-01

b X B 为该线性规划的最优解, 此时检验数均大于零, 见表1。

通过上面的分析, 我们知道单纯形表的检验数实际上是目标函数中基变量、非基变量的价值系数,又由对偶理论知道它们是相应对偶问题的一个( 加一个负号) 基解。那么

表中b 列的数字仅仅表示的是X B 的取值吗? 我们可以猜想b B 1

- 很可能是对偶问题的检验数。这里首先给出问题(1) 的对偶问题的一般形式

Min ∑==m

i i

i y b w 1

s.t.⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≥∑=),....,1(0)

,...,1(1m i n j y c y a i

m

i j i ij ⑶

将问题（3）化为标准形式，得 Min YB w =

s.t.⎪⎩⎪⎨⎧≥=-0

,Y Y S S Y C

YA ⑷

由),(C C N B C =，),(N B A =，Ys 为松弛变量，Ys 相应分解为Y sB 、Y sN ，其中

0),....,,(21

1

≥=++y y

y

Y

m

m m sB

，0),....,,(22

21

2≥=++y y

y

Y n

m m sN 。得：

C Y B sB YB =- ⑸ C Y N sN YN =- ⑹ 由式⑸得到

B Y B

C sB B Y 1

1

--+= ⑺

通过令

0=Y sB ，由式(5)得对偶问题的基解B

C B Y 1

-=,代入式(6)得

C B C Y N B sN N -=-1

,将式(7)对偶问题的目标函数得b b w B Y B C sB B 1

1

--+=。显然若

目标函数达到最小,非基变量Y sB 的价值系数要求大于等于零,单纯形表b 列01

≥-b B , 即

01

≥-b B

实际上是对偶问题的非基变量检验数。

二．对偶单纯形法的算法步骤 (1)确定换出基的变量

设原问题为（1），对偶问题为（3）。由),(),,(C C N B C N B A ==，不等式C YA ≥则可分解为 C C N B YN YB ≥≥, (8)

进一步添加松弛变量有等式（5）、（6），对等式（5）两端同时左乘B 1

-有 B C B Y B sB Y 1

1--=- (9) 将B Y sB 1

-移至等式右端得

B C B Y B sB Y 1

1--+= (10) 由不等式（8）得

0≤-YB C B (11) 0≤-YN C N (12) 将式（10）代入不等式（11）、（12）得

01

1≤--=---B B YB B Y B C C C sB B B B (13) 01

1≤--=---N N YN B Y B C C C sB B N N (14) 将（13）、（14）合并得

0),)((),(),(),(1

1≤+-=---N B N B Y B Y B C C C C C sB B N B N B (15) 整理得

01

1≤----A A C B Y B C sB B (16)

其中A C B C B 1--是单纯形表中X 变量的检验数,记)(1

σj B A C B C =--，(j=1,2,....,n),n m ij a B

A x '

1

)(=-矩阵，显然，若Y 为基可行解，而若

01

<-b B

，则对偶问

题的目标函数

b

b w B Y B C sB B 1

1--+=未取得最小值，取