高中数学函数与方程教案

《函数与方程》

一、教材分析

1、教材的地位与作用

本节内容是本章的开启，在学习本节内容之前，学生们已经学习过了基本初等函数的相关性质，这为过渡到本节的学习起到了铺垫性的作用。函数与方程既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。

就本章而言，本节课渗透着重要的“特殊到一般的归纳思想”、“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好的基础，因此教好本节是至关重要的。同时，本节内容的为下一节函数模型及其应用奠定了基础。

2、教学目标

（1）知识与技能：结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；掌握求函数零点及判断函数零点个数的方法；

（2）过程与方法：通过数形结合的思想方法，让学生感受数学探索的成就感；通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力；

（3）情感态度与价值观：让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。

3、教学重难点

（1）教学重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某个区间上存在零点的判定方法；

解决策略：从方程的根和函数图像与x轴的交点入手深化零点的概念，多举实例加强零点存在性的判定。

（2）教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。

解决策略：与学生共同探究，理解零点、体验零点的确定，应用零点,进而掌握方法. 通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辩证关系，掌握函数零点存在性的判断。

4、课时安排：本节内容分为两个课时完成。第一课时是方程的根与函数的零点；第二课时是用二分法求方程的近似解。本节课设计的是第一课时的内容。

二、教法分析

教学中采用“启发—探究—讨论”式教学模式，利用函数模型解决问题，方程的根与函数的零点的关系。在老师启发引导下，运用问题解决式教法，师生交谈法，问答式，课堂讨论法。在采用问答法时，特别注重不同难度的问题，体温不同层次的学生，面向全体，使基础差的学生也能有表现机会，培养其自信心，激发其学习热情。同时通过课堂练习和课后作业，启发学生从书本知识回到社会实践。提供给学生与其生活和周围世界密切相关的数学知识，在教学中培养学生的学习兴趣和动机。

三、学情分析

（1）学生特点分析：中学生心理学研究指出，高中阶段是抓住学生特点，积极采用形象生动，形式多样的教学方法和学生广泛的积极主动参与的方式，一定能激发学生兴趣，有效的培养学生能力，促进学生个性发展；

（2）知识障碍上:知识掌握上，学生原有的知识，许多出现遗忘，所以应全面系统的讲述，予以简单明白、深入浅出的分析；

（3）动机和兴趣上：明确的学习目的，老师应在课堂上充分调动学生的学习积极性激发来自学生主体的最有力的动力。

四、教学过程

1、导入新课

问题1：请同学们思考这个问题。用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？

（1）；（2）.

先让学生回答，思考解法。第二个方程学生们不会解，提问学生：你是如何思考的？有什么想法？

设计意图：提出第二个问题可以激发学生的好奇心，引起头脑风暴。让学生对本节内容的学习产生兴趣。充分调动学生的积极性和主动性。从而引入本

节课的学习---方程的根与函数的零点。

我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。

2、新课讲解

问题1：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

① 方程0322=--x x 与函数322--=x x y ；

② 方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ；

③ 方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y ；

设计意图：引导学生解方程、画函数图像、分析方程的根于图像和x 轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数，从而引出零点概念。

零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做))((D x x f y ∈=的零点。

问题2：填表格

让学生独立思考，填完表格。老师再根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与方程的根有何关系？

设计意图：让学生们关注图像所反映的特征，一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过对比向学生们揭示知识点之间的关系。从而得出以下结论：

（1） 概念：函数的零点不是“点”，它不是以坐标的形式出现，而是实数。例

如函数322--=x x y 的零点为3,1-=x

（2）函数零点的意义：函数)(x

f的实数根，也就

)(=

x

f

y=的零点就是方程0

是函数)(x

y=的零点。

f

（3）方程0

)(=

f

y=的图像与x轴有交点⇔函数f有实数根⇔函数)(x

x

f

y=有零点。

(x

)

问题3：所有的二次函数都有零点吗？

让学生们讨论交流，总结概括形成：

二次函数)0

(

2≠

ax

bx

y的零点：看∆

+

+

=a

c

（1）0

∆，方程0

>

2=

bx

ax有两个不等实根，图像与x轴有两个交点，二

+c

+

次函数有两个零点；

（2）0

∆，方程0

=

2=

ax有两个相等实根，图像与x轴有一个交点，二

bx

+c

+

次函数有一个零点；

（3）0

∆，方程0

<

2=

ax没有实根，图像与x轴没有交点，二次函数没

bx

+

+c

有零点；

设计意图：培养学生的归纳能力，了解函数的零点与∆的关系。

问题4：观察3

2

2-

y的图像，计算零点)2

x

-

=x

f与)1(f得乘积，你能发现有

(-

什么特点吗？

总结得出结论：

（1）函数)(x

y=在区间[]b a,上的图像是连续不断的一条曲线；

f

（2）在区间[]b a,上有0

)(

f

f

a

)(<

⋅b

设计意图：引导学生结合函数图像，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点之间是否存在关系。

4、例题讲解