量子力学答案 苏汝铿 第二章课后答案2.1-2#09

A 2
ip 2 ipx ipx x 1 1 2 p, t x e dx 2 3 xe dx 2 p 2 2 2 2 0 2

2
（ii）动量平均值
p * p p
e2i k a C B
tan ka
k k1 k k2 1 k 2 k1k2
令 则有
k k1 tan 1 ， ka n 1 2
k k2 tan 2
由于
2mU 2 k k
2 2 2
2mU1 2 2 ， k k1

p
dp
结合（i）可知，被积函数是奇函数，所以易得
p 0
2.2
设在 t 0 时，粒子的状态为 A sin 2 kx

1 cos kx ，求粒子的动量平均值。 2
解：
ˆ x i p

x

由平均值的定义
1 A 2 ˆ x dx * i px * p co kx s k 2 skx in 2 k i A s i n kx x 2 2
形式为
Aek1x x 0 x Beikx Ceikx 0 x a De k2 x x 0
1 C B ik ， 1 C B
' 与 都在 x 0, a 连续，有 k1
消去 C B 得
k2
2i k a i k e C B
显然被积函数为奇函数，所以

kx sdx in
px 0
2.3
U1 x 0 粒子在势能为 U x 0 0 x a 的场中运动，证明对于能量 E U1 U 2 的状 U x a 2
态 ， 能 量 由 关 系 式 ka n arcsin
k k arcsin 决定，其中 2mU1 2mU 2
k 2mE /
2
解： 令 k1
2m U1 E
2
，
k2
2m U 2 E
2
，
k
பைடு நூலகம்2mE
2
由于 U min 0
显然
E 0
d2 V E ，考虑到束缚态的要求， 的一般 2m dx 2
2
由定态 Schrodinger 方程
2.1
一维运动的粒子处在
x Axe x 0 的态，求 0 x 0
（i）粒子动量的分布函数； （ii）动量的平均值。

解： （i）由归一化条件：


2
dx
2 3
Axe
2 0
2 2 x
A2 dx 3 1 4
得： 动量分布函数为
2

2
于是有
sin 1
k k ， sin 2 2mU1 2mU 2
k k arcsin 2mU1 2mU 2
综合得
ka n arcsin