九年级数学根的判别式及根与系数的关系PPT优秀课件
根的判别式根与系数的关系中学九年级数学课件模板制作
1.关于x 的方程x 2-2有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）.（A ）k≥0 （B ）k ＞0 （C ）k ＞-1 （D ）k≥-12．关于x 的方程mx 2-mx+1=0有两个相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）.（A ） m=0 （B ）m=7 （C ）m=4 （D ）m ＞4且m≠03．若关于x 的二次方程2x （kx-4）-x 2+6=0无实数根，则k 的最小整数应是（ ）.(A)-1 (B)2 (C)3 (D)44.关于x 的方程nx 2-(2n-1)x+n=0有两个实数根,则n 的值为( ). (A)n≤(B)≤且n≠0 (C)n≥- (D)n≥-或n≠05.若关于y 的方程y 2-19y+k=0有两个相等的实数根,那么方程y 2+19y-k=0的根的情况是A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 无实数根D 无法判定6.若方程02=++n mx x 中有一个根为零，另一个根非零，则n m ,的值为 ( )（A ） 0,0==n m （B ） 0,0≠=n m （C ） 0,0=≠n m （D ） 0≠mn7.两根均为负数的一元二次方程是( )A.4x 2+21x+5=0B.6x 2-13x-5=0C.7x 2-12x+5=0D.2x 2+15x-8=08.已知方程22x x -=，则下列说中，正确的是 （ ）（A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2（C ）方程两根和是1- （D ）方程两根积是两根和的2倍9.已知方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值可以是（ ）（A ） —1 （B ） 1 （C ） 5 （D ） 以上三个中的任何一个10.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是2-，则这个方程是（ ）0232=-+x x （B ）0232=++x x （C ）0232=--x x （D ）（A ）0232=+-x x二、填空：1.当k_________时,方程x 2-2(k+1)x+(k 2-2)=0有两个不相等的实数根.2.当m________时,方程x 2-(m+1)x+4=0有两个相等的实数根.3.如果方程0222=+-c x x 没有实数根,那么c 的取值是__________. 4.已知方程0132=+-x x 的两根是21,x x ,则：=+21x x ，21x x = ， 5.已知方程022=-+kx x 的一个根是1，则另一个根是 ，k 的值是 .6.若关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根互为相反数，则p=______，若两根互为倒数，则q=_____．7.已知一元二次方程 2 x 2 + b x + c = 0的两个根是 – 1 、3 ，则 b= ，c= .8.以12,12-+为两根的一元二次方程是 。
21.2.2 公式法第2课 根的判别式-九年级数学上册课件(人教版)
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
++.一元二次方程根的判别式+++课件++++2024-2025学年华东师大版九年级数学上册
C.没有实数根
D.无法确定
2.(2024·上海期中)关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)-p2=0,判断它的根的情况是
方程有两个不相等的实数根
____________________________.
3.不解方程,判断下列方程根的情况:
(1)16y2+9=24y;
(2)5(x2+1)-7x=0;
没有
(3)Δ<0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)__________实数根.
对点小练
1.对于一元二次方程x2-2x-3=0,根的判别式b2-4ac中的b表示的数是( A )
A.-2
B.2
C.-3
D.3
2.(1)一元二次方程2x2-5x+3=0的根的情况为( B )
A.无实数根
B.有两个不等的实数根
(3)3(x2-1)=5x.
【解析】(1)16y2+9=24y的一般形式为16y2-24y+9=0,
Δ=b2-4ac=(-24)2-4×16×9=0,
故此方程有两个相等的实数根.
(2)原方程5(x2+1)-7x=0化为一般形式为5x2-7x+5=0,
Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0,
2
2
原方程为- x + x- =0,即(3x-1) =0,解得:x1=x2= .
综上,当k=-2时,方程的根为- ;
当k= 时,方程的根为 .
【技法点拨】
根的判别式的三个作用
(1)判断方程根的情况:不解方程,根据b2-4ac的符号直接判断方程根的情况.
第02讲根的判别式、根与系数关系-新九年级数学暑假(苏科版)(学生版)
第02讲根的判别式、根与系数关系（核心考点讲与练）【基础知识】一．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．二．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【考点剖析】一．根的判别式（共4小题）1．（2022•东坡区校级模拟）一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定2．（2022•兴化市模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当a+b+c＝0时，方程有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．b＝c≠a B．a＝b≠c C．a＝c≠b D．a＝b＝c3．（2022•南京一模）若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是．4．（2022•邗江区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．二．根与系数的关系（共6小题）5．（真题•泰兴市期末）已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．56．（2022•工业园区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一个根为2，则另一个根是．7．（真题•鼓楼区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，证明：x1+x2，x1•x2．8．（真题•东台市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及方程的另一根．9．（真题•南关区校级期末）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．10．（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2x+1＝0；（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．三．一元二次方程的整数根与有理根（共3小题）11．小明到商场购买某个牌子的铅笔x支，用了y元（y为整数）．后来他又去商场时，发现这种牌子的铅笔降价20%，于是他比上一次多买了10支铅笔，用了4元钱，那么小明两次共买了铅笔支．12．若关于x的方程rx2﹣（2r+7）x+r+7＝0的根是正整数，则整数r的值可以是．13．（2020•仪征市一模）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）为该“全整方程”的“全整数”．（1）判断方程x2x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．【过关检测】一．选择题（共5小题）1．（2019秋•苏州期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2ax﹣b＝0有一个实数根x＝1，则下面关于该方程根的判别式△的说法正确的是（）A．Δ＞0 B．Δ＝0 C．Δ＜0 D．无法确定2．（真题•仪征市期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等实数根，则整数a最大是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣13．（真题•宝应县期末）方程x2﹣x＝﹣2的根的情况为（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根4．（真题•仪征市期末）已知方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜c，则下列式子中一定正确的是（）A．m＜b＜n＜c B．b＜m＜n＜c C．m＜n＜b＜c D．m＜b＜c＜n5．（2020•南通模拟）已知数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（）A．11 B．12C．m有无数个解D．13二．填空题（共10小题）6．（2019•京口区校级开学）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣4和﹣1，则p＝，q＝．7．（2022•秦淮区一模）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，则x+y﹣2xy的值是．8．（2022•鼓楼区一模）已知关于x的方程2x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，则m+n＝．9．（真题•东西湖区期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x1+x2的值为．10．（2021•栖霞区开学）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝．11．（真题•姜堰区期中）若关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，则正整数a＝．12．（2022春•崇川区校级月考）已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝．13．（2022•海安市模拟）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两实根是x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值是．14．（2021•栖霞区二模）已知关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整数；若k为整数，则k的值为．15．（2020春•崇川区校级月考）使得关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整数的整数m值是．三．解答题（共9小题）16．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．17．（真题•沭阳县期末）关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于2，求k的取值范围．18．（真题•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝2，求m的值．19．（真题•海州区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根．20．（真题•梁溪区校级期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根；（2）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．21．（真题•阜宁县期末）定义新运算：对于任意实数m，n都有m★n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3★2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：（1）若（x+1）★3＝15，求x的值．（2）若2★a的值小于0，请判断关于x的方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．22．（真题•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0．（1）当k＝2时，求方程的根；（2）求证：这个方程总有两个不相等的实数根．23．（真题•东台市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有实数根．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若x1+x2﹣3x1x2＝2，求k的值．24．（真题•东海县期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：（1）若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝；（2）若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．。
人教版九年级数学课件《一元二次方程根与系数的关系》
知识精讲
人教版数学九年级上册
解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x-4=0;
(2)x2-5x+6=0;
(3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程
x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 2x2+3x+1=0
a b c 两根
x1 x2
关系
1 3 -4 -4 1 x1+x2=_-_3_；x1 ·x2=__-4_.
【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0.
典例解析
人教版数学九年级上册
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0;
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解： a = 1 , b = 7 , c = 6.
解： a = 2 , b = -3 , c = -2.
二、常见的求值应用
1. 1 1 x1 x2 ;
x1 x2
x1 x2
2. x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 =(x1-x2 )2 +2x1x2;
3. x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 .
人教版数学九年级上册
THE END!
祝各位同学们学业进步、天天向上！
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 =
3 2
, x1 x2 = -1 .
典例解析
人教版数学九年级上册
例2：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根
及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册
求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1
1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.
;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1
九年级数学中考复习专题课件判别式和根与系数关系
九年级数学中考复习专题课件判别式和根与系数关系九年级数学中考复习专题：判别式和根与系数关系数学是一门重要的学科，对于九年级的学生来说，将要参加中考的他们更应该重视数学的学习与复习。
其中，判别式和根与系数的关系是数学中一个重要的知识点。
本篇文章将围绕这一主题展开论述，帮助同学们更好地掌握和运用相关知识。
一、判别式的概念和意义在解一元二次方程时，常常会用到判别式。
那么什么是判别式呢？判别式是一元二次方程的解的性质与系数之间的关系。
常见的一元二次方程可以表示为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c分别为系数。
判别式的表达式为Δ = b² - 4ac，其中Δ代表判别式。
判别式的值可以决定一元二次方程的解的情况，具体如下：1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但可以有共轭复数根。
判别式的概念和意义在解决数学问题中非常重要。
通过判别式的计算和分析，我们可以快速确定方程的解的性质，从而更有效地解决一元二次方程相关的问题。
二、判别式与方程根的关系判别式与方程的根之间存在着一定的关系。
对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，方程的两个根可以表示为：x₁ = (-b + √Δ)/2a，x₂ = (-b -√Δ)/2a。
根据这两个根的公式，我们可以推导出与判别式之间的关系：1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根，即x₁ ≠ x₂；2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，即x₁ = x₂；3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，即方程无解。
判别式与方程根的关系是我们解题的重要依据。
通过判别式的计算和根的分析，我们可以快速判断方程的解的特性，从而更加准确地解决相应的问题。
三、根与系数之间的关系在一元二次方程中，根与系数之间还存在着一定的关系。
《根的判别式》课件
三、新课讲 解
让我们一起学习例题
1：按要求完成下列表格：
方程
2y 2 4y
2
2 2 x 3x 1 0 2( x 1) x 0
2
Δ的值 根的情 况
0 0
有两个相等 的实数根
15 0
没有实数根
17 0
有两个不相 等的实数根
2 : 不解方程，判别方程4y2+1=4y的根的 一起 情况. 学习例 解：4y2-4y+1=0
1 2 (1) x 3 x 8； 4
2
(பைடு நூலகம்)5 t 1 7t 0.
2 2 eg3：不解方程，判别关于xx 的方程 2 2kx k 0
的根的情况.
分析：a 1
解： 2 2k 4 1 k
2 2
b 2 2k
2 2
ck
2
2
8k 4k 4k
2
1)把方程化为一般形式
2)确定a、b、c 的值 3)计算b2-4ac ,
并判断其值与0 的关系 b 2 4 ac 0
4)利用求根 b b2 4ac 公式计算方 x 2a 程的根
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根 公式是：
b b 4ac x 2a
2
第21章：一元二 次方程
21.2 解一元二次方 程
21.2.4一元二次方程的根的判别 式
人教版·九年级 上册
一、知识回 顾
用公式法求下列方程的根:
用公式法 解一元二次方 程的一般步骤:
1)2 x x 2 0; 1 2 2) x x 1 0; 4 2 3) x x 1 0.
根的判别式的应用课件
判别式的未来发展
随着数学和其他学科的发展，判别式的研究和应用将更 加深入和广泛，未来可能会发现更多判别式的应用场景 。
THANKS
感谢观看
1. 当 $\Delta > 0$ 时，函数图像与 x 轴有两个交点；
案例三：利用判别式绘制二次函数的图像
2. 当 $\Delta = 0$ 时，函 口方向，我们可以绘 制出函数的图像。
3. 当 $\Delta < 0$ 时，函数图像与 x 轴 没有交点。
详细描述
如果一个二次方程的两个根相等，那么这两 个根就具有对称性。此外，如果一个二次方 程的两个根互为相反数，那么这两个根也具 有对称性。这种对称性可以用于解决一些数 学问题，例如找到函数图像的对称轴等。
根与函数的零点
总结词
函数的零点与二次方程的根具有密切关系， 通过观察函数的零点可以获得二次方程的信 息。
详细描述：对于一元 二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，判别式 $\Delta = b^2 4ac$。根据 $\Delta$ 的值，我们可以判断 方程实数根的个数
1. 当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个不同 的实数根；
2. 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相同 的实数根；
一元二次不等式的解法
总结词
利用判别式可以快速求解一元二次不等式，进而求出其整数解。
详细描述
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（a≠0），可以利用判别式将其转化为几个一次不等式组，从而求解其 整数解。
二次函数图像的绘制
总结词
通过判别式可以判断二次函数的图像是开口向上还是向下，以及与x轴有无交点。
人教初中数学九上 《一元二次方程的根与系数的关系》课件 (高效课堂)获奖 人教数学20222
x2 x1
x1x2
7
例4 已知x1，x2是方程x²-6x+k=0两个实数根， 且x1².x2²-x1-x2=115
(1)求k的取值；（2）求x1²+x2²-8的值。
解（1）由题意有x1+x2=6，x1.x2=k ∴x1².x2²-x1-x2=（x1.x2）²-（x1+x2） =k²-6=115 ∴k=11或k=-11 又∵方程x²-6x+k=0有实数解
问题4 下图是一个轴对称图形，你能发现什么结
论？能说明理由吗？ l
结论：
直线l 垂直线段AA′，BB′， 直线l平分线段AA′，BB′（或直 A
线l 是线段AA′，BB′的垂直平分
线）．
B
A′ B′
探索新知
问题4 下图是一个轴对称图形，你能发现什么结
论？能说明理由吗？ l
追问 你能用数学语言概括前面
归纳总结
根与系数的关系（韦达定理）：
若一元二次方程ax²+bx+c（a≠0）有两实
数根x1，x2，则
xx
1
2
b,x.x a1 2
a c.
这表明两根之和为一次项系数与二次项系数
的比的相反数，两根之积等于常数项与二次
项系数的比。
思考2
在运用根与系数的关系解决具体问题时， 是否需要考虑根的判别式Δ=b²-4ac≥0呢？为 什么？
探索新知
问题1 如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折 痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了 美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什么共 同的特点吗？
探索新知
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部 分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直 线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条
人教版九年级数学上册《根与系数的关系》课件(共24张PPT)
求证：
x1
x2
b a
x1
•
x2
c a
推导:
bb24a cbb24a c x1x2 2a 2a
b b24acb b24ac
2a
2b 2a
b a
x1x2b2 b a 24a cb2 b a 24ac
b2
b24ac 4a2
4 ac 4a2
c a
如果一元二次方程 a2xb xc0(a0) 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，那么：
分所即由得别以：于：是：kx =xx12-1 7•x 1xx2 、2 53x2 22 x，2(其5 3)56中xk 5 1 2
。
答：方程的另一个根是 3 ，k=-7
5
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2， 求它的另一个根及n的值。
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－2， 求它的另一个根及k的值。
1.一元二次方程的一般形式是什么？
a2xb xc0(a0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
xbb24ac(b24a c0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
0 两个不相等的实数根
b24ac 0 两个相等的实数根
0 没有实数根
填写下表：
方程
两个根
x1 x2
x23x40 4 1
例6 方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时, 方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？ 方程的一根为零？
解:(m1)24(2m1)m26m5 ①∵两根互为相反数
∴两根之和m10,m1,且0 ∴m1时,方程的两根互为相反数.
②∵两根互为倒数 m26m5, ∴两根之积2m11 m1且0, ∴m1时,方程的两根互为倒数.
中考数学大一轮数学复习专题ppt课件：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
夯实基本 知已知彼
基础知识回顾
1. 一元二次方程根的判别式
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为________．
(1)b2－4ac>0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个________实数
根，即x1，2＝________． (2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有____________相等
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中考大一轮复习讲义◆ 数学
热点看台 快速提升
易错题跟踪 1. (2014·湖北襄阳)若正数a是一个一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a 是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是____5____． 2. (2014·湖北鄂州)一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0. (1)若方程有两实数根，求m的取值范围． (2)设方程两实根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m.
课后总结
1
学生：同伴之间相互交流学习心得。
2 师生：共同归纳本课学习知识。
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中考大一轮复习讲义◆ 数学
作业
1
教科书本课课后习题。
2
课时达标册本课练习习题。
17
中考大一轮复习讲义◆ 数学
下课啦！
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中考大一轮复习讲义◆ 数学
谢谢 指导
2022
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中考大一轮复习讲义◆ 数学 20
D. m≤12
1
5. (2013·山东滨州)对于任意实数 k，关于 x 的方程 x2－2(k＋1)x－k2＋2k
－1＝0 的根的情况为( C )
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根
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解：(1)将原方程整理为 x2＋2(m－1)x＋m2＝0.∵原方程有两
个实根，∴Δ＝[2(m－1)]2－4m2＝－8m＋4≥0，解得 m≤12 (2)∵x1，x2 为 x2＋2(m－1)x＋m2＝0 的两个实数根，∴y＝
x1＋x2＝－2m＋2，且 m≤12，∵y 随 m 的增大而减小，∴当 m＝12时，y 取得最小值 1
一元二次方程的根与系数的关系的综合应用 类型：(1)不解方程，求与方程的根有关的代数式的值； (2)已知方程一根，求方程的另一根； (3)与根的判别式进行综合应用． 例2 已知关于x的一元二次方程x2＝2(1－m)x－m2的两个实 数根为x1，x2. (1)求m的取值范围； (2)设y＝x1＋x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出 最小值．
1．(2015·珠海)一元二次方程 x2＋x＋14＝0 的根的情况是 ( B) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定根的情况 2．(2015·成都)关于 x 的一元二次方程 kx2＋2x－1＝0 有两 个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( D ) A．k>－1 B．k≥－1 C．k≠0 D．k>－1 且 k≠0 3．(2015·黄冈)若方程 x2－2x－1＝0 的两根分别为 x1，x2， 则 x1＋x2－x1x2 的值为__3__．
4．关于 x 的方程 kx2＋(k＋2)x＋k4＝0 有两个不相等的实数 根． (1)求 k 的取值范围； (2)是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于 0， 若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由．
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2021/02方程 kx2－ 2k＋1x＋1＝0 有 两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是( D )
A．k<12 B．k<12且 k≠0 C．－12≤k<12 D．－12≤k<12且 k≠0
k≠0， 解：由题意，得2（k＋ －1≥2k0＋，1）2－4k>0，解得－12≤k<12且 k ≠0，故选 D.点拨：本题考察了Δ>0 的同时，还考察了隐含 条件 k≠0 和 2k＋1≥0
专题课堂(三) 根的判别式及根与系数的关系
根的判别式的应用 类型：(1)通过求b2－4ac的值，判断一元二次方程的根的情 况； (2)根据方程根的情况求出字母系数的取值范围． 注意：(1)应用根的判别式时要准确确定a，b，c的值； (2)此判别式只适用于一元二次方程，当无法判定方程是不 是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论．