高等数学连续函数的运算法则

在0点的邻域内没有定义. 函数在区间[1,＋∞)上连续 2. 初等函数求极限的方法代入法.
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
x 1
( x0 定义区间 )
例如 lim sin e x 1 sin e1 1 sin e 1.
15
例3 求极限 lim ( x 2 x x 2 x )
x=f -1(y) y=f(x) y=f -1(x)
1 2 3 4 5
定理2
若函数y=f(x)在
区间 Ix上单调增加且连续,
则它的反函数x=f -1(y)在
对应区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}
上单调增加且连续.
5
因为y=sinx在 [ , ]上单调增加且连续 2 2
故y=arcsinx在[-1,1]上单调增加且连续
e
lim v ( x )lim ln u ( x )
e
b ln[lim u( x )]
e
b ln a
e
ln a b
ab
☺幂指函数求极限的方法： 当底数的极限为正，且指数的极限为常数时， 幂指函数求极限等于对其底数和指数分别取极限。
17
例4 求极限 lim(1 2 x )
x 0Biblioteka 3 sin x0 0, 0, 当0<|x-x0|<δ时， | f ( g ( x )) f ( u0 ) |
lim f ( g( x )) f ( u0 )
x x0
8
☺当外层函数连续，内层函数极限存在，且 U ( x0 ) D f g 时，“极限号”可以“穿过”外层“函数号 例1 证明当x→0时，ln(1+x)~x , e 1 ~ x 证： lim ln(1 x ) x 0 x
x x0
复 合 运 算 保 连 续
故 y=f(g(x))在x0点连续。 幂函数
y x a e a ln x y e u , u ln x
12
结论： （1）三角函数在其定义区间内皆连续 （2）反三角函数在其定义区间内皆连续 （3）指数函数在其定义区间内皆连续 （4）对数函数在其定义区间内皆连续
计算： lim ( x 2 x x 2 x )
16
设 y [u( x )]v ( x ) , u( x ) 0, u( x ) 1
lim u( x ) a 0 , lim v ( x ) b
则 limu( x )
v( x)
ab
证 lim[u( x )] v ( x ) lim e v ( x ) ln u( x ) e lim [ v ( x ) ln u( x ) ]
x x0
lim f ( g( x )) f ( lim g( x )) ?
x x0
9
7
定理3 设y=f(g(x))是由y=f(u)与u=g(x)复合而成,
U ( x0 ) D f g 若 lim g ( x ) u0 , 而y=f(u)在u0点连续,

则 lim f ( g( x )) f ( u0 ) f ( lim g ( x ))
ln(1 x ) ~ x ,
☺ 当x→0时，arcsinx~x
e 1 ~ x,
10
x
练习 1. 计算极限
(1) lim
x 0
1 x 1 e 1
x
2
2
x arcsin 2 x ( 2) lim 2 x 0 ln(1 3 x )
1 cos( x 1 cos x ) 2. 当x→0时，
1 x 11 1. lim ___ 4 x 0 sin 2 x
ax 1 3. 求极限 lim x 0 x
0 2. lim ln( 2 cos 2 x ) ___
x 6
4. 求极限 lim( 2 x )
x 1
tan x 2
作业：P70：T3 (3)(5)(6)(7)， T4 (2)(4)(5)(6)
解
lim(1 2 x )
x 0
3 sin x
1 2 x lim [(1 2 x )] x 0
6x sin x
1 [(1 2 x )]2 x lim x 0
6 lim
x x 0 sin x
e6
18
练 习 题
e 1 ~ x
9
x
例2 证明当x→0时，arcsinx~x ,
证：设 t arcsin x 则 x=sin t 当x→0时，t →0 arcsin x lim x 0 x t lim 1 t 0 sin t
常用等价无穷小 当x→0时， sin x ~ x,
tan x ~ x, 1 2 1 cos x ~ x , 2 1 n 1 x 1 ~ x, n arcsin x ~ x,
x
lim
( x 2 x )2 ( x 2 x )2 x x x x
2
2 2
x
lim
2x x x x x
2 2
x
lim
x
2 1 1 1 1 1 1 1 lim ( 1 1 ) x x x x x
x
19
1 2x 例5 求极限 lim x 0 2 2 1 lim 1 x 0 2
x 1 x
1 x
2x 12 lim 1 x 0 2
2x 1 1 lim ln 2 x 0 2 x 2
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
1
函数 f(x) 在点x0 连续 lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
上一节结论：sin x, cos x, a x (a 0, a 1) 在 ( , ) 内都是连续函数 。 初等函数连续性？ 由常数和基本初等函数,经过有限次四则运算和 有限次函数的复合所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
复合函数连续性? y f ( u), u ( x ) y f ( ( x ))
lim f ( x ) f ( x0 ) 函数y=f(x)在x0点连续 x x
0
lim f ( x ) f ( lim x0 )
x x0 x x0
问题：若函数y=f(x)连续，是否成立
2
初 等 函 数

常数 基本初等函数
研究初等函数连续性需： (1)基本初等函数连续性 (2) 连续函数四则运算
四则运算 复合运算
(3) 连续函数复合运算
3
一、连续函数的四则运算 定理1 若函数 f(x)与 g(x)在点x0 处连续，
f ( x) 则 f(x)+g(x)， f(x)g(x)， ( g ( x0 ) 0 ) g( x )
（5）幂函数在其定义区间内皆连续
基本初等函数在其定义区间内皆连续
13
三、初等函数的连续性
初 等 函 数

常数 基本初等函数 四则运算 复合运算
连续
保连续
定理4
初等函数在其定义区间内都是连续的.
14
注: 1. 初等函数在其定义域内不一定连续; 例如, y
x 2 ( x 1) 3 , D : x 0, 及x 1,
lim ln(1
x 0
x
1 x) x 1 x) x
e 1 lim x 0 x x 设t e 1 则x ln(1 t )
x
ln lim (1
x 0
t ex 1 lim lim t 0 ln(1 t ) x 0 x
1
ln e 1
☺ 当x→0时，ln(1+x)~x，
2 x 2 1 2 1 lim 1 x 0 2 2
x
2x 1 2x
x
1
lim1 t e
t 0
1 t
2x 1 (t ) 2
1 ln 2 1 2x ln 2 e lim e x 0 2
在点x0 处连续。
sin x, cos x在(,)内连续,
故tanx, cotx, secx, cscx在定义域上连续
结论: （1）三角函数在其定义区间内皆连续
4
2.反函数与复合函数的连续性
函数y=f(x) 的反函数x=f -1(y)
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0
y a x (a 0, a 1) 在(-∞,+∞)单调增加且连续
故y=logax在(0,+∞)单调增加且连续。 结论：
（1）三角函数在其定义区间内皆连续
（2）反三角函数在其定义区间内皆连续 幂函数?
（3）指数函数在其定义区间内皆连续
（4）对数在其定义区间内皆连续
6
幂函数?
y x a e a ln x y e u , u ln x
1 x
2
2
20
是x的几阶无穷小？
11
定理4 设y=f(g(x))是由y=f(u)与u=g(x)复合而成,
U ( x0 ) D f g 若g(x)在x0点连续, g(x0)=u0,
而y=f(u)在u0点连续,则y=f(g(x))在x0点连续。 证明
x x0
lim f ( g( x )) f ( lim g ( x )) f ( g( x0 ))
x x0 x x0
x x0
证明： y=f(u)在u0点连续, lim f ( u ) f ( u0 )
u u0
0, 0, 当|u-u0|<η时， | f ( u ) f ( u0 ) |
lim g ( x ) u0 , 0, 当0<|x-x |<δ时， | g ( x ) u0 | 0 x x