斐波那契数列的认识

浅谈对斐波那契数列的认识

摘要：斐波那契数列自问世以来,不断显示出它在数学理论和应用上的重要作用。而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、生物、交通、化学等领域都有直接的应用．这个数列既是数学美的完美体现．又与许多数学概念有着密切的联系，很多看上去似乎彼此独立的数学概念，通过斐波那契数列，人们发现了其中的数学联系．从而进一步激发了人们探索数学的兴趣．对数学的认知更加系统化。因此对斐波那契数列的研究是一项非常重要的研究，它不仅能给各个学科带来很好的用处，它也会对我们的生活产生长远的影响，斐波那契数列的前景是不可估量的。

关键词： 斐波那契数列 应用 通项 一、问题提出：

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

分析：我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下，并且要求兔子的正常年龄大于1岁： 第一个月：小兔子没有繁殖能力，所以还是1对; 两个月后：生下一对小兔民数共有2对;

三个月后：老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是3对;

四个月后：老兔子又生下一对，第二各月生的兔子也有了繁殖能力，所以也生下一队兔子，所以共有5对；

……

这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契（Fibonacci,1170—1250）在《算盘全书》中提出的我们称这个数列为斐波那契数列。

二、斐波那契数列的通项及其递推公式

如果设n F 为该数列的第n 项()n N +∈

，那么由上面的一列数知道：数列从第三项起，任意一项都是前面两项之和。即：12,

n n n F F F

+++=显然，这是一个线性递推数列。 因此总结有以下几种推倒方式： 方法一（利用特征方程）：

线性递推数列的特征方程为：21x x =+

解得：1x = ， 2x =

则1122n n

n F c x c x =+ ∵121F F ==

∴112222

1122

11c x c x c x c x =+⎧⎨=+⎩ 解得： 1c =；2c = ∴1122n n

n F ⎡⎤⎛⎫⎛⎥=- ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦

□ 方法二（递推法）：

设,,n N r s R +∀∈∃∈∍“1123()n n n n n F rF s F rF ---≥⇒-=-” 由12n n n F F F +++=有1r s +=，1rs =-

因此当3n ≥时有：112()n n n n F rF s F rF ----=-

1223()n n n n F rF s F rF -----=- 2334()n n n n F rF s F rF -----=-

……

3221()F rF s F rF -=-

将以上2n -个式子相乘得：2121()n n n F rF s F rF ---=-

上式可化简得：11n n n F s rF --=+

同时等式两边除以n s 得：111n n n n F F r s s s s --=+，令n n n

F T s =有：11n n r

T T s s

-=+ 则有：121n n r

T T s s

--=+；

因此112()n n n n r

T T T T s ----=-

所以：112n n n n T T r T T s ----=-，所以有数列{}1n n T T --为首项为21T T -，公比为r

s

的等比数列。

因此：1n n T T --=221()()n r

T T s

--

又与11n n r

T T s s

-=+联立消去1n T -得：

由121F F == ，n

n n F T s

=得：()n n n n r s T s r s -=-，

又n

n n F T s =得：n n

n r s F r s

-=-

由1r s +=，1rs =-得：152s += ，15

2t -=

综上所述：11515225n n

n F ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

□ 方法三（黄金分割法）：

因为251+,251-是方程012=--x x 的两根（其中11215

x =+黄金分割比）。012=--x x 得到

12+=x x ,再左右同时乘以n x 即得到：

n

n n x x x 11121+=++ ①

n

n n x x x 21

2

2

2

+=++ ②

由①,②容易得到:

2

12

1

2

11

21

1

2

12

22

1

x x x x x x x x x x x x n

n n n n n --+--=

--++++ 现在我们令1

212n n

n x x F x x -=-得：11515225n n

n F ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

□ 其实，该数列得求解通项方法的很多种，这里只列举其中得三种方法共读者参考。下面我们一起研究一下该数列的一些性质。

三、斐波那契数列的性质

如果我们记：012340,1,1,2,3,F F F F F =====……，那么该数列有以下性质： 性质一、12,n n n F F F +++=

性质二、1352121,n n F F F F F -+++⋅⋅⋅+=- 性质三、0242211,n n F F F F F ++++⋅⋅⋅+=- 性质四、2222201231,n n n F F F F F F F +++++⋅⋅⋅+=

性质五、01231(1)(1)()1,n n n n n F F F F F F F +-+-+⋅⋅⋅+-=--+ 性质六、11,m n m n m n F F F F F +--=+ 性质七、2111(1),n n n n F F F --+=-+