斐波那契数列的认识

浅谈对斐波那契数列的认识
摘要：斐波那契数列自问世以来,不断显示出它在数学理论和应用上的重要作用。

而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、生物、交通、化学等领域都有直接的应用．这个数列既是数学美的完美体现．又与许多数学概念有着密切的联系，很多看上去似乎彼此独立的数学概念，通过斐波那契数列，人们发现了其中的数学联系．从而进一步激发了人们探索数学的兴趣．对数学的认知更加系统化。

因此对斐波那契数列的研究是一项非常重要的研究，它不仅能给各个学科带来很好的用处，它也会对我们的生活产生长远的影响，斐波那契数列的前景是不可估量的。

关键词： 斐波那契数列 应用 通项 一、问题提出：
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。

如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
分析：我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下，并且要求兔子的正常年龄大于1岁： 第一个月：小兔子没有繁殖能力，所以还是1对; 两个月后：生下一对小兔民数共有2对;
三个月后：老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是3对;
四个月后：老兔子又生下一对，第二各月生的兔子也有了繁殖能力，所以也生下一队兔子，所以共有5对；
……
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契（Fibonacci,1170—1250）在《算盘全书》中提出的我们称这个数列为斐波那契数列。

二、斐波那契数列的通项及其递推公式
如果设n F 为该数列的第n 项()n N +∈
，那么由上面的一列数知道：数列从第三项起，任意一项都是前面两项之和。

即：12,
n n n F F F
+++=显然，这是一个线性递推数列。

因此总结有以下几种推倒方式： 方法一（利用特征方程）：
线性递推数列的特征方程为：21x x =+
解得：1x = ， 2x =
则1122n n
n F c x c x =+ ∵121F F ==
∴112222
1122
11c x c x c x c x =+⎧⎨=+⎩ 解得： 1c =；2c = ∴1122n n
n F ⎡⎤⎛⎫⎛⎥=- ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦
□ 方法二（递推法）：
设,,n N r s R +∀∈∃∈∍“1123()n n n n n F rF s F rF ---≥⇒-=-” 由12n n n F F F +++=有1r s +=，1rs =-
因此当3n ≥时有：112()n n n n F rF s F rF ----=-
1223()n n n n F rF s F rF -----=- 2334()n n n n F rF s F rF -----=-
……
3221()F rF s F rF -=-
将以上2n -个式子相乘得：2121()n n n F rF s F rF ---=-
上式可化简得：11n n n F s rF --=+
同时等式两边除以n s 得：111n n n n F F r s s s s --=+，令n n n
F T s =有：11n n r
T T s s
-=+ 则有：121n n r
T T s s
--=+；
因此112()n n n n r
T T T T s ----=-
所以：112n n n n T T r T T s ----=-，所以有数列{}1n n T T --为首项为21T T -，公比为r
s
的等比数列。

因此：1n n T T --=221()()n r
T T s
--
又与11n n r
T T s s
-=+联立消去1n T -得：
由121F F == ，n
n n F T s
=得：()n n n n r s T s r s -=-，
又n
n n F T s =得：n n
n r s F r s
-=-
由1r s +=，1rs =-得：152s += ，15
2t -=
综上所述：11515225n n
n F ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
□ 方法三（黄金分割法）：
因为251+,251-是方程012=--x x 的两根（其中11215
x =+黄金分割比）。

012=--x x 得到
12+=x x ,再左右同时乘以n x 即得到：
n
n n x x x 11121+=++ ①
n
n n x x x 21
2
2
2
+=++ ②
由①,②容易得到:
2
12
1
2
11
21
1
2
12
22
1
x x x x x x x x x x x x n
n n n n n --+--=
--++++ 现在我们令1
212n n
n x x F x x -=-得：11515225n n
n F ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
□ 其实，该数列得求解通项方法的很多种，这里只列举其中得三种方法共读者参考。

下面我们一起研究一下该数列的一些性质。

三、斐波那契数列的性质
如果我们记：012340,1,1,2,3,F F F F F =====……，那么该数列有以下性质： 性质一、12,n n n F F F +++=
性质二、1352121,n n F F F F F -+++⋅⋅⋅+=- 性质三、0242211,n n F F F F F ++++⋅⋅⋅+=- 性质四、2222201231,n n n F F F F F F F +++++⋅⋅⋅+=
性质五、01231(1)(1)()1,n n n n n F F F F F F F +-+-+⋅⋅⋅+-=--+ 性质六、11,m n m n m n F F F F F +--=+ 性质七、2111(1),n n n n F F F --+=-+
性质八、22212,n n n F F F --=- [4]
上面是斐波那契数列通过观察，由通项公式得到的一些性质，下面我们着重来研究一下数列的应用。

四、斐波那契数列的应用 1、数列与黄金分割的关系，
定理一、若数列{}n F
为斐波那契数列，则1lim n n n F F +→∞=
为黄金分割比。

证明：我们记：1x =
，2x =则有
1111221211212()n n n n n n n n n F x x x x x x F x x x x +++--=-==-- 因此，我们分别讨论n 为奇数、偶数的两种情形，因为2n
x 有符号之别；
ⅰ）当n
21n
x x ⎫<=⎪⎭
所以0ε∀>
，取2
1
log x x N =，则n N >
时有：
1n n F F ε+<
即1lim
n n n
F F +→∞=。

这正好说明n 为奇数时成立，下面我们证明n 为偶数时。

ⅱ）当n
2
2111)1)n
n
n
x x x x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭
所以0ε∀>
，取2
1
log x x N =，则n N >
时有：
1n n F F ε+<
即1lim
n n n
F F +→∞=。

综上所述有11lim
2n n n
F F +→∞=
结论成立。

□ 这个结论的成立，让我们看见斐波那契数列与这个最完美和谐的黄金数有了联系。

2、数列与高等代数得关系
定理二、若数列{}n F 为斐波那契数列，记0123451,1,2,3,5,8,F F F F F F ======则有： 1,(0)110100111000()011100000011
n n F n N +=⎧
⎪
⋅⋅⋅⎪⎪-⋅⋅⋅⎪=∈⎨-⋅⋅⋅⎪⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅-⎪⎩
说明：数列得初始条件和递推关系结合起来，把它看作是一个关于012,,,,n F F F F ⋅⋅⋅的线性方程组，
则有克兰姆法则可以得到。

[1]
3、数列与排列组合的关系
定理三、若数列{}n F 为斐波那契数列，记0123451,1,2,3,5,8,F F F F F F ======则有：
0122
122012(1)12(1)2()()
n n n n n n n n
n n n C C C C n F C C C C n -----+⎧+++⋅⋅⋅+⎪=⎨⎪+++⋅⋅⋅+⎩为偶数为奇数
证明：如图1，是杨辉三角与斐波那契数列的关系；首先讨论是列的前8项，
则有：0001C F == 0111C F ==
01
212112C C F +=+== 01323123C C F +=+==
012432
41315C C C F ++=++==
01254351438C C C F ++=++== 012365436156113C C C C F +++=+++== 0123765471610421C C C C F +++=+++==
……
由上面的等式可猜想：0122
122012(1)212(1)2()()
n n n n n n n n
n n n C C C C n F C C C C n -----+⎧+++⋅⋅⋅+⎪
=⎨⎪+++⋅⋅⋅+⎩为偶数为奇数
下面我们用数学归纳法证明猜想成立。

当0,1n =是结论显然成立。

当1,n k k =-时结论成立。

首先我们讨论k 为偶数的时候，由递推关系有：
012201221
111221232k k k k k k k k k k k k k F F F C C C C C C C C -+------=+=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+
01021221
112222()()()k k k k k k k k k C C C C C C C -----=+++++⋅⋅⋅++ 01221121k k k k k C C C C +-+=+++⋅⋅⋅+ 012[(1)1]211[(1)1]2k k k k k C C C C +-+-++=+++⋅⋅⋅+
这正好表明，当n 为偶数时结论成立。

同理可以证明当n 为奇数时结论成立。

因此定理三成立。

[1] □
定理三告诉了我们斐波那契数列与组合数有密切的关系，并且就连起通项公式都可以用组合数表示出来，难道这还不能够说明他们密切关系吗？这还不算什么，更重要的是几百年前意大利的数学家斐波那契与我国的数学家杨辉建立了密切的关系。

4、斐波那契数列的前n 项和。

定理四、若数列{}n F 为斐波那契数列，则数列的前n 项和为：
22
1n n n S ++⎡⎤⎥=--⎥⎝⎭⎝⎭⎦
证明：∵123n n S F F F F =+++⋅⋅⋅+
13142536413211()()()()()()()n n n n n n F F F F F F F F F F F F F F F ---+-=+-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-+- 21n n F F F +=-++ 22n F F +=-21n F +=- ∴
22
1n n n S ++⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
□ 以上我们从数列通项各种方法，数列通项的不同的表达式以及数列前n 和做了简单的介绍，使得我们对斐波那契数列有了一定的了解，下面我们一起来看一下数列中，蕴藏着的其他有趣而有丰富的结论。

五、斐波那契数列的其他有趣结论。

1
1
2 3 5 8 13
1 1 1 1
2 1 1
3 3 1 1
4 6 4 1 1
5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
图1
定理五、若数列{}n F
为斐波那契数列，则12n n F ⎡⎤
⎛+⎢⎥= ⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，其中[]x 表示取距离x 最近得整数。

定理六、若数列{}n F 为斐波那契数列，则数列的最大立方数是68F =
定理七、在数列{}n F 为斐波那契数列中，除3之外，若n F 为素数，则n 一定为素数。

反之不成立。

（第一个反例是194181F =，但是418137113=⨯）[2]
定理八、在数列{}n F 为斐波那契数列中，除3之外，若n 为合数，则n F 为合数。

定理九、在数列{}n F 为斐波那契数列中，若,,,A B C D 为四个连续的斐波那契数，则有：
22C B A D -=⨯
六、斐波那契数列与现实生活 1、登楼梯；
有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法? 这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
1，2，3，5，8，13，21，……所以，登上十级，有89种； 2、一些花瓣数；
（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。

（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。

斐波那契数经常与花瓣的数目相结合： 3……………………百合和蝴蝶花
5……………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草 8……………………翠雀花 13…………………金盏草 21…………………紫宛 34，55……………雏菊
3、光的反射
通过面对面的玻璃板的斜光线的路线，一条不反射的光线一唯一的一条路线通过玻璃板，如果光线反射1次，有2条路线；反射2次，有3条路线，反射3次，有5条路线，依次类推，反射n 次，则有2n F +条路线。

4、树木的生长
如图2，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。

所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。

这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。

七、小结
以上通过从斐波那契数列的问题提出、通项求解、性质、和一些重要的结论加以介绍，从而是我们对这个几百年前就产生的兔子出生问题做了明确回答。

更重要的是我们通过对她的一系列性质进行讨论，明白了一个问题，我们的数学大家族是万物相同的，而绝对不是孤立的。

通过观察了解，简单的介绍了斐波那契数列与现实生活的一些联系，其实，她与我们的生活远远不只是这些联系，大家只要留心生活，便会在身边发出惊人的成绩——斐波那契数列无处不在。

正等待我们去寻找和发现。

参考文献:
[1] 赵振威著. 数学发现导论[]M . 安徽:安徽教育出版社，1991:51. [2] 欧阳绎著. 数学方法溯源[]M . 江苏:江苏教育出版社，1990:49.
[3] 张雄，李得虎著. 数学方法论与解题研究[]M .北京:高等教育出版社，2005:60 [4] 选载网站：。