第一章 数值计算方法与误差分析PPT课件
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物体的长度为5m，其误差限为0.01m，通常将准确长度ѕ记为 ѕ =5 ±0.01
即准确值在5m左右，其误差限为0.01m的误差限。
相对误差的概念
定义2 我们把绝对误差与准确值之比
εr(x)= ε (x)/x=(x－x*)/x， x≠0
称为x*的相对误差。
由于准确值x往往是不知道的，因此在
实际问题中，当|εr(x)|较小时，常取 εr(x)= ε (x) /x*
实际问题
数学模型
数值计算方法
程序设计
上机计算结果
据此误差的来源主要有以下四类。
（一）建模误差
在将实际问题转化为数学模型的过程中，为 了使数学模型尽量简单，以便于分析或计算，往 往要忽略一些次要的因素，进行合理的简化。这 样，实际问题与数学模型之间就产生了误差，这 种误差称为模型误差。由于这类误差难于作定量 分析，所以在计算方法中，总是假定所研究的数 学模型是合理的，对模型误差不作深入的讨论。
绝对误差限的概念
由于准确值x一般不能得到，于是误差的准确值也无法求得， 但在实际测量计算时，可根据具体情况估计出它的大小范围。也 就是指定一个适当小的正数ξ，使
|ε(x)|= |x－x* |≤ ξ
我们称ξ为近似值x*的绝对误差限。 有时也用 x = x*± ξ
表示近似值的精度或准确值的所在范围。 在实际问题中，绝对误差一般是有量纲的。例如，测得某一
• （2）有可靠的理论分析。能任意逼近并达到
精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳 定性，还要对误差进行分析。有相应的数学理 论做基础。
• （3）有好的计算复杂性（包括空间复杂度和 时间复杂度）。算法需占用的存储空间要小，
运算次数要少。这也是建立算法要研究的问题， 它关系到算法能否在计算机上实现。
一般地，在同一量或不同量的几个近似值中，
|εr(x)|小者精确度高。
相对误差限的概念
在实际计算中, 由于ε(x)与x都不能准
确地求得,因此相对误差 εr(x)也不可能准确
地得到, 我们只能估计它的大小范围。即指 定一个适当小的正数η，使
|εr(x)|= |ε(x)|/| x* | ≤η
称η为近似值x*的相对误差限。
四个特点(数值计算方法)
(1)、面 向 计 算 机(算 法 为 加, 减, 乘,除 以 及 逻 辑 运 算)
2、有可靠的理论分析
(精度要求;误差分析;收敛性;稳定性)
3、合理的计算复杂性(节省时间和空间) 4 、数值实验(通过数值实验, 说明算法的有效)
wk.baidu.com
第二节 误差
用计算机解决科学计算问题通常经历以下过 程：
，这样产生的误差叫做舍入误差。在数值计算中，往
往要进行成千上万次四则运算，因而就会有成千上万 个舍入误差产生，这些误差一经叠加或传递，对精度 可能有较大的影响。所以，作数值计算时，对舍入误 差应予以足够的重视。
小结
上述四类误差都会影响计算结果的准确性， 但模型误差和观测误差往往需要会同各有关学科 的科学工作者共同研究, 因此在计算方法课程中, 主要研究截断误差和舍入误差（包括初始数据的 误差）对计算结果的影响。
当|εr(x)|较小时，可以用下式来计算η：
η=ξ/|x*|
三、有效数字
• 为了既能表示近似数的大小，又能 表示近似数的精确程度，我们下面介绍 有效数字的概念（注意：有效数字既能 表示近似数的大小，又能表示近似数的 精确程度）。
半个单位的概念
•
为了理解有效数字的概念,首先要弄清什么是半
第一章 数值计算引论
数值计算方法就是要解决如何让计算机计算 数值( 如解方程、解方程组、求积分等 )不仅算得 快（用的机时少）、而且也要算得准（ 与真实值 的误差小) 的问题。如果光算得快 , 算得不准 ( 超 过了误差范围),计算出来的结果不能用, 计算也就 没有什么意义。如何才能让计算机既算得快又算 得准（误差达到最小）呢？这就需要掌握一些误 差知识。
本章介绍的内容
ⅰ）数值计算方法的含义及其特点； ⅱ）误差的来源； ⅲ）误差的有关概念（绝对误差、相对误差、有 效数字）； ⅳ）误差的传播过程； ⅴ）算法的数值稳定性概念； ⅵ）选用数值算法的若干原则。
第一节 数值计算方法研究的对象、
内容及特点
数值计算方法是应用数学的一个分支,又称数值 分析或计算方法,它是研究用计算机求解各种数学问 题的数值方法及其理论的一门学科,是程序设计和对 数值结果进行分析的依据和基础。
（二）观测误差
在数学模型中，一般都含有从观测（或 实验）得到的数据，如温度、时间、速度、 距离、电流、电压等等。但由于仪器本身的 精度有限或某些偶然的客观因素，会引入一 定的误差，这类误差叫做观测误差。通常根 据测量工具或仪器本身的精度，可以知道这 类误差的上限值，所以无需在数值分析中作 过多的研究。
我们知道，用计算机解决科学计算问题需要经
过以下几个过程：提出具体问题,建立数学模型，选 用数值计算方法，程序设计、上机调试直至得出最 终数值结果。可见,选用数值计算方法是应用计算机
进行科学计算全过程的一个重要环节。
数值计算方法特点
• （1）面向计算机。根据计算机特点提供实际
可行的有效算法。即算法只能包括加、减、乘、 除和逻辑运算，是计算机所能直接处理的。
（三）截断误差（方法误差）
当数学模型得不到精确解时，要用数 值计算方法求它的近似解，由此产生的误 差称为截断误差或方法误差。譬如在数值 计算中，常用收敛的无穷级数的前几项来 代替无穷级数进行计算，即抛弃了无穷级 数的后段，这样就产生了截断误差。
（四）舍入误差
由于计算机字长有限，原始数据的输入及浮点运 算过程中都可能产生误差。而事实上，无论用电子计 算器计算还是笔算，都只能用有限位小数来代替无穷 小数或用位数较少的小数来代替位数较多的有限小数
一、绝对误差和绝对误差限
定义1 假设某一量的准确值为x ，近似值为x*, 则
x与x*之差叫做近似值x*的绝对误差（简称误差），记
为ε(x)，即 ε(x)= x－x*
|ε(x)︱的大小标志着x*的精确度。一般地，在同一 量的不同近似值中,︱ε(x)︱越小，x*的精确度越高。 当︱ε(x)︱较小时，由微分和增量的关系知x*的绝对 误差ε(x)≈dx ，故我们可以利用微分估计误差。
即准确值在5m左右，其误差限为0.01m的误差限。
相对误差的概念
定义2 我们把绝对误差与准确值之比
εr(x)= ε (x)/x=(x－x*)/x， x≠0
称为x*的相对误差。
由于准确值x往往是不知道的，因此在
实际问题中，当|εr(x)|较小时，常取 εr(x)= ε (x) /x*
实际问题
数学模型
数值计算方法
程序设计
上机计算结果
据此误差的来源主要有以下四类。
（一）建模误差
在将实际问题转化为数学模型的过程中，为 了使数学模型尽量简单，以便于分析或计算，往 往要忽略一些次要的因素，进行合理的简化。这 样，实际问题与数学模型之间就产生了误差，这 种误差称为模型误差。由于这类误差难于作定量 分析，所以在计算方法中，总是假定所研究的数 学模型是合理的，对模型误差不作深入的讨论。
绝对误差限的概念
由于准确值x一般不能得到，于是误差的准确值也无法求得， 但在实际测量计算时，可根据具体情况估计出它的大小范围。也 就是指定一个适当小的正数ξ，使
|ε(x)|= |x－x* |≤ ξ
我们称ξ为近似值x*的绝对误差限。 有时也用 x = x*± ξ
表示近似值的精度或准确值的所在范围。 在实际问题中，绝对误差一般是有量纲的。例如，测得某一
• （2）有可靠的理论分析。能任意逼近并达到
精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳 定性，还要对误差进行分析。有相应的数学理 论做基础。
• （3）有好的计算复杂性（包括空间复杂度和 时间复杂度）。算法需占用的存储空间要小，
运算次数要少。这也是建立算法要研究的问题， 它关系到算法能否在计算机上实现。
一般地，在同一量或不同量的几个近似值中，
|εr(x)|小者精确度高。
相对误差限的概念
在实际计算中, 由于ε(x)与x都不能准
确地求得,因此相对误差 εr(x)也不可能准确
地得到, 我们只能估计它的大小范围。即指 定一个适当小的正数η，使
|εr(x)|= |ε(x)|/| x* | ≤η
称η为近似值x*的相对误差限。
四个特点(数值计算方法)
(1)、面 向 计 算 机(算 法 为 加, 减, 乘,除 以 及 逻 辑 运 算)
2、有可靠的理论分析
(精度要求;误差分析;收敛性;稳定性)
3、合理的计算复杂性(节省时间和空间) 4 、数值实验(通过数值实验, 说明算法的有效)
wk.baidu.com
第二节 误差
用计算机解决科学计算问题通常经历以下过 程：
，这样产生的误差叫做舍入误差。在数值计算中，往
往要进行成千上万次四则运算，因而就会有成千上万 个舍入误差产生，这些误差一经叠加或传递，对精度 可能有较大的影响。所以，作数值计算时，对舍入误 差应予以足够的重视。
小结
上述四类误差都会影响计算结果的准确性， 但模型误差和观测误差往往需要会同各有关学科 的科学工作者共同研究, 因此在计算方法课程中, 主要研究截断误差和舍入误差（包括初始数据的 误差）对计算结果的影响。
当|εr(x)|较小时，可以用下式来计算η：
η=ξ/|x*|
三、有效数字
• 为了既能表示近似数的大小，又能 表示近似数的精确程度，我们下面介绍 有效数字的概念（注意：有效数字既能 表示近似数的大小，又能表示近似数的 精确程度）。
半个单位的概念
•
为了理解有效数字的概念,首先要弄清什么是半
第一章 数值计算引论
数值计算方法就是要解决如何让计算机计算 数值( 如解方程、解方程组、求积分等 )不仅算得 快（用的机时少）、而且也要算得准（ 与真实值 的误差小) 的问题。如果光算得快 , 算得不准 ( 超 过了误差范围),计算出来的结果不能用, 计算也就 没有什么意义。如何才能让计算机既算得快又算 得准（误差达到最小）呢？这就需要掌握一些误 差知识。
本章介绍的内容
ⅰ）数值计算方法的含义及其特点； ⅱ）误差的来源； ⅲ）误差的有关概念（绝对误差、相对误差、有 效数字）； ⅳ）误差的传播过程； ⅴ）算法的数值稳定性概念； ⅵ）选用数值算法的若干原则。
第一节 数值计算方法研究的对象、
内容及特点
数值计算方法是应用数学的一个分支,又称数值 分析或计算方法,它是研究用计算机求解各种数学问 题的数值方法及其理论的一门学科,是程序设计和对 数值结果进行分析的依据和基础。
（二）观测误差
在数学模型中，一般都含有从观测（或 实验）得到的数据，如温度、时间、速度、 距离、电流、电压等等。但由于仪器本身的 精度有限或某些偶然的客观因素，会引入一 定的误差，这类误差叫做观测误差。通常根 据测量工具或仪器本身的精度，可以知道这 类误差的上限值，所以无需在数值分析中作 过多的研究。
我们知道，用计算机解决科学计算问题需要经
过以下几个过程：提出具体问题,建立数学模型，选 用数值计算方法，程序设计、上机调试直至得出最 终数值结果。可见,选用数值计算方法是应用计算机
进行科学计算全过程的一个重要环节。
数值计算方法特点
• （1）面向计算机。根据计算机特点提供实际
可行的有效算法。即算法只能包括加、减、乘、 除和逻辑运算，是计算机所能直接处理的。
（三）截断误差（方法误差）
当数学模型得不到精确解时，要用数 值计算方法求它的近似解，由此产生的误 差称为截断误差或方法误差。譬如在数值 计算中，常用收敛的无穷级数的前几项来 代替无穷级数进行计算，即抛弃了无穷级 数的后段，这样就产生了截断误差。
（四）舍入误差
由于计算机字长有限，原始数据的输入及浮点运 算过程中都可能产生误差。而事实上，无论用电子计 算器计算还是笔算，都只能用有限位小数来代替无穷 小数或用位数较少的小数来代替位数较多的有限小数
一、绝对误差和绝对误差限
定义1 假设某一量的准确值为x ，近似值为x*, 则
x与x*之差叫做近似值x*的绝对误差（简称误差），记
为ε(x)，即 ε(x)= x－x*
|ε(x)︱的大小标志着x*的精确度。一般地，在同一 量的不同近似值中,︱ε(x)︱越小，x*的精确度越高。 当︱ε(x)︱较小时，由微分和增量的关系知x*的绝对 误差ε(x)≈dx ，故我们可以利用微分估计误差。