(滕东中学张娟) 从梯子的倾斜程度谈起(2)

课时课题：九年级下册 第一章 从梯子的倾斜程度谈起（二）
授课人：滕州市 滕东中学 张娟
课 型：新授课
授课时间：2012年12月5日，星期三，第二节课 教学目标：
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义. 能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比，并能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.
2.理解锐角三角函数的意义.
3.体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力.
4.形成合作交流的意识以及独立思考的习惯.
教学重难点：
重点： 1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.
2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.
难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切.
教法及学法指导：采用“自主探究、合作交流”的方式组织教学 .基本程序设计为：
教师设计问题引导学生合作交流、探究新知、反馈运用.学生采用自主探索与合作交流相结合的方式进行学习.
课前准备：制作课件，梯子模型，学生课前进行相关调查及预习工作. 教学过程：
（一）复习回顾，引入新课
[师]上节课，我们学了一个新概念是？
[生]正切
[师]正切的定义是什么呢？
[生] 在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定， tanA=
邻边
的对边A
[师]我们在上一节课曾讨论过用正切刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定
时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.
现在我们提出两个问题：
[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?
[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系?
这就是我们这节课要探讨的内容，从而引人新课. （板书课题：1.1从梯子的倾斜程度谈起（2））
设计意图：通过提问使学生回顾上节课的内容，并类比正切学习这节课的正弦、余弦，为本节课学习打下基础.提出的两个问题激发学生的学习兴趣.
效果：在具体问题中设问，在解答问题中形成认知冲突，激发学生的解决问题的热情． （二）合作交流 探究新知 探究一：正弦、余弦及三角函数的定义
多媒体演示如下内容：
想一想：如图
(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2)
2
21
112AB C B AB C B 和呢?
2
1
1122AB C A AB C A 和
有什么关系?
(3)如果改变B 2在梯子AB 1上的位置呢?你由此可得出什么结论?
(4)如果改变梯子A 1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请同学们讨论后回答.
设计意图：通过上面一组问题明确思考方向，指明小组合作探究内容. 先让学生用模型梯子摆一摆，直观感受.再给出理论证明. [生]∵B 1C 1⊥AC 1，B 2C 2⊥AC 2，
∴∠AC 2B 2=∠AC 1B 1=90°,又∠A =∠A
∴ Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2. ∴
2
21
112AB C B AB C B 和(相似三角形对应边成比例).
由于B 2是梯子AB 1上的任意—点，所以，如果改变B 2在梯子AB 1上的位置，上述结论仍成立.
由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角 的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大 小无关.
[生]如果改变梯子A 1B 的倾斜角的大小，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.
[师]我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢? [生]函数关系.
[师]很好!上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)
在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即
sinA ＝
斜边
的对边A ∠
∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即
cosA=
斜边
的邻边A ∠
注意的问题：
（1）sinA,cosA 中常省去角的符号“∠”. （2）sinA,cosA 没有单位，它表示一个比值.
（3）sinA,cosA 是一个完整的符号，不表示“sin ”,“cos ”乘以“A”. （4）在初中阶段，sinA,cosA 中,∠A 是一个锐角.
锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数(trigonometricfunction).
[师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA 、cosA 、tanA 都是之A 的三角函数”呢?（这是难点）
[生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A 确定时.∠A 的对边与斜边的比值，∠A 的邻边与斜边的比值，∠A 的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“∠A 的三角函数”概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°<A<90°；三个比值是因变量.当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.
探究二：梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系
[师]我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA 有关系：tanA 的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA 、cosA 有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?
先让学生用模型梯子摆一摆，直观感受.再给出理论证明. [生]如图所示，AB ＝A 1B 1， 在Rt △ABC 中，sinA=
AB
BC ，在Rt △A 1B 1C 中，sinA 1=
1
11B A C B .
19
C
B
∠A 的邻边
∠A
的
对边
斜边
∵
AB
BC ＜
1
11B A C B ,
即sinA<sinA 1，而梯子A 1B 1比梯子AB 陡，
所以梯子的倾斜程度与sinA 有关系.sinA 的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.
[生]同样道理cosA=
AB
AC cosA 1＝
1
11B A C A ,
∵AB=A 1B 1
AB
AC ＞
1
11B A C A 即cosA>cosA 1，
所以梯子的倾斜程度与cosA 也有关系.cosA 的值越小，梯子越陡.
[师]同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切. 探究三：例题分析（多媒体演示）
[例1]如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长. 设计意图：熟练掌握三角函数，根据定义给出两个量能求第三个量.
分析：sinA 不是“sin ”与“A ”的乘积，sinA 表示∠A 所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA ＝0.6，
AC
BC ＝0.6.
解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200. sinA ＝0.6，即=
AC
BC 0.6，BC ＝AC ×0.6＝200×0.6=120.
变式：(1)cosA ＝? (2)sinC ＝？ cosC ＝? (3)由上面计算，你能猜想出什么结论? 解：根据勾股定理，得 AB ＝
2
2
2
2
120
200
-=
-BC
AC
=160.
在Rt △ABC 中，CB ＝90°. cosA ＝54200160==AC AB ＝0.8， sinC=
54
200160
=
=
AC AB =0.8，
cosC ＝ 5
3200120==AC BC
＝0.6， 由上面的计算可知 sinA ＝cosC ＝O.6，
cosA ＝sinC ＝0.8.
因为∠A+∠C ＝90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”.
（三）新知应用，巩固训练
1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝
13
12，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA
呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.
设计意图：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透 sin(90°-A)＝cosA ，
cos (90°-A)=sinA.
解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=10，cosA ＝
13
12，cosA ＝
AB
AC ,
∴AB=6
6512131013
12
10cos =⨯==A Ac ,
sinB ＝
13
12cos =
=A AB
Ac
根据勾股定理，得 BC 2
＝AB 2
-AC 2
＝(
6
65)2-102
=
2
2
2
26
2536
60
65=
-
∴BC ＝6
25.
∴cosB ＝13
565
256
65625
===AB
BC ,
sinA ＝
13
5=
AB
BC
可以得出同例1一样的结论. ∵∠A+∠B=90°，
∴sinA ：cosB=cos(90-A)，即sinA ＝cos(90°-A)；
cosA ＝sinB ＝sin(90°-A)，即cosA ＝sin(90°-A).
2.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.
设计意图：让学生了解，求角的三角函数需在直角三角形中求，如果没有，可以构造
直角三角形.从而渗透构造数学思想. 分析：要求sinB ，cosB ，tanB ，先要构造∠B 所在的直角三角形. 根据等腰三角形“三线合一”的性质，可过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足. 解：过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足. ∴AB=AC ，∴BD=DC=
2
1BC=3.
在Rt △ABD 中，AB ＝5，BD=3， ∴AD ＝4. sinB ＝
54=AB
AD cosB ＝5
3=
AB
BD ,
tanB=
3
4=
BD
AD .
3. 在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，CD 是AB 边上的中线，BC=8，CD=5，求sin ∠ACD ，cos ∠
ACD 和tan ∠ACD.
设计意图：在第2题的基础上，学生自然而然会想到构造直角三角形，教师可给与点拨引导学生思考有没有其它做法.从而渗透转化的思想. 解：（法一）构造直角三角形
分析：过D 作DE ⊥AC 于点E ．则DE ∥BC ． 一生到黑板板演，师生共同讲评，规范解题格式. （法二）不需要作辅助线，用转化的思想.
分析：∵CD 是AB 边上的中线
∴CD=
2
1AB=AD
∴∠ACD=∠A 从而转化成求∠A 的三角函数，在Rt △ABC 中轻而易举可求.
分析完后，找一学生板演.并规范解题格式. 4. 在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=
2
1，则sinA= .
设计意图：给出一个三角函数的值会求其余的三角函数值. 解：如图，tanA=
AC
BC =
2
1.
设BC=x ，AC=2x ，根据勾股定理，得 AB=
x x x 5)2(2
2
=+. ∴sinA=5
55
15===x
x AB
BC .
（三）总结反思 拓展升华
师：好了, 到目前为止，你有什么收获？还有哪些困惑？ 生：各抒己见
本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A 的三角函数概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°<∠A<90°；三个比值是因变量.当∠A 确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题.
（四）小试牛刀、 自我检测
1.在Rt △ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100倍,sinA 的值（ ）
D
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
2.已知∠A,∠B 为锐角 (1)若∠A=∠B,则sinA sinB; (2)若sinA=sinB,则∠
3.如图, ∠C=90°CD ⊥AB. SinB=( )=( )=( )
4.在梯形ABCD 中,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18 求:sinB,cosB,tanB.
（提示:作梯形的高是梯形的常用辅助,借助它可以转化为直角三角形.）
板书设计：
教学反思：
成功之处：由于上节课学生学习了三角函数中的正切，所以本节课结合初中学生身心发
展的特点，运用了类比法教学法，唤起和加深学生对教学内容的体会和了解；在新知探究上既注重了直观感受（摆梯子模型）又注重了理论推理. 在习题的处理上注意了数学思想的渗透——构造直角三角形或转化的数学思想.
不足之处:个别学生由于接受能力较差,不会发现归纳总结知识点,没有做到对他们的关
注.个别习题给学生留的时间少，学生没有充分的时间进行思考和交流.
再教设计: 关注学生的人文价值和情感态度，强调知识的主动获得，鼓励学生的积极参
与.不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急
于否定学生的答案，而要鼓励学生开展讨论，给学生提供成果展示的机会，培养学生的交流能力及学习数学的自信心..
C
E
A
D
F
B。