第十讲 垂径定理及其推论

第十讲 垂径定理及其推论

一、知识要点回顾：

1、圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。

2、垂径定理： 文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且_______________________________。

符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于M

∴____=_____，_____=______，

_____=______。

3、垂径定理的推论： 。

符号语言： ∵ ∴

二、例题讲析：用垂径定理解决问题

例1、已知：⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求：⊙O 的半径。

例2：如图，过点B 、C 的⊙O 的圆心在等腰三角形的内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6，求⊙O 的半径。

例3：如图，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E ， DE=8cm,CE=2cm. 求弦AB 的长.

例4：如图，某地有一圆弧开拱桥，桥下水面宽为7.2米，拱顶高出

水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的

货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？

三、巩固练习

B A

C

D O M _B _A _O _

垂径定理的推论中的条件要特别注意。 B A E D O C

C B

D O

A 1．判断对错：

（ ）1、垂直于弦的直径平分这条弦。 （ ）2、平分弦的直径垂直于这条弦。 （ ）3、平分弦的直线必垂直弦。 （ ）4、弦的垂直平分线经过圆心。 （ ）5、平分弧的直径平分这条弧所对的弦。

（ ）6、在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧。

（

）7、分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分。

（ ）8、垂直于弦的直线必经过圆心。 2、已知如右图：AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，

则BC =____，AC =____ ；CE=______ 3、 已知：AB 为⊙O 的弦，⊙O 的直径为26cm, 圆心O 到AB 的距离 为5cm, 求弦AB 的长。

4、 已知：⊙O 的直径AB=20cm ，∠B=30°,求：弦BC 的长

5、如图，两圆都以点O 为圆心，求证:AC=BD

拓展提高

1、如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )

A ．5米

B ．8米

C ．7米

D ．53米

2、已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为

( )A ．2 B ．8 C ．2或8 D ．3

3、如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为

4、如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 _ B

_ O

_ A O

B

C

A B A C E D

O

Ｏ

Ａ Ｂ

第1 题 第2题 第3 题

第4 题

5、如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么AD=

6、圆的平行两条弦长分别为6cm 、8cm,圆的半径为5cm,求平行两弦之间的距离

7、已知: 在⊙O 中，弦AB 的长为24 cm ，C 为AB 中点，OC=5 cm ，求⊙O 的半径。

8、如图，半径为5的⊙P 与轴交于点M (0，－4)，N (0，－10)，求P 的坐标．

9、如图：弦AB ⊥CD ，且AB=CD ，E 为AB 的中点，F 为AC 的中点.

求证:四边形AEOF 为正方形。

10．如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长． B

A

C E

D

O

.

A E

B O F C