可逆矩阵一
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数学与计算机科学学院高等代数课件
5.2 可逆矩阵
一、教学内容 1、可逆矩阵的定义 2、可逆矩阵的性质 3、矩阵可逆的条件(矩阵乘积的行列式) 4、逆矩阵的求法(初等变换与初等矩阵) 5、矩阵乘积的秩
1
数学与计算机科学学院高等代数课件
二、教学目的 掌握逆矩阵的概念、矩阵可逆的条件及逆 矩阵的求法。 了解初等变换与初等矩阵。 三、重点难点 逆矩阵的求法。
这表明 A1 ( A1)
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数学与计算机科学学院高等代数课件
前面我们已经看到一些可逆矩阵和不可逆矩阵 的例子。我们想要知道：什么样的矩阵是可逆 矩阵？如果A可逆，怎样求A-1？
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数学与计算机科学学院高等代数课件
三、矩阵可逆的条件
1、 矩阵乘积的行列式 根据行列式依行展开，有
a11 c11 ...
一般地，n个可逆矩阵 A1, A2 ,..., An 的乘积 A1A2... An 也可逆，并且
(A1A2...An )1 An1An11...A11
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数学与计算机科学学院高等代数课件
3、 可逆矩阵A的转置矩阵A′也可逆，并且
A1 ( A1)
这是因为由A可逆有 AA1 A1A I 各端求转置可得 ( A1)A A( A1) I
k3
k3
6
数学与计算机科学学院高等代数课件
所以对角矩阵 k1 k2
是可逆矩阵，
k3
1
k1
且
1 k2
就是 k1 k2
的逆矩阵。
1
k3
k3
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数学与计算机科学学院高等代数课件
对于n阶零矩阵0，因为对任何同阶方阵B， 都有B0=0B=0（B与0是同阶方阵），所以0 不是可逆矩阵。 问：10 02可逆吗？ 问题：若是矩阵A可逆，那么A的逆矩阵是否唯一？
在数域F中，当a 0 时，a 的倒数 a1 存在， 并且a1a aa1 1。
我们将这种思想应用到矩阵上,引入逆矩阵的 概念。
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数学与计算机科学学院高等代数课件
一、可逆矩阵的定义
1、定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵 B，使得AB=BA=I，则称A为可逆矩阵(或A可逆)， 而B称为A的逆矩阵。
... 0 ... b1n ... ...
a11 a21
a12
b11 ...
a22 bs1
... b1s ... ... ... bss
cn1 cn2 bn1 ... bnn
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数学与计算机科学学院高等代数课件
事实上
a11 a21 c11
a12 a22 c12
0 0 b11
... 0 ... 0 ... b1n
am1 ... amm bn1 ... bnn
cn1 ... cnm bn1 ... bnn
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数学与计算机科学学院高等代数课件
进一步，还可以证明： (2)引理2
0 ... 0 a11 ... a1m
... ... ... ... ... ...
0
...
0
am1
...
amm
a11 ...
... ...
2
数学与计算机科学学院高等代数课件
解一元线性方程ax=b，当a≠0时，存在一个数
a1，用 a1同乘方程两端，即得方程的解：
x a1b。
那么，在解矩阵方程，AX=B时，是否也存在 一个矩阵，用这个矩阵同乘矩阵方程两端，就 得所求矩阵方程的解呢？
3
数学与计算机科学学院高等代数课件
注意到对任意n阶矩阵A，都有IA=AI=A，这里 I是n阶单位矩阵，从乘法角度看，I类似于1在 数域F中的地位。
a1m
b11
... • (1)mn ...
... b1n ... ...
a11 ... a1m 0 ... 0
... ... ... ... ... ...
am1 ... amm
0
... 0
a11 ... a1m b11 ... b1n
... ... ... ... ... ...
c11 ... c1m b11 ... b1n ... ... ... ... ... ...
b11 a11a22 ...
bn1
... b1n
b11
... ... a12a21 ...
... bnn
bn1
... ...
b1n ...
a11
... bnn
a21
a12
b11 ...
a22 bn1
... b1n ... ... ... bnn
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一般地，利用数学归纳法可以证明： (1)引理1
0 b11 ...
... 0 ... b1n ... ...
b11 a11 ...
bn1
... b1n ... ... ... bnn
cn1 bn1 ... bnn
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进一步有
a11 a12 0 ... 0
a21 c11 ...
a22 c12 ...
0 b11 ...
a22
a11
c12 ...
0 ... 0
a21
b11 ...
... ...
b1n ...
a12
c11 ...
0 ... 0 b11 ... b1n ... ... ...
... ... ... ... ... cn1 cn2 bn1 ... bnn
cn2 bn1 ... bnn
cn1 bn1 ... bnn
例如对于n阶单位矩阵In，由于
InIn
InIn
I
，
n
所以 I n 是可逆矩阵，且
In
的逆矩阵就是
Iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
。
n
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又如当k1, k2 , k3都不为零时，由于
1
1
k1
k2
k1 k3
1 k2
k1
1 k2
1
k1
1
k2 1
1
k3
1
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二、可逆矩阵的性质
1、 可逆矩阵A的逆矩阵A-1也可逆，并且
A1 1 A
这是因为由AA-1=A-1A=I，知A与A-1互为逆矩阵。
11
数学与计算机科学学院高等代数课件
2、 两个可逆矩阵A和B的乘积AB也可逆，并且
AB 1 B1A1
这是因为 ( AB)( B1A1) (B1A1)( AB) I。
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事实上，若B、C都是A的逆矩阵，则有： AB=BA=I， AC=CA=I
从而 B= BI= B(AC)= (BA)C= IC=C。 我们把矩阵A的唯一的逆矩阵记作A-1。
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2、说明(理解) (1)存在可逆矩阵； (2)一个n阶矩阵未必可逆； (3)若是矩阵A可逆，那么A的逆矩阵由A唯一确定。
5.2 可逆矩阵
一、教学内容 1、可逆矩阵的定义 2、可逆矩阵的性质 3、矩阵可逆的条件(矩阵乘积的行列式) 4、逆矩阵的求法(初等变换与初等矩阵) 5、矩阵乘积的秩
1
数学与计算机科学学院高等代数课件
二、教学目的 掌握逆矩阵的概念、矩阵可逆的条件及逆 矩阵的求法。 了解初等变换与初等矩阵。 三、重点难点 逆矩阵的求法。
这表明 A1 ( A1)
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前面我们已经看到一些可逆矩阵和不可逆矩阵 的例子。我们想要知道：什么样的矩阵是可逆 矩阵？如果A可逆，怎样求A-1？
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三、矩阵可逆的条件
1、 矩阵乘积的行列式 根据行列式依行展开，有
a11 c11 ...
一般地，n个可逆矩阵 A1, A2 ,..., An 的乘积 A1A2... An 也可逆，并且
(A1A2...An )1 An1An11...A11
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3、 可逆矩阵A的转置矩阵A′也可逆，并且
A1 ( A1)
这是因为由A可逆有 AA1 A1A I 各端求转置可得 ( A1)A A( A1) I
k3
k3
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所以对角矩阵 k1 k2
是可逆矩阵，
k3
1
k1
且
1 k2
就是 k1 k2
的逆矩阵。
1
k3
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对于n阶零矩阵0，因为对任何同阶方阵B， 都有B0=0B=0（B与0是同阶方阵），所以0 不是可逆矩阵。 问：10 02可逆吗？ 问题：若是矩阵A可逆，那么A的逆矩阵是否唯一？
在数域F中，当a 0 时，a 的倒数 a1 存在， 并且a1a aa1 1。
我们将这种思想应用到矩阵上,引入逆矩阵的 概念。
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一、可逆矩阵的定义
1、定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵 B，使得AB=BA=I，则称A为可逆矩阵(或A可逆)， 而B称为A的逆矩阵。
... 0 ... b1n ... ...
a11 a21
a12
b11 ...
a22 bs1
... b1s ... ... ... bss
cn1 cn2 bn1 ... bnn
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事实上
a11 a21 c11
a12 a22 c12
0 0 b11
... 0 ... 0 ... b1n
am1 ... amm bn1 ... bnn
cn1 ... cnm bn1 ... bnn
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进一步，还可以证明： (2)引理2
0 ... 0 a11 ... a1m
... ... ... ... ... ...
0
...
0
am1
...
amm
a11 ...
... ...
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解一元线性方程ax=b，当a≠0时，存在一个数
a1，用 a1同乘方程两端，即得方程的解：
x a1b。
那么，在解矩阵方程，AX=B时，是否也存在 一个矩阵，用这个矩阵同乘矩阵方程两端，就 得所求矩阵方程的解呢？
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注意到对任意n阶矩阵A，都有IA=AI=A，这里 I是n阶单位矩阵，从乘法角度看，I类似于1在 数域F中的地位。
a1m
b11
... • (1)mn ...
... b1n ... ...
a11 ... a1m 0 ... 0
... ... ... ... ... ...
am1 ... amm
0
... 0
a11 ... a1m b11 ... b1n
... ... ... ... ... ...
c11 ... c1m b11 ... b1n ... ... ... ... ... ...
b11 a11a22 ...
bn1
... b1n
b11
... ... a12a21 ...
... bnn
bn1
... ...
b1n ...
a11
... bnn
a21
a12
b11 ...
a22 bn1
... b1n ... ... ... bnn
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一般地，利用数学归纳法可以证明： (1)引理1
0 b11 ...
... 0 ... b1n ... ...
b11 a11 ...
bn1
... b1n ... ... ... bnn
cn1 bn1 ... bnn
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进一步有
a11 a12 0 ... 0
a21 c11 ...
a22 c12 ...
0 b11 ...
a22
a11
c12 ...
0 ... 0
a21
b11 ...
... ...
b1n ...
a12
c11 ...
0 ... 0 b11 ... b1n ... ... ...
... ... ... ... ... cn1 cn2 bn1 ... bnn
cn2 bn1 ... bnn
cn1 bn1 ... bnn
例如对于n阶单位矩阵In，由于
InIn
InIn
I
，
n
所以 I n 是可逆矩阵，且
In
的逆矩阵就是
Iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
。
n
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又如当k1, k2 , k3都不为零时，由于
1
1
k1
k2
k1 k3
1 k2
k1
1 k2
1
k1
1
k2 1
1
k3
1
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二、可逆矩阵的性质
1、 可逆矩阵A的逆矩阵A-1也可逆，并且
A1 1 A
这是因为由AA-1=A-1A=I，知A与A-1互为逆矩阵。
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2、 两个可逆矩阵A和B的乘积AB也可逆，并且
AB 1 B1A1
这是因为 ( AB)( B1A1) (B1A1)( AB) I。
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事实上，若B、C都是A的逆矩阵，则有： AB=BA=I， AC=CA=I
从而 B= BI= B(AC)= (BA)C= IC=C。 我们把矩阵A的唯一的逆矩阵记作A-1。
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数学与计算机科学学院高等代数课件
2、说明(理解) (1)存在可逆矩阵； (2)一个n阶矩阵未必可逆； (3)若是矩阵A可逆，那么A的逆矩阵由A唯一确定。