基于约束NMF的欠定盲信号分离算法

行列式准则 如果矢量 ｗ倡１ ，…，ｗ倡ｉ ，…，ｗ倡ｎ 张成的空间 其中：
ｖｏｌ （ Ｐ ） ＝｜ ｄｅｔ （ ＷＷ Ｔ ） ｜
＋Ｗ ＷＨ ］ ｋｊ ＋α Ｊ
（４）
抄Ｊ（ Ｈ ） 抄Ｒ（ Ｈ ） ＋α Ｒ 抄 Ｈ ｋｊ 抄 Ｈ ｋｊ
－ １
抄 ｄｅｔ （ ＷＷ ） Ｔ Ｔ ＝ｄｅｔ （ ＷＷ ） ［ （ ＷＷ ） 抄 Ｗ ｉｋ
［８］
因此，根据混合信道和源信号的先验知识，对 ＮＭＦ 过程施加合 在对估计源信号施加稀疏性约束的基础上，使用 ＮＭＦ 分层分
准则约束； Ｊ（ Ｈ） 由式（５） 给出，表示对分离信号矩阵 Ｈ 的稀疏 性约束；Ｒ（ Ｈ） 由式 （６） 给出， 表示对分离信号 Ｈ 的相关性约 １ ，α １， 束；α Ｄ 、α Ｗ 、α Ｊ 和 α Ｒ 为平衡参数， 通常取 α Ｄ ＝ Ｗ ＝ Ｎ ｍ× ｃ ，α＝ ０． ０１，以保证算法收敛。 其中 ｃ 是一常数，通 α Ｈ ＝ ｎ× Ｎ Ｒ 常取 １，在源信号稀疏性较强时可适当增大， 如取 １０、１００ 等。 最小化 Ｆ（ Ｖ‖ＷＨ） 可得到 Ｗ 和 Ｈ。 式 （９） 对于单独的 Ｗ 和 Ｈ 都是凸函数，但是同时对于 Ｗ 和 Ｈ 来说却不是凸函数。 因 此，采用与文献［１２］ 相似的梯度下降法交替更新 Ｗ 和 Ｈ。 更 新规则为
到的混合矩阵进行行列式约束，对估计源信号同时进行稀疏性 和最小相关约束，在源பைடு நூலகம்号稀疏性较差的情况下， 也可获得良 好的分离效果。
１ 基本理论
１畅 １ 行列式准则 定义
［９］
（１０）
设 Ｐ（ Ｗ） 是由矢量 ｗ倡１ ，…， ｗ倡ｉ ，…，ｗ倡 ｎ 张成的
ｖｏｌ （ Ｐ ） ＝｜ ｄｅｔ （ Ｗ ） ｜ （３）
［４］ ［６］
可以看出，把 ＢＳＳ 中观测数据 Ｘ 看做 ＮＭＦ 中的待分解矩阵 Ｖ， ＮＭＦ 方法，并应用于超定和正定 ＢＳＳ 问题， 取得了良好的源信 号估计。 但这些方法用于解决 ＵＢＳＳ 问题时，要求分解得到的 那么 ＮＭＦ 可用于解决 ＢＳＳ 问题。 Ｃｉｃｈｏｃｋｉ 等人
［７］
如果能使分解得到的 Ｗ 和 Ｈ 分别符合 ＢＳＳ 中 Ａ 和 Ｓ 的特性， 总结拓展了
、 基于超平面聚类的算法
［５］
。 基于 ＳＣＡ 算法的性能取决于源信号的稀疏程度，稀疏
和基于高斯函数聚类的算
收稿日期 ： ２０１０唱 １０唱 １２； 修回日期 ： ２０１０唱 １１唱 １２ 基金项目 ： 国防科技重点实验室基金资助项目 （９１４０ Ｃ１３１０１０１０９ ＤＺ４６） 信号处理 、软件无线电等 （ ｌｕｈｏｎｇ ． ８６３＠１６３． ｃｏｍ ） ； 尚俊娜 （１９７９唱 ） ，讲师 ，主要研究方向为通信信号处理 、卫星导航等 ．
ｍ× ｎ
盲源信号分离（ ｂｌｉｎｄ ｓｏｕｒｃｅ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ，ＢＳＳ） 是指在不知道
Ｖ＝ ［ ｖ１ ，ｖ２ ，…，ｖＮ ］ ∈ Ｒ ［ ｈ１ ，ｈ２ ，…，ｈＮ ］ ∈ Ｒ
ｎ× Ｎ
分解成两个矩阵 Ｗ ∈ Ｒ
ｍ× ｎ
和Ｈ＝
其中：Ｘ ＝ ［ ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘ Ｎ ］ ∈ Ｒ Ｓ＝ ［ ｓ１ ，ｓ２ ，…，ｓ Ｎ ］∈Ｒ
０ 引言
性差时，分离效果变差或者分离不出源信号。 因此， 在解决 ＵＢＳＳ 问题时，如何放宽对源信号稀疏性的要求成为研究人员 关注的焦点。 非负矩阵分解（ ＮＭＦ） 的基本思想是在非负限制下将矩阵
ｍ× Ｎ
源信号和传输信道参数的情况下，仅从观测信号中分离出源信 号的过程。 其数学模型可以表示为
Ｘ＝ ＡＳ （１）
空间，如果 Ｗ 是方阵，那么 Ｐ（ Ｗ） 的体积可记为 如果 Ｗ 不是方阵，那么
其中：
抄 Ｆ （ Ｖ ‖ ＷＨ ） ＝［ －ＶＨ 抄Ｗ ｉｋ 抄 Ｆ （ Ｖ ‖ ＷＨ ） ＝［ －ＷＶ 抄 Ｈ ｋｊ
Ｔ Ｔ Ｔ
＋ＷＨＨ ］ ｉｋ ＋α Ｗ
Ｔ
Ｔ
１畅 ２ 稀疏测度分析
为 Ｐ（ Ｗ），且有 ｖｏｌ（ Ｐ） 最小，则这些矢量是唯一的。
第 ２８ 卷第 ５ 期 ２０１１ 年 ５ 月
计 算 机 应 用 研 究 Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ
Ｖｏｌ． ２８ Ｎｏ． ５ Ｍａｙ ２０１１
基 于 约 束 ＮＭＦ 的 欠 定 盲 信 号 分 离 算 法 倡
赵知劲 ， 卢 宏 ， 尚俊娜
术国家级重点实验室 ， 浙江 嘉兴 ３１４００１） 摘 要 ： 提出一种约束非负矩阵分解方法用于解决欠定盲信号分离问题 。 非负矩阵分解直接用于求解欠定盲 信号分离时 ，分解结果不唯一 ，无法正确分离源信号 。 在基本非负矩阵分解算法基础上 ，对分解得到的混合矩阵 施加行列式约束 ，保证分解结果的唯一性 ；对分解得到的源信号同时施加稀疏性约束和最小相关约束 ， 实现混合 信号的唯一分解 ，提高源信号分离性能 。 仿真实验证明了算法的有效性 。 关键词 ： 欠定盲分离 ； 非负矩阵分解 ； 行列式准则 ； 稀疏性 ； 最小相关约束 中图分类号 ： ＴＮ９１１ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １００１唱 ３６９５（２０１１）０５唱 １８４３唱 ０３ ｄｏｉ：１０． ３９６９ ／ ｊ． ｉｓｓｎ． １００１唱 ３６９５． ２０１１． ０５． ０７１
Ｒ（ Ｈ） ＝
［１１］ Ｔ
由随机信号理论可知，非相关源信号之间相关系数的绝对
将式（１１） ～ （１３） 代入式（１０） 可以得到混合矩阵和源信号 矩阵的乘性迭代更新规则：
Ｗ ｉｋ ＝ Ｗ ｉｋ （ ［ ＷＨＨ Ｔ ］ ｉｋ ＋ε ［ ＶＨ Ｔ ］ ｉｋ
Ｔ －α Ｗ ｄｅｔ （ ＷＷ ）
ｎ× Ｎ
ｍ× Ｎ
是观测信号矩阵，Ａ ∈Ｒ
－ １
的乘积， 使得分解结果尽可能地满足
Ｖ＝ ＷＨ （２）
和
Ｖ≈ＷＨ，其中 Ｗ 和 Ｈ 中的元素非负。 数学模型可表示为 ＮＭＦ 通常要求 Ｗ 为列满秩， 以尽可能地保留 Ｖ 的信息，
分别是未知的混合矩阵和源信号矩 不存在，无法
阵。 当 ｍ ＜ ｎ 时为欠定盲分离 （ ＵＢＳＳ ），由于 Ａ 较困难。
Ｗ ｉｋ ＝Ｗ ｉｋ －η Ｗ Ｈ ｋｊ ＝ Ｈ ｋｊ －η Ｈ 抄Ｆ （ Ｖ ‖ ＷＨ ） 抄Ｗ ｉｋ 抄Ｆ （ Ｖ ‖ ＷＨ） 抄 Ｈ ｋｊ
抄 ｄｅｔ （ ＷＷ ） 抄 Ｗ ｉｋ
Ｔ
解方法实现了信号分离， 但对于稀疏性较差的情况，此方法不
适用。 本文提出基于约束 ＮＭＦ 的欠定盲分离算法，对 ＮＭＦ 得
ＺＨＡＯ Ｚｈｉ 唱 ｊｉｎ ， ＬＵ Ｈｏｎｇ ， ＳＨＡＮＧ Ｊｕｎ唱 ｎａ
１，２ １
１
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ ｍａｔｒｉｘ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ （ ＮＭＦ） ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｒｅｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｕｎｄｅｒ唱 ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｌｉｎｄ ｓｉｇｎａｌ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ． Ｉｔ ｗａｓ ｈａｒｄ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｕｎｉｑｕｅ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｒｒｅｃｔｌｙ ｓｅｐａｒａｔｅｄ ｓｏｕｒｃｅ ｓｉｇｎａｌｓ ｗｈｅｎ ＮＭＦ ｗａｓ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｒｅｓｏｌｖｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｂｏｖｅ． Ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｓｔａｎｄａｒｄ ＮＭＦ，ｉｍｐｏｓｅｄ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ｏｎ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ｍｉｘ唱 ｉｎｇ ｍａｔｒｉｘ ｔｏ ａｃｈｉｅｖｅ ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ＮＭＦ． Ｉｍｐｏｓｅｄ ｓｐａｒｓｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｌｅａｓｔ ｃｏｒｒｅｌａｔｅｄ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ ｏｎ ｅｓｔｉ唱 ｍａｔｅｄ ｓｏｕｒｃｅｓ ｔｏ ｒｅａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｉｘｅｄ ｓｉｇｎａｌｓ ａｎｄ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｓｏｕｒｃｅ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： ｕｎｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ＢＳＳ （ ＵＢＳＳ ）； ｎｏｎ唱 ｎｅｇａｔｉｖｅ ｍａｔｒｉｘ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ （ ＮＭＦ ）； ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ； ｓｐａｒｓｉｔｙ； ｔｈｅ ｌｅａｓｔ ｃｏｒｒｅｌａｔｅｄ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ
Ｗ ］ ｉｋ
（１１）
的 Ｈ 也应是稀疏的， 通常采用 ｌ 范数测度稀疏性
１
如果源信号的稀疏性较好，那么在 ＮＭＦ 模型中，分解得到
［１０］
抄Ｊ（ Ｈ） ＝ １ 抄Ｈ ｋｊ 抄Ｒ （ Ｈ ） １ ＝ －［ （ ＨＨ Ｔ ） 抄 Ｈ ｋｊ （ ｈｋ ｈＴ ｋ ） ｈ ｋｊ
－Ｔ
， 优化式
（５）
Ｈ ］ ｋｊ
（１２）
可表示如下：
１ ｍｉｎ Ｊ （ Ｈ ） ＝ ‖ Ｈ‖ １ ＝钞 ｜ Ｈ ｉｊ ｜ ｓｔ ：Ｖ ＝ ＷＨ ｉ， ｊ
选择学习速率：
Ｗ ｉｋ Ｈ ｋｊ η ，η Ｗ ＝ Ｈ ＝ ［ ＷＨＨ Ｔ ］ ｉｋ ［ Ｗ Ｔ ＷＨ］ ｋｊ （１３）
１畅 ３ 最小相关约束
值一定小于其混合信号之间相关系数的绝对值。 在 ＢＳＳ 问题 中，如果分离不彻底， Ｈ 中每一行信号中将包含其他的源信 最小作为对 Ｈ 的一个约束条件，定义为
稀疏分量分析 （ ｓｐａｒｓｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ， ＳＣＡ ） 已被用于 、Ｋ唱 ｍｅａｎｓ 聚类
类特征，比较有代表性的算法有 Ｂｏｆｉｌｌ 提出的基于势函数的聚
［２］
，以及谭北海等人
［３］
提出的可同时获取
未知源信号数目和混合矩阵的聚类等。 当源信号 ｋ 阶稀疏，即 每一采样点时刻有 ｋ 个值较大， 其余较小或为零时，观测信号 表现为面聚类特征，比较有代表性的算法有基于平面聚类的算 法 法
作者简介 ： 赵知劲 （１９５９唱 ） ，女 ， 浙江宁波人 ，教授 ，博导 ，主要研究方向为信号处理 、软件无线电等 ； 卢宏 （１９８５唱 ） ，硕士研究生 ，主要研究方向为
・ １８４４・
计 算 机 应 用 研 究
第 ２８ 卷
Ｗ 为行满秩，那么分解结果将不唯一， 无法实现源信号分离。 适的约束以得到唯一的分解结果， 是利用 ＮＭＦ 解决 ＵＢＳＳ 问 题的关键。 针对源信号充分稀疏的理想情况， Ｃｉｃｈｏｃｋｉ 等人
使用传统的独立分量分析方法分离源信号，ＵＢＳＳ 问题变得比 研究 ＵＢＳＳ 问题。 当源信号充分稀疏时，观测信号表现为线聚 类
［１］
最大限度地实现无损分解。 在 ＮＭＦ 基本理论的基础上， 众多 改进算法被提出，如乘性算法（ ｍｕｌｔｐｌｉｃａｔｉｖｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ）、投影梯 度法（ ｐｒｏｊｅｃｔｅｄ ｇｒａｄｉｅｎｔ）、 定点 ＮＭＦ 算法 （ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ＮＭＦ ） 和 拟牛顿算法 （ ｑｕａｓｉ 唱 Ｎｅｗｔｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ） 等。 在实际应用中， 人们 交性等） 限制，从而得到更加合理的分解结果。 比较式（１） （２） 往往对 Ｗ 和 Ｈ 施以除非负性之外的 （ 如稀疏性、 平滑性和正
１ ，２ １ １
（１． 杭州电子科技大学 通信工程学院 ， 杭州 ３１００１８； ２． 中国电子科技集团 第 ３６ 研究所 通信系统信息控制技
Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｕｎｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｌｉｎｄ ｓｉｇｎａｌ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ＮＭＦ
（１． Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｈａｎｇｚｈｏｕ Ｄｉａｎｚｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ， Ｈａｎｇｚｈｏｕ ３１００１８， Ｃｈｉｎａ ； ２． Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｉｎ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ Ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ Ｎｏ ． ３６ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ， Ｃｈｉｎａ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｃｏｒｐｏｒａｔｉｏｎ ， Ｊｉａｘｉｎｇ Ｚｈｅｊｉａｎｇ ３１４００１， Ｃｈｉｎａ ）