第4讲- 运输问题和指派问题

4.1 运输问题基本概念
一般的运输问题就是解决如何把某种产品从若干个产地 调运到若干个销地，在每个产地的供应量和每个销地的 需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如 何确定一个使得总的运输费用最小的方案。 平衡运输问题的条件：
1. 明确出发地（产地）、目的地（销地）、供应量（产量）、需 求量（销量）和单位成本。 2. 需求假设：每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应 量都必须配送到目的地。与之类似，每一个目的地都有一个固 定的需求量，整个需求量都必须由出发地满足。即“总供应＝ 总需求”。 3. 成本假设：从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成 本与所配送的数量成线性比例关系，因此成本就等于配送的单 位成本乘以所配送的数量（目标函数是线性的）。
表4－1 各工厂到各销售点的单位产品运价（元/吨） B1 A1 A2 3 1 B2 11 9 B3 3 2 B4 10 8 产量（吨） 7 4
A3
销量（吨）
7
3
4
6
10
5
5
6
9
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
i 1 j 1 （1）产销平衡运输问题的数学模型 具有m个产地Ai（i＝1,2,,m）和n个销地 Bj（j＝1,2,,n）的运输问题的数学模型为
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
例4.3 某公司从两个产地A1、A2将物品运往 三个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销 地的销量和各产地运往各销地每件物品的运 费如表4－6所示。问应如何调运，可使得总 运输费最小？
表4－6 例4.3的运输费用表
B1 A1 A2 销量 13 11 53 B2 15 29 36 B3 12 22 65 产量 78 45 （销大于产）
Max z 55 x11 42 x12 46 x13 53x14 37 x21 18 x22 32 x23 48 x24 29 x31 59 x32 51x33 35 x34 (工厂1) (工厂2) (工厂3) (顾客1) (顾客2) (顾客3) (顾客4)

i 1
b
j 1
n
j
Min z cij xi j
i 1 j 1
m
n
n xij ai (i 1, 2, L , m) (产量约束) j 1 m s.t. xij b j ( j 1, 2, L , n) (销量约束) i 1 xij 0 (i 1, 2, L , m; j 1, 2, L , n)
－运用Excel建模和求解
第4章
运输问题和指派问题
Fra Baidu bibliotek
本章内容要点
运输问题的基本概念及其 各种变形的建模与应用
指派问题的基本概念及其 各种变形的建模与应用
本章节内容
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 运输问题基本概念 运输问题数学模型和电子表格模型 各种运输问题变形的建模 运输问题应用举例 指派问题 各种指派问题变形的建模
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
例4.3的电子表格模型
4.3 各种运输问题变形的建模
现实生活中符合产销平衡运输问题每一个条件的情况很少。一 个特征近似但其中的一个或者几个特征却并不符合产销平衡运 输问题条件的运输问题却经常出现。 下面是要讨论的一些特征： （1）总供应大于总需求。每一个供应量（产量）代表了从其出 发地中配送出去的最大数量（而不是一个固定的数值,≤）。 （2）总供应小于总需求。每一个需求量（销量）代表了在其目 的地中所接收到的最大数量（而不是一个固定的数值,≤）。 （3）一个目的地同时存在着最小需求和最大需求，于是所有在 这两个数值之间的数量都是可以接收的（≥,≤）。 （4）在配送中不能使用特定的出发地—目的地组合（xij=0）。 （5）目标是使与配送数量有关的总利润最大而不是使总成本最 小。（Min－> Max）
a
m
i

b
n
j
Min z cij xij
i 1 j 1
m
n
n xij ai (i 1, 2, L , m) (产量约束) j 1 m s.t. xij b j ( j 1, 2, L , n) (销量约束) i 1 xij 0 (i 1, 2, L , m; j 1, 2, L , n)
11.30 x44 x11 x12 x13 x14 25 x22 x23 x24 35 x33 x34 30 x44 10 s.t. x11 10 x x 15 22 12 x13 x23 x33 25 x14 x24 x34 x44 20 xij 0 (i, j 1, 2, 3, 4; i j )
Min z 3x11 11x12 3x13 10 x14 x21 9 x22 2 x23 8 x24 7 x31 4 x32 10 x33 5 x34
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
（3）约束条件 ①满足产地产量 （3个产地的 产品都要全部 配送出去） ②满足销地销量 （4个销地的 产品都要全部 得到满足） ③非负
本章主要内容框架图
产销平衡（总产量等于总销量） 产大于销（总产量大于总销量） 销大于产（总产量小于总销量） 运输问题 数学模型和电子表格模型 各种变形的建模 运输问题和指派问题 应用举例 平衡指派问题（总人数等于总任务数） 指派问题 数学模型和电子表格模型 各种变形的建模
x11 x12 x13 x14 8000 x21 x22 x23 x24 5000 x31 x32 x33 x34 7000 目标是利润最大，而 不是成本最小。 x11 x21 x31 7000 s.t. 其数学模型如下： 3000 x12 x22 x32 9000 2000 x13 x23 x33 6000 设xij为工厂i供应给顾 客j的产品数量 x14 x24 x34 8000 x 0(i 1, 2,3; j 1, 2,3, 4) ij

4.1 运输问题基本概念
例4.1 某公司有三个加工厂A1、A2、A3生产某产品，每 日的产量分别为： 7 吨、4 吨、 9吨；该公司把这些产品 分别运往四个销售点B1、B2、B3、B4，各销售点每日销 量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点 的单位产品运价如表4－1所示。问该公司应如何调运这 些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费 最少？
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
（3）销大于产（供不应求）运输问题 的数学模型 m （以满足小的产量为准） ai
Min z cij xi j
i 1 j 1 m n

i 1
b
j 1
n
j
n xij ai (i 1, 2, L , m) (产量约束) j 1 m s.t. xij b j ( j 1, 2, L , n) (销量约束) i 1 xij 0 (i 1, 2, L , m; j 1, 2, L , n)
4.1 运输问题基本概念
运输问题最初起源于人们在日常生活中把某些 物品或人们自身从一些地方转移到另一些地方 ，要求所采用的运输路线或运输方案是最经济 或成本最低的，这就成为了一个运筹学问题。 随着经济的不断发展，现代物流业蓬勃发展， 如何充分利用时间、信息、仓储、配送和联运 体系创造更多的价值，向运筹学提出了更高的 挑战。 要求科学地组织货源、运输和配送使得运输问 题变得日益复杂，但是其基本思想仍然是实现 现有资源的最优化配置。
Min z 3 x11 11x12 3 x13 10 x14 x21 9 x22 2 x23 8 x24 7 x31 4 x32 10 x33 5 x34 x11 x12 x13 x14 7 x x x x 4 22 23 24 21 x31 x32 x33 x34 9 x11 x21 x31 3 s.t. x12 x22 x32 6 x13 x23 x33 5 x14 x24 x34 6 x 0(i 1, 2, 3; j 1, 2, 3, 4) ij
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
解：由表4－6知，总产量为78+45=123，总销量为 53+36+65=154，销大于产(供不应求)。数学模型如下： 设xij为产地Ai运往销地Bj的物品数量
Min z 13 x11 15 x12 12 x13 11 x21 29 x22 22 x23 x11 x12 x13 78 (产地A1 ) x21 x22 x23 45 (产地A2 ) (销地B1 ) x11 x21 53 s.t. (销地B2 ) x12 x22 36 x x 65 (销地B3 ) 13 23 xij 0(i 1, 2; j 1, 2,3)
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
对于例4.1，其数学模型如下： 首先，三个产地A1、A2、A3的总产量为7＋4＋9＝20；四个 销地B1、B2、B3、B4 的总销量为 3 ＋6 ＋5 ＋6 ＝20 。由于总 产量等于总销量，故该问题是一个产销平衡的运输问题。 (1)决策变量 设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量(i＝1,2,3;j=1,2,3,4) （2）目标函数 本问题的目标是使得总运输费最小。
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
Min z 10.80 x11 10.95 x12 11.10 x13 11.25 x14 11.10x22 11.25 x23 11.40 x24 11.00 x33 11.15 x34
该生产与 储存问题 （转化为 产大于销 的运输问 题）的数 学模型为
4.3 各种运输问题变形的建模
例4.5 某公司在3个工厂中专门生产一种产品。在未来的4个月中，有四
个处于国内不同区域的潜在顾客（批发商）很可能大量订购。顾客 1是公司 最好的顾客，所以他的全部订购量都应该满足；顾客2和顾客3也是公司很 重要的顾客，所以营销经理认为作为最低限度至少要满足他们订单的1/3； 对于顾客4，销售经理认为并不需要进行特殊考虑。由于运输成本上的差异 ，销售一个产品得到的净利润也不同，很大程度上取决于哪个工厂供应哪 个顾客（见表4－8）。问应向每一个顾客供应多少货物，以使公司总利润 最大？ 表4－8 工厂供应顾客的相关数据
单位利润（元） 顾客1 工厂1 55 顾客2 42 顾客3 46 顾客4 53 产量 8000
工厂2
工厂3 最小采购量 最大采购量
37
29 7000 7000
18
59 3000 9000
32
51 2000 6000
48
35 0 8000
5000
7000
4.3 各种运输问题变形的建模
解：该问题要求满足不 同顾客的需求（采购量 ），解决办法： 实际供给量最小采购量 实际供给量最大采购量
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
运输问题是一种特殊的线性规划问题，一般采用“表上作 业法”求解运输问题，但 Excel 的“规划求解”还是采用 “单纯形法”来求解。 例4.1的电子表格模型
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
（ 2 ）产大于销（供过于求）运输问题 的数学模型 m （以满足小的销量为准） ai