高中数学选修2-1第二章课后习题解答

新课程标准数学选修
2—1第二章课后习题解答
第二章
圆锥曲线与方程
2．1曲线与方程练习（P37）
1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x .
2、3218,2525a
b
.
3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y .
（1）当2t
时，直线CA 斜率20
222
CA
k t
t
所以，12
2CB
CA
t k k 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为
2
2
(2)2
t y x
.
令0x
，得4y
t ，即点B 的坐标为(0,4
)t .
由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,2
2
t t
x
y
.
由2t x 得2t x ，代入42
t y
，
得422
x y ，即2
0x
y
……①
（2）当2t
时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2)
此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①
由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线.
习题2.1 A 组（P37）
1、解：点(1,2)A 、(3,10)C 在方程2
210x
xy
y 表示的曲线上；
点(2,3)B 不在此曲线上
2、解：当0c
时，轨迹方程为12
c x
；当0c 时，轨迹为整个坐标平面.
3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点
M 的轨
迹方程为2
2
4x
y
.
4、解法一：设圆2
2
650x y
x 的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0).
由题意，得CM AB ，则有1CM AB
k k .
y
x
A
B
C
E
F
O
M
D
（第2题）
所以，
13
y y x x (3,0)x x 化简得2
2
30x y
x
(3,0)
x
x
当3x
时，0y
，点(3,0)适合题意；当0x 时，0y
，点(0,0)不合题意.
解方程组
222
2
3065
x y x x
y
x
，得525,3
3x
y
所以，点M 的轨迹方程是2
2
30x
y x ，
533
x
.
解法二：注意到
OCM 是直角三角形，
利用勾股定理，得2
2
2
2
(3)
9x y
x y
，
即2
2
30x
y
x . 其他同解法一.
习题2.1 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点
P 的直线l 的方程为
1x y a b
.
因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341
a
b
因此，430
ab a b
由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy
x
y
.
2、解：如图，设动圆圆心
M 的坐标为(,)x y .
由于动圆截直线30x
y
和30x
y
所得弦分别为
AB ，CD ，所以，8AB
，4CD . 过点M 分别
作直线30x
y
和30x
y
的垂线，垂足分别为
E ，
F ，则4AE
，2CF
.
310
x
y ME
，310x y MF
.
连接MA ，MC ，因为MA
MC ，
则有，2
2
2
2
AE
ME
CF
MF
所以，2
2
(3)
(3)
16
4
10
10x y x
y ，化简得，10xy .
因此，动圆圆心的轨迹方程是
10xy
.
（第1题）
y x
B 1
A 1
F 1
F 2
O
A 2
B 2
2．2椭圆
练习（P42）
1、14. 提示：根据椭圆的定义，
1
2
20PF PF ，因为1
6PF ，所以2
14PF .
2、（1）
2
2
116
x
y
；（2）
2
2
116
y
x
；
（3）
2
2
13616x
y
，或
2
2
13616
y
x
.
3、解：由已知，5a
，4b ，所以2
2
3c a
b
.
（1）
1AF B 的周长1
2
12AF AF BF BF .
由椭圆的定义，得1
2
2AF AF a ，1
2
2BF BF a .
所以，
1AF B 的周长420a .
（2）如果AB 不垂直于x 轴，
1AF B 的周长不变化.
这是因为①②两式仍然成立，1AF B 的周长
20，这是定值.
4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得
直线AM 的斜率
1
AM
y k x (1)x ；直线BM 的斜率1
BM y k x (1)x ；由题意，得
2AM BM
k k ，所以
2
1
1
y y x x (1,0)
x
y
化简，得3x (0)
y
因此，点M 的轨迹是直线3x
，并去掉点(3,0).
练习（P48）
1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA （或1OA ）为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为12,F F .
点12,F F 就是椭圆的两个焦点. 这是因为，在22Rt B OF 中，2OB b ，222
B F OA a ，
所以，2
OF c . 同样有1
OF c .
2、（1）焦点坐标为(8,0)，(8,0)；（2）焦点坐标为(0,2)，(0,2).
3、（1）
2
2
13632x
y
；（2）
2
2
12516y
x
.
4、（1）
2
2
1
94
x
y
（2）
2
2
110064
x
y
，或
2
2
110064
y x
.
5、（1）椭圆2
2
936x y
的离心率是
223
，椭圆
2
2
11612
x
y
的离心率是
12
，
因为
2213
2，所以，椭圆
2
2
11612
x y
更圆，椭圆2
2
936x
y
更扁；
（2）椭圆2
2
936x
y
的离心率是
223，椭圆
2
2
1610
x y
的离心率是
105
，
因为
22103
5
，所以，椭圆
2
2
1610x
y
更圆，椭圆2
2
936x
y
更扁.
6、（1）8
(3,)5
；
（2）(0,2)；（3）4870(
,
)37
37
.
7、
827
.
习题2.2 A 组（P49）
1、解：由点(,)M x y 满足的关系式
2
2
2
2
(3)
(3)
10x
y x
y 以及椭圆的定义得，
点M 的轨迹是以1(0,3)F ，2(0,3)F 为焦点，长轴长为
10的椭圆.
它的方程是
2
2
12516
y
x
.
2、（1）
2
2
13632
x y
；
（2）
2
2
1259
y x
；（3）
2
2
14940
x y
，或
2
2
14940
y x
.
3、（1）不等式22x ，4
4y
表示的区域的公共部分；（2）不等式
2525x
，
10103
3
y
表示的区域的公共部分.
图略.
4、（1）长轴长28a ，短轴长24b ，离心率32
e ，
焦点坐标分别是(23,0)，(23,0)，顶点坐标分别为(4,0)，(4,0)，(0,2)，(0,2)；
（2）长轴长218a ，短轴长26b ，离心率223
e
，
焦点坐标分别是(0,62)，(0,62)，顶点坐标分别为(0,9)，(0,9)，(3,0)，(3,0).
5、（1）
2
2
185x
y
；
（2）
2
2
19
x
y
，或
2
2
1819
y
x
；
（3）
2
2
1259
x
y
，或
2
2
1259
y x
.
6、解：由已知，椭圆的焦距
12
2F F .
因为
12PF F 的面积等于1，所以，
12
112
P F F y ，解得1P
y .
代入椭圆的方程，得
2
115
4x
，解得152
x
.
所以，点P 的坐标是15(
,1)2
，共有4个.
7、解：如图，连接QA. 由已知，得QA
QP . 所以，QO
QA QO QP OP r .
又因为点A 在圆内，所以OA
OP
根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.
8、解：设这组平行线的方程为
32y
x
m . 把32y
x m 代入椭圆方程2
2
14
9
x
y
，得2
2
962180x
mx m .
这个方程根的判别式2
2
3636(218)
m m （1）由
0，得3232m
.
当这组直线在y 轴上的截距的取值范围是(32,32)时，直线与椭圆相交.
（2）设直线与椭圆相交得到线段
AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y .
则1
2
23x x m x
. 因为点M 在直线32y
x
m 上，与3
m
x
联立，消去m ，得320x y
.
这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一
条直线上. 9、
2
22
2
13.525 2.875
x
y
.
l
Q
O
A
P
（第7题）
10、地球到太阳的最大距离为81.528810km ，最下距离为8
1.471210km.
习题2.2 B 组（P50）
1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，
则0x
x ，032y y
.
所以0
x x ，0
23
y y ……①.
因为点00(,)P x y 在圆上，所以220
4x y
……②.
将①代入②，得点M 的轨迹方程为2
2
449
x
y
，即
2
2
1
49
x
y
所以，点M 的轨迹是一个椭圆
与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到
.
2、解法一：设动圆圆心为
(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为
12,O O . 分别将两已知圆的方程2
2
650x
y
x ，2
2
691
x
y
x 配方，得2
2
(3)
4x
y
，2
2
(3)
100
x
y
当P 与1O ：2
2
(3)4x y
外切时，有12O P R ……①当
P 与
2O ：2
2
(3)
100x
y
内切时，有210O P
R ……②
①②两式的两边分别相加，得1212
O P
O P
即，
2
2
2
2
(3)
(3)12x y
x y
……③
化简方程③.
先移项，再两边分别平方，并整理，得2
2
2(3)
12x y
x ……④
将④两边分别平方，并整理，得
2
2
34108
0x
y
……⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得
2
2
13627
x
y
……⑥
由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，63.
解法二：同解法一，得方程
2
2
2
2
(3)
(3)
12x y
x y
……①
由方程①可知，动圆圆心
(,)P x y 到点1(3,0)O 和点2(3,0)O 距离的和是常数12，
所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)、(3,0)，长轴长等于12的椭圆. 并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x 轴上，于是可求出它的标准方程
.
因为26c
，212a ，所以3c ，6
a
y
x
N M
L
B
A
E
T'
R'S'C D
T
R
S
H
F O
G
（第4题）
所以2
369
27b
.
于是，动圆圆心的轨迹方程为
2
2
13627
x
y
.
3、解：设d 是点M 到直线8x
的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12
MF P M
d
由此得
2
2
(2)18
2
x y
x
将上式两边平方，并化简，得
2
2
3448x y ，即
2
2
1
1612
x
y
所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为
8，43的椭圆.
4、解：如图，由已知，得
(0,3)E ，(4,0)F ，(0,3)G ，(4,0)H .
因为,,R S T 是线段OF 的四等分点，
,,R S T 是线段CF 的四等分点，所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；
9
3
3
(4,),(4,),(4,)424R S T .
直线ER 的方程是33y x ；直线GR 的方程是3316y x
. 联立这两个方程，解得
3245,1717
x y
.
所以，点L 的坐标是3245
(,)1717.
同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621
(,)2525.
由作图可见，可以设椭圆的方程为
222
2
1x
y m
n
(0,0)m
n ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得
2
2
114
m
，
2
2
113
n
.
所以经过点,L M 的椭圆方程为
2
2
1169
x
y
.
把点N 的坐标代入
2
2
169
x y
，得
2
2196
1
21(
)
()116
25
925
，
所以，点N 在
2
2
1169
x
y
上.
因此，点,,L M N 都在椭圆
2
2
1169
x y
上.
2．3双曲线练习（P55）1、（1）
2
2
1169
x
y
. （2）2
2
13
y
x
.
（3）解法一：因为双曲线的焦点在
y 轴上
所以，可设它的标准方程为222
2
1y x a b (0,0)
a
b
将点(2,5)代入方程，得2
2
2541a
b
，即2
2
2
2
4250
a b
a b 又2
2
36a
b
解方程组
2
2
2
2
22
4250
36
a b a b
a
b
令2
2
,m
a n
b ，代入方程组，得
425036
mn m n m n
解得
20
16
m n ，或
459
m n
第二组不合题意，舍去，得
2
2
20,16
a b 所求双曲线的标准方程为
2
2
1
2016
y
x
解法二：根据双曲线的定义，有
2
2
24(56)4(56)45a .
所以，25
a 又6c
，所以2
362016
b
由已知，双曲线的焦点在
y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为
2
2
12016
y
x
.
2、提示：根据椭圆中2
2
2
a b
c 和双曲线中2
2
2
a
b
c 的关系式分别求出椭圆、双曲线的
焦点坐标.
3、由(2
)(1)
0m m ，解得2m
，或1
m 练习（P61）1、（1）实轴长282a
，虚轴长24b
；顶点坐标为(42,0),(42,0)；
焦点坐标为(6,0),(6,0)；离心率324
e
.
（2）实轴长26a
，虚轴长218b ；顶点坐标为(3,0),(3,0)；
焦点坐标为(310,0),(310,0)；离心率10e
.
（3）实轴长24a
，虚轴长24b ；顶点坐标为(0,2),(0,
2)；
焦点坐标为(0,22),(0,
22)；离心率2e
.
（4）实轴长210a ，虚轴长214b ；顶点坐标为(0,5),(0,
5)；
焦点坐标为(0,74),(0,
74)；离心率745
e
.
2、（1）
2
2
1169
x y
；（2）
2
2
13628
y x
. 3、
2
2
1
35
x y
4、
2
2
11818
x
y
，渐近线方程为y x .
5、（1）14
2
(6,2),(
,
)33；（2）25(
,3)
4习题2.3 A 组（P61）
1、把方程化为标准方程，得2
2
16416
y
x
. 因为8a ，由双曲线定义可知，点
P 到两焦点距
离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.
2、（1）
2
2
12016x
y
.
（2）
2
2
1
2575
x
y
3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F ，离心率53
e ；（2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F ，离心率54
e
；
4、（1）
2
2
12516
x
y
. （2）
2
2
1
9
16
y
x
（3）解：因为2c e a
，所以2
2
2c
a ，因此2
2
2
2
2
2
2b c a a a a .
设双曲线的标准方程为
222
2
1x y a
a
，或2
22
2
1y x a
a
. 将(5,3)代入上面的两个方程，得2
2
2591a
a
，或
2
2
9251a
a
.
解得2
16a
（后一个方程无解）.
所以，所求的双曲线方程为
2
2
11616
x
y
.
5、解：连接QA ，由已知，得QA
QP . 所以，QA
QO QP
QO
OP r .
又因为点A 在圆外，所以OA OP .
根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.
6、
2
2
188
x
y
.
习题2.3 B 组（P62）1、
2
2
1
169
x
y
2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知
,A B 两处与爆炸点的距离的差，
因此爆炸点应位于以
,A B 为焦点的双曲线上.
使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy .
设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则34031020PA PB .
即21020a ，510a .
又1400AB
，所以21400c ，700c
，2
2
2
229900b
c
a
.
因此，所求双曲线的方程为
2
2
1260100229900
x
y
.
3、
222
2
1
x y a
b
4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段
AB 的中点为(,)M x y .
设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x ，即1y
kx
k
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新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答
（第11页共19页）
把1y kx k 代入双曲线的方程
2
2
12
y
x
得
2
2
2
(2)2(1)
(1)
20k
x k k x k （2
20k ）……①
所以，1
2
2
(1)
22x x k k x
k
由题意，得2
(1)
12k k k ，解得2k
.
当2k
时，方程①成为2
243
0x x
.
根的判别式1624
80，方程①没有实数解.
所以，不能作一条直线
l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.
2．4抛物线练习（P67）1、（1）2
12y
x ；（2）2
y
x ；（3）2
2
2
2
4,4,4,4y
x y
x x
y x y .
2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x ；（2）焦点坐标1(0,)8
F ，准线方程18y
；
（3）焦点坐标5(,0)8
F ，准线方程58
x
；（4）焦点坐标(0,2)F ，准线方程2y
；
3、（1）a ，2
p a
.
（2）(6,62)，(6,62)
提示：由抛物线的标准方程求出准线方程
. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于
9，
所以
39x ，6x
，62y .
练习（P72）1、（1）2
165
y x ；（2）2
20x y ；（3）2
16y
x ；
（4）2
32x
y.
2、图形见右，x 的系数越大，抛物线的开口越大.
3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 的方程
为2
y
x
与抛物线的方程2
4y x 联立
2
24y x y
x
解得
11
4232
23
x y ，
22
423
223
x y 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2
2
2
121()
()
AB x x y y 2
2
(43)
(43)
46.
4、解：设直线AB 的方程为x
a (0)a
.
y
x
y 2
=
12
x
y 2
=x
y 2
=2x y 2
=4x
O
（第2题）。