高中数学选修2-1第二章课后习题解答

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2—1第二章课后习题解答

第二章

圆锥曲线与方程

2．1曲线与方程练习（P37）

1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x .

2、3218,2525a

b

.

3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y .

（1）当2t

时，直线CA 斜率20

222

CA

k t

t

所以，12

2CB

CA

t k k 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为

2

2

(2)2

t y x

.

令0x

，得4y

t ，即点B 的坐标为(0,4

)t .

由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,2

2

t t

x

y

.

由2t x 得2t x ，代入42

t y

，

得422

x y ，即2

0x

y

……①

（2）当2t

时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2)

此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①

由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线.

习题2.1 A 组（P37）

1、解：点(1,2)A 、(3,10)C 在方程2

210x

xy

y 表示的曲线上；

点(2,3)B 不在此曲线上

2、解：当0c

时，轨迹方程为12

c x

；当0c 时，轨迹为整个坐标平面.

3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点

M 的轨

迹方程为2

2

4x

y

.

4、解法一：设圆2

2

650x y

x 的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0).

由题意，得CM AB ，则有1CM AB

k k .

y

x

A

B

C

E

F

O

M

D

（第2题）

所以，

13

y y x x (3,0)x x 化简得2

2

30x y

x

(3,0)

x

x

当3x

时，0y

，点(3,0)适合题意；当0x 时，0y

，点(0,0)不合题意.

解方程组

222

2

3065

x y x x

y

x

，得525,3

3x

y

所以，点M 的轨迹方程是2

2

30x

y x ，

533

x

.

解法二：注意到

OCM 是直角三角形，

利用勾股定理，得2

2

2

2

(3)

9x y

x y

，

即2

2

30x

y

x . 其他同解法一.

习题2.1 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点

P 的直线l 的方程为

1x y a b

.

因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341

a

b

因此，430

ab a b

由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy

x

y

.

2、解：如图，设动圆圆心

M 的坐标为(,)x y .

由于动圆截直线30x

y

和30x

y

所得弦分别为

AB ，CD ，所以，8AB

，4CD . 过点M 分别

作直线30x

y

和30x

y

的垂线，垂足分别为

E ，

F ，则4AE

，2CF

.

310

x

y ME

，310x y MF

.

连接MA ，MC ，因为MA

MC ，

则有，2

2

2

2

AE

ME

CF

MF

所以，2

2

(3)

(3)

16

4

10

10x y x

y ，化简得，10xy .

因此，动圆圆心的轨迹方程是

10xy

.

（第1题）

y x

B 1

A 1

F 1

F 2

O

A 2

B 2

2．2椭圆

练习（P42）

1、14. 提示：根据椭圆的定义，

1

2

20PF PF ，因为1

6PF ，所以2

14PF .

2、（1）

2

2

116

x

y

；（2）

2

2

116

y

x

；

（3）

2

2

13616x

y

，或

2

2

13616

y

x

.

3、解：由已知，5a

，4b ，所以2

2

3c a

b

.

（1）

1AF B 的周长1

2

12AF AF BF BF .

由椭圆的定义，得1

2

2AF AF a ，1

2

2BF BF a .

所以，

1AF B 的周长420a .

（2）如果AB 不垂直于x 轴，

1AF B 的周长不变化.

这是因为①②两式仍然成立，1AF B 的周长

20，这是定值.

4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得

直线AM 的斜率

1

AM

y k x (1)x ；直线BM 的斜率1

BM y k x (1)x ；由题意，得

2AM BM

k k ，所以

2

1

1

y y x x (1,0)

x

y

化简，得3x (0)

y

因此，点M 的轨迹是直线3x

，并去掉点(3,0).

练习（P48）

1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA （或1OA ）为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为12,F F .

点12,F F 就是椭圆的两个焦点. 这是因为，在22Rt B OF 中，2OB b ，222

B F OA a ，

所以，2

OF c . 同样有1

OF c .

2、（1）焦点坐标为(8,0)，(8,0)；（2）焦点坐标为(0,2)，(0,2).