椭圆及其标准方程(二)
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2.1 椭圆及其标准方程（二）
以椭圆为载体的动点轨迹方程的探求
椭圆的标准方程
定 义 y 图 形 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y
M F1
F 2 M
o
F2
x
o
F1
x
x
2 2
方 程 焦 点 a,b,c之间
的关系
y b
2 2
1 a b 0
y a
2 2
x b
2 2
推广：△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，a) 和C(0，-a)，另两边AB、AC的斜率的乘积 是 ，求顶点A的轨迹方程.
a
2
.
b
2
y a
2 2
x b
2 2
1( y a )
练习．已知F是椭圆 25 x 16 y 400在x轴上方 的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成 的比为2，求动点P的轨迹方程 .
x
2
y
2
1
9
4
△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和 C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是 ， 4 求顶点A的轨迹方程. 9
解：顶点A的轨迹方程为
.
x
2
y
2
1( y 6 )
81
36
说明：方程
x
2
y
2
1
81
36
对应的椭圆与y轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与(0，6)应舍去
解：
x
2
y
2
1 所以点M的轨迹是一个椭圆.（如图）
4
变式：当M分 PPˊ之比为 -1/2 时，点M的轨迹是什么？ 点M的轨迹还是一个椭圆
x
2
y
2
1
4
16
由本题结论可以看到，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长）， 可以得到椭圆.
王新敞
奎屯 新疆
求曲线方程的方法：
代点转换为已知动 点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y 之间的坐标。
若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于_________， 2 5 3
2 5 2 则∆F1PF2的周长为___________
|PF1|+|PF2|=2a
如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径 为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段 PPˊ，求线段PPˊ中点M的轨迹.
2
x 3
2
4 10
左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________ ２0
C
|CF1|+|CF2|=2a
F1 D F2
(2)已知椭圆的方程为：
4
x
2
y
2
1
,则
F2 P
5
a=_____，b=_______，c=_______， 2 1 5
(0,-1)、(0,1) 焦点坐标为：__________，焦距
F1
等于_________; 2
1 a b 0
a
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
三.例题精析
1、填空：
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则： 焦点在分母大的那个轴上。
(1)已知椭圆的方程为：
x
2
y
2
1
25
16
，则
5 4 a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标 3 6 (3,0)、(-3,0) 为：____________焦距等于______;若CD为过
椭圆的焦点， F P F
1 2
x a
2 2
y b
2 2
1
的一个点，F1 、F2为
S F PF
1 2
求
2
S F P F b ta n
1 2
2
练习：
1、方程
x 3
2
y
2
x 3
2
y
2
10
表示________。 2 2 2 2 2、方程 x 3 y x 3 y 6 表示________。 2 2 2 2 3、方程 x y 3 x y 3 10 表示________。 4、方程 x 3 4 的解是________。
练习 ：已知x轴上的一定点A（1,0）， x Q为椭圆 y 1 上的动点，求AQ中点 4 M的轨迹方程 y
2 2
Q
M O A 2 x
解：点M的轨迹方程是
(x
1 2
)
2
4y
2
1
-2
已知线段AB的两端点A，B分别
在 x 轴、y 轴上滑动， A B 5，M是 AB上一点，A M 2 ，点M随线段AB运动而 变化，求点M的轨迹方程。
点 E的 轨 迹 是 椭 圆 ,此 时 2a 6, 2c 4. 点 E的 轨 迹 方 程 x
2
y
2
1
9
5
5：p为椭圆上 圆的焦点， F P F
1
x
2
y
2
25
2
60
求
9
1 的一个点，F1 、F2为椭
S F PF
1 2
解 : S F PF 3 3
1 2
推广：p为椭圆上
设 M ( x , y ), A ( x 0 , 0), B (0, y 0 ) A M : M B 2 : 3
x0 x 2 5 1 x0 x 3 3 2 2 由 得 (1) 把 (1)代 入 x 0 y 0 25 得 2 0 y0 y 5 y 3 0 y 2 2 1 3
2 2
解： 225 x 2 144 y 2 576 y 176 0
4:点 A在 圆 B:(x-2) +y =36上 运 动 ,点 C(-2,0),D为 线 段 AC的 中 点 ,过 点 D作 线 段 AC的 垂 线 交 线 段 AB于 点 E,求 点 E的 轨 迹 .
2
2
解 (定 义 法 ): E D E B A E E B 5 D B 4
以椭圆为载体的动点轨迹方程的探求
椭圆的标准方程
定 义 y 图 形 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y
M F1
F 2 M
o
F2
x
o
F1
x
x
2 2
方 程 焦 点 a,b,c之间
的关系
y b
2 2
1 a b 0
y a
2 2
x b
2 2
推广：△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，a) 和C(0，-a)，另两边AB、AC的斜率的乘积 是 ，求顶点A的轨迹方程.
a
2
.
b
2
y a
2 2
x b
2 2
1( y a )
练习．已知F是椭圆 25 x 16 y 400在x轴上方 的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成 的比为2，求动点P的轨迹方程 .
x
2
y
2
1
9
4
△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和 C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是 ， 4 求顶点A的轨迹方程. 9
解：顶点A的轨迹方程为
.
x
2
y
2
1( y 6 )
81
36
说明：方程
x
2
y
2
1
81
36
对应的椭圆与y轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与(0，6)应舍去
解：
x
2
y
2
1 所以点M的轨迹是一个椭圆.（如图）
4
变式：当M分 PPˊ之比为 -1/2 时，点M的轨迹是什么？ 点M的轨迹还是一个椭圆
x
2
y
2
1
4
16
由本题结论可以看到，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长）， 可以得到椭圆.
王新敞
奎屯 新疆
求曲线方程的方法：
代点转换为已知动 点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y 之间的坐标。
若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于_________， 2 5 3
2 5 2 则∆F1PF2的周长为___________
|PF1|+|PF2|=2a
如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径 为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段 PPˊ，求线段PPˊ中点M的轨迹.
2
x 3
2
4 10
左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________ ２0
C
|CF1|+|CF2|=2a
F1 D F2
(2)已知椭圆的方程为：
4
x
2
y
2
1
,则
F2 P
5
a=_____，b=_______，c=_______， 2 1 5
(0,-1)、(0,1) 焦点坐标为：__________，焦距
F1
等于_________; 2
1 a b 0
a
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
三.例题精析
1、填空：
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则： 焦点在分母大的那个轴上。
(1)已知椭圆的方程为：
x
2
y
2
1
25
16
，则
5 4 a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标 3 6 (3,0)、(-3,0) 为：____________焦距等于______;若CD为过
椭圆的焦点， F P F
1 2
x a
2 2
y b
2 2
1
的一个点，F1 、F2为
S F PF
1 2
求
2
S F P F b ta n
1 2
2
练习：
1、方程
x 3
2
y
2
x 3
2
y
2
10
表示________。 2 2 2 2 2、方程 x 3 y x 3 y 6 表示________。 2 2 2 2 3、方程 x y 3 x y 3 10 表示________。 4、方程 x 3 4 的解是________。
练习 ：已知x轴上的一定点A（1,0）， x Q为椭圆 y 1 上的动点，求AQ中点 4 M的轨迹方程 y
2 2
Q
M O A 2 x
解：点M的轨迹方程是
(x
1 2
)
2
4y
2
1
-2
已知线段AB的两端点A，B分别
在 x 轴、y 轴上滑动， A B 5，M是 AB上一点，A M 2 ，点M随线段AB运动而 变化，求点M的轨迹方程。
点 E的 轨 迹 是 椭 圆 ,此 时 2a 6, 2c 4. 点 E的 轨 迹 方 程 x
2
y
2
1
9
5
5：p为椭圆上 圆的焦点， F P F
1
x
2
y
2
25
2
60
求
9
1 的一个点，F1 、F2为椭
S F PF
1 2
解 : S F PF 3 3
1 2
推广：p为椭圆上
设 M ( x , y ), A ( x 0 , 0), B (0, y 0 ) A M : M B 2 : 3
x0 x 2 5 1 x0 x 3 3 2 2 由 得 (1) 把 (1)代 入 x 0 y 0 25 得 2 0 y0 y 5 y 3 0 y 2 2 1 3
2 2
解： 225 x 2 144 y 2 576 y 176 0
4:点 A在 圆 B:(x-2) +y =36上 运 动 ,点 C(-2,0),D为 线 段 AC的 中 点 ,过 点 D作 线 段 AC的 垂 线 交 线 段 AB于 点 E,求 点 E的 轨 迹 .
2
2
解 (定 义 法 ): E D E B A E E B 5 D B 4