椭圆及其标准方程(二)
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椭圆及其标准方程(二)
∴ BA CA 10 . ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 x2 y2 1
25 16
又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
∴所求的点的轨迹方程为 x2 y2 1( y 0)
12
25 16
课后作业： 作业本：第22-23页
13
圆心Q(3，0)，所以P在定圆内 x 设动圆圆心为M(x,y)
则 MP 为半径
又圆M和圆Q内切，所以 MQ 8 MP
即|MP|+|MQ|=8，故M的轨迹是以P，Q为焦点的
故椭动圆圆，圆且心PQM中的点轨为迹原方点程.是：x2 y2 1
16 7
8
例2、长度为2的线段AB的两个端点A、B分别 在x、y轴上滑动，M点在线段AB上，且 |AM|=2/5y |AB|,求点M的轨迹方程。
B M
解：设动点M的坐标为(x,y),则
O
A x A ( 5 x ,0) ,B(0, 5 y),
3
2
因为 AB 2
所以有 (5 x)2 (5 y)2 4
3
2
即 25 x2 25 y2 4
9
4
所以点的轨迹方程是 25 x2 25 y2 4
9
4
9
练习 (课本P41):将圆 x2 y2 4 上的点的横坐标
保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得的曲线
的方程，并说明它是什么曲线.
解:设所得曲线上任一点坐标为P(x,y),圆 y
上的对应点的坐标P’(x’,y’),
P′
由题意可得： x' x
y'
2
y
Px o
所因以这为就x是2x变'2 4换y后y2'2所得44曲即线:的方x42程，y它2 表1示一个椭圆 2
高中数学第二章_椭圆定义_椭圆及其标准方程(二).人教版选修2
2 2
9
~ 求曲线方程的方法：
代入法：或中间变量法，利用所求曲 线上的动点与某一已知曲线上的动点 的关系，把所求动点转换为已知动点 满足的曲线的方程，由此即可求得动 点坐标x,y之间的坐标。
10
课堂练习:
x2 y2 1.如图，F1，F2 分别为椭圆 2 2 1 a b 的左、 右焦点， 点 P 在椭圆上， △POF2 是面积为 3 的正三角形， 则 b 2 的值是____________.
F
其中F1(0,-c)，F2(0,c) x
2
2
知识概括
椭圆的定义
图形 标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系
焦点位置的 判断
2
a b F 1 co
2
MF1 MF2 2a(2a 2c 0) y y F 2 M M
F2 x
M
o
F 1
x
x y 1 a b 0 2 2 a b
2 2
0 2 2 0 0
与点P坐标之间的关系式, 并由点P的坐标满足圆的方 程得到点 M 的坐标所满足的方程 . 把x = x, y = 2y 代入方程①, 得
0 0
因为点Ｐ(x , y )在圆x + y = 4上，所以 x + y = 4.
2 0 2 0 2 2
①
x + 4y = 4, 即 x + y =1. 4 所以点Ｍ的轨迹是一个椭圆.
2 2
x轴的垂线PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线 段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?
解 : 设点Ｍ的坐标为(x, y), 点Ｐ的坐标为(x , y ), 则
0 0
2 PD的中点得到点M 点M的运动.我们可以由M为线段
9
~ 求曲线方程的方法：
代入法：或中间变量法，利用所求曲 线上的动点与某一已知曲线上的动点 的关系，把所求动点转换为已知动点 满足的曲线的方程，由此即可求得动 点坐标x,y之间的坐标。
10
课堂练习:
x2 y2 1.如图，F1，F2 分别为椭圆 2 2 1 a b 的左、 右焦点， 点 P 在椭圆上， △POF2 是面积为 3 的正三角形， 则 b 2 的值是____________.
F
其中F1(0,-c)，F2(0,c) x
2
2
知识概括
椭圆的定义
图形 标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系
焦点位置的 判断
2
a b F 1 co
2
MF1 MF2 2a(2a 2c 0) y y F 2 M M
F2 x
M
o
F 1
x
x y 1 a b 0 2 2 a b
2 2
0 2 2 0 0
与点P坐标之间的关系式, 并由点P的坐标满足圆的方 程得到点 M 的坐标所满足的方程 . 把x = x, y = 2y 代入方程①, 得
0 0
因为点Ｐ(x , y )在圆x + y = 4上，所以 x + y = 4.
2 0 2 0 2 2
①
x + 4y = 4, 即 x + y =1. 4 所以点Ｍ的轨迹是一个椭圆.
2 2
x轴的垂线PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线 段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?
解 : 设点Ｍ的坐标为(x, y), 点Ｐ的坐标为(x , y ), 则
0 0
2 PD的中点得到点M 点M的运动.我们可以由M为线段
§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)
椭圆的定义 图形 标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 焦点位置的 判断
MF + MF2 = 2a(2a > 2c > 0) 1
y y
a b F co 1
M M
F2 x
F 2
M
o
F 1
x
y2 x2 x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 2 a b a b
Q P ( x0 , y0 )在圆 x 2 + y 2 = 4上
2 2
y M 0
D
P
代 入 法
x
将 x0 = x ,
y 0 = 2 y代入上述方程 x2 + y2 = 1 4
得 x 2 + 4 y 2 = 4即
设点A 的坐标分别为（ ），（5 例4 设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）. 直线AM BM相交于点 AM， 相交于点M 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 − 4 ，求 9 的轨迹方程. 点M的轨迹方程. y
【课前练习】 课前练习】
x2 y 2 过 ， ， 1.(09山东 设椭圆 山东)设椭圆 山东 设椭圆E: 2 + 2 = 1 (a,b>0)过M(2， 2 )， a b N( 6 ,1)两点，O为坐标原点， 两点， 为坐标原点 为坐标原点， 两点 （I）求椭圆E的方程； ）求椭圆 的方程； 的方程 2 2 x y 两点, ， ， 两点 因为椭圆E: 2 + 2 = 1过M(2， 2 )，N( 6 ,1)两点 解:因为椭圆 因为椭圆 a b
PD， 为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD中点 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 的坐标为(x,y)，点P的坐标为 ( x0 , y0 ) 解：设点M的坐标为 设点 的坐标为 ， 的坐标为 则
MF + MF2 = 2a(2a > 2c > 0) 1
y y
a b F co 1
M M
F2 x
F 2
M
o
F 1
x
y2 x2 x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 2 a b a b
Q P ( x0 , y0 )在圆 x 2 + y 2 = 4上
2 2
y M 0
D
P
代 入 法
x
将 x0 = x ,
y 0 = 2 y代入上述方程 x2 + y2 = 1 4
得 x 2 + 4 y 2 = 4即
设点A 的坐标分别为（ ），（5 例4 设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）. 直线AM BM相交于点 AM， 相交于点M 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 − 4 ，求 9 的轨迹方程. 点M的轨迹方程. y
【课前练习】 课前练习】
x2 y 2 过 ， ， 1.(09山东 设椭圆 山东)设椭圆 山东 设椭圆E: 2 + 2 = 1 (a,b>0)过M(2， 2 )， a b N( 6 ,1)两点，O为坐标原点， 两点， 为坐标原点 为坐标原点， 两点 （I）求椭圆E的方程； ）求椭圆 的方程； 的方程 2 2 x y 两点, ， ， 两点 因为椭圆E: 2 + 2 = 1过M(2， 2 )，N( 6 ,1)两点 解:因为椭圆 因为椭圆 a b
PD， 为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD中点 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 的坐标为(x,y)，点P的坐标为 ( x0 , y0 ) 解：设点M的坐标为 设点 的坐标为 ， 的坐标为 则
说课椭圆及其标准方程(2)公开课一等奖课件PPT
说课椭圆及其标准方程(2)公开课一等 奖课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
目 录
• 课程导入 • 椭圆的标准方程 • 椭圆的几何性质 • 椭圆的实际应用 • 课堂练习与巩固 • 课程总目的
01
02
03
激发学生学习兴趣
通过有趣的导入内容，引 起学生对本节课主题的兴 趣，使他们更加投入地参 与到课堂中。
在说课环节，部分学生的表达不够流 畅，需要加强口语表达能力的训练。
下节课的展望
针对学生在本节课中存在的问题 ，制定针对性的练习和巩固措施 ，帮助他们更好地掌握椭圆的标
准方程。
加强口语表达能力的训练，提高 学生的说课水平。
增加探究性学习的内容，满足学 生的探究需求，培养他们的创新
思维和实践能力。
THANKS
观测数据
通过观测椭圆轨道上的天体，可以获 取精确的天文数据，有助于科学家研 究宇宙的奥秘。
工程设计
桥梁设计
桥梁的曲线设计有时采用椭圆形状，以实现结构的稳定和美 观。
建筑设计
椭圆在建筑设计中也常被用作装饰元素或结构设计的灵感来 源。
05
课堂练习与巩固
基础练习
01
02
03
04
椭圆的标准方程
请写出椭圆的标准方程，并解 释其含义。
形。
04
椭圆的实际应用
地球轨道研究
椭圆轨道
地球围绕太阳的公转轨道是一个 椭圆，通过研究椭圆的性质，可 以更好地理解地球的运动规律。
卫星轨道
卫星的轨道设计也经常采用椭圆 形，利用椭圆的特性实现卫星的 精确控制和稳定运行。
天文观测
天体轨迹
椭圆形状在天文学中广泛用于描述行 星、卫星和其他天体的运动轨迹。
汇报人：可编辑
2023-12-23
目 录
• 课程导入 • 椭圆的标准方程 • 椭圆的几何性质 • 椭圆的实际应用 • 课堂练习与巩固 • 课程总目的
01
02
03
激发学生学习兴趣
通过有趣的导入内容，引 起学生对本节课主题的兴 趣，使他们更加投入地参 与到课堂中。
在说课环节，部分学生的表达不够流 畅，需要加强口语表达能力的训练。
下节课的展望
针对学生在本节课中存在的问题 ，制定针对性的练习和巩固措施 ，帮助他们更好地掌握椭圆的标
准方程。
加强口语表达能力的训练，提高 学生的说课水平。
增加探究性学习的内容，满足学 生的探究需求，培养他们的创新
思维和实践能力。
THANKS
观测数据
通过观测椭圆轨道上的天体，可以获 取精确的天文数据，有助于科学家研 究宇宙的奥秘。
工程设计
桥梁设计
桥梁的曲线设计有时采用椭圆形状，以实现结构的稳定和美 观。
建筑设计
椭圆在建筑设计中也常被用作装饰元素或结构设计的灵感来 源。
05
课堂练习与巩固
基础练习
01
02
03
04
椭圆的标准方程
请写出椭圆的标准方程，并解 释其含义。
形。
04
椭圆的实际应用
地球轨道研究
椭圆轨道
地球围绕太阳的公转轨道是一个 椭圆，通过研究椭圆的性质，可 以更好地理解地球的运动规律。
卫星轨道
卫星的轨道设计也经常采用椭圆 形，利用椭圆的特性实现卫星的 精确控制和稳定运行。
天文观测
天体轨迹
椭圆形状在天文学中广泛用于描述行 星、卫星和其他天体的运动轨迹。
说课：椭圆及其标准方程 (2) 公开课一等奖课件PPT
二、过程意识
3、练习巩固，感悟新知----知识的运用
（1）写出适合下列条件的椭圆的标准方程（课本P40）
①a=4，b=1，焦点在x轴上
②a=4，c= 15 ，焦点在y轴上
如果该椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么P到
另一个焦点F2距离是---------------
（2）已知椭圆两个焦点的坐标分别为 (2,0),(2,0) ，并
图1
二、过程意识
现在请同学们将细绳的两端拉开一段距离，分别固 定在圆板的两点F1、F2处，移动笔尖一周，看看这时笔 尖画出的轨迹是什么图形？
这时候动点P满足的几何条件又是什么？学生不难说 出动点到两定点距离之和等于定长（常数）。
这时根据学生回答的情况结合
教具的演示让学生直观感知，假如 绳子的的长度（常数）小于或等于
36 16
36 16
D. x2 y2 1
64 4
二、过程意识
（4）如图：画出所给的椭圆的焦点的位 置，并说明理由。（补充练习）
y
x o
二、过程意识
说明：这个环节结合教学目标对教材例题、习 题进行了重组和加工，以学生的练习、感悟为 主，不预设例题，那个题目需要分析、讲解由 课堂实际而定，另外练习尽可能体现题形多样 性和层次性，以满足不同层次的学生的需要。 分析解答中注意发现学生思维的闪光点，注意 不同思维、方法的碰撞。 设计意图：不同于以往，这个环节通过放手让 学生自己练习、感悟，让学生在“游泳中学会 游泳”，以增强对学生能力培养的针对性和实 效性。
三、探究意识
y p
o
课外探究(2)
设计意图：通过创造性的使用 教材,一方面使针对教材内容所 开展的探究性活动成为一种真 x 实的可能；另一方面通过这样 的设计可逐渐培养学生自主学 习、自我探索的良好习惯，并 最终从根本上转变学生的学习 方式，同时为对学生数学学习 的过程性评价找到一种比较好 的形式和一个很好的落脚点。
椭圆及其标准方程(二)
椭圆及其标准方程（二）
知识回顾
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
x
焦点坐标 相 同 点 定 义
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
题型一 求椭圆的标准方程
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)，(4,0)，椭圆上一点 2 2 x y P到两焦点距离的和等于10； 1 25 9 变式一:将上题焦点改为(0，-4)，(0，4)， 结果如何？ y2 x2 1 25 9 变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两 焦点的距离和等于10，结果如何？ 当焦点在x轴上时，方程为： 当焦点在y轴上时，方程为：
x2 y2 1 25 9
y2 x2 1 25 9
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (2)两个焦点的坐标是 (2,0) 和 (2,0) ，并且经过
5 3 ( 点P , 首先要判断焦点位置，设出标准方程（先定位） （2）其次根据椭圆定义或待定系数法求a,b（后定量） 例1(3) 求经过两个点(0,2)和(1,0)的椭圆的标准方程
2+c2得 且2a=12,2c=8,及a2=b2 2
知识回顾
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
x
焦点坐标 相 同 点 定 义
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
题型一 求椭圆的标准方程
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)，(4,0)，椭圆上一点 2 2 x y P到两焦点距离的和等于10； 1 25 9 变式一:将上题焦点改为(0，-4)，(0，4)， 结果如何？ y2 x2 1 25 9 变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两 焦点的距离和等于10，结果如何？ 当焦点在x轴上时，方程为： 当焦点在y轴上时，方程为：
x2 y2 1 25 9
y2 x2 1 25 9
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (2)两个焦点的坐标是 (2,0) 和 (2,0) ，并且经过
5 3 ( 点P , 首先要判断焦点位置，设出标准方程（先定位） （2）其次根据椭圆定义或待定系数法求a,b（后定量） 例1(3) 求经过两个点(0,2)和(1,0)的椭圆的标准方程
2+c2得 且2a=12,2c=8,及a2=b2 2
高二数学椭圆及其标准方程2
把平面内与两个定点F1、F2的距离之和 （2a）等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫 做椭圆。
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦 点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）
思 考
当2a=2c或2a<2c时情况将有什么变化?
M直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系,则F1(-c,0)，F2(c,0). 设M(x,y)是椭圆上任意一点，由椭圆定 义得：
练习：
(1)、如果方程
x2
2
y2
1
1 表示
的曲线为椭圆，则λ的取值范围是 _________；
若表示焦点在x轴上的椭圆，则 ____________。
1 (2)AB是过椭圆 x2
y2
9 25
的左
焦点F1的弦, 则△ABF2的周长是多少?
1 (3)椭圆
x2 25
y2 16
的焦点是
F1, F2，P在椭圆上,若PF1的中点在Y轴 上,则|PF1|:|PF2|=______?
1、b2+c2=a2 2、焦点坐标：F1(0，-c)，F2(0，c)
例1 写出适合下列条件的椭圆标准方程：
(1)两个焦点的坐标为(-4,0)、(4,0)，椭圆 上一点P到两焦点的距离和为10；
(2)两焦点坐标为(0，-2)，(0,2)，并且椭 圆过点( 3 , 5 )
22
(3) 2b=6，两个焦点间的距离为8。
求轨迹（曲线）方程的一般步骤 （1）建立适当的坐标系，并设轨迹上任一点M （x，y）
（2）写出适合条件P的点的集合P{M|p(M)}
（3）用坐标表示条件p(x),列出方程f(x,y)=0 （4）化简f(x,y)=0为最简形式
2.2.1椭圆及其标准方程(2)
y2 b2
1
b2
a2
c2
焦点坐标：F1 -c,0,F2 c,0 F1 0,-c,F2 0,c
a a、b、c的关系： 2 b2 c2
[1] 椭圆的标准方程有几个？
答：两个。焦点分别在 x 轴、y 轴。 [2]给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上
答：在分母大的那个轴上。
[3] Ax 2 By 2 C 什么时候表示椭圆？
2.取过两个定点的直线做 x 轴，它的线段 垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，从 而保证方程是标准方程。
3.根据已知求出a、c，再推出a、b
写出椭圆的标准方程。
例1 平面内两个定点的距离是8，写出到这两 个定点的距离的和是10的点的轨迹方程
解：因为动点到两定点的距离的和为10且大于两定点 的距离，由椭圆定义知，动点的轨迹为椭圆。
和是常数12，且12 6 O1O2 ,
所以点P的轨迹是焦点为-3,0、3,0的椭圆，
且方程为标准方程：x2 + y2 = 1 a2 b2
2c 6,2a 12, c 3, a 6
b2 a2 c2 36 9 27,
∴动圆圆心的轨迹方程为：x2 + y2 = 1 36 27
x2
y2
1.
25 16
例2、已知F1、F2是椭圆
x2 4
+
y2 3
=1的两个焦点，P是椭圆上一点，
且F1PF2 =60，求PF1F2的面积。
解：由已知a=2,c=1, 设 PF1 = d1,PF2 = d2,
由椭圆的定义得d1 + d2 = 2a = 4,
在F1PF2中，由余弦定理得cos60°= d12
椭圆及其标准方程
椭圆的第二定义
25 x|， 解：设 M 到直线 l 的距离为 d ，则 d | 4 | MF | 4 T3 | MF | ( x 4) 2 y 2 对比P50 且 d 5 2 2 2 2 x y ( x 4) y 4 化简得 1 得 25 9 25 5 | x| 4
x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程得： 1 25 16
又∵ A、B、 C 三点不共线，∴ y 0 .
x y 1( y 0) ∴所求的点的轨迹方程为 25 16
2 214ຫໍສະໝຸດ 作业P49 习题 A组 T6 T7
B组 T1 T2 T3
15
7
4．求焦点在坐标轴上，且经过点 A( 3, 2) 和 B(2 3,1) 的椭圆的标准方程。
解法二：设椭圆的方程为 mx2 ny 2 1,(m 0, n 0) 由点 A( 3, 2) 和 B(2 3,1) 代入得 1 m 3m 4n 1 15 ，解得 ， 12m n 1 n 1 5 x2 y 2 1 故所求的椭圆方程 15 5
13
练习：3.已知 B 、C 是两个定点， BC 6 ，且 △ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图 ,以直线 BC为 x 轴 ,线段 BC 的中点为原点 ,建立 平面直角坐标系 ,则 B(3,0), C (3,0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y)
∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 .
8
2 2 x + y = 4 上的点的横坐标保持不变， 例1 将圆
纵坐标变为原来的一半，求所得的曲线的方程， 并说明它是什么曲线.
解:设所得曲线上任一点坐标为M(x,y),圆上的 对应点的坐标P(x1,y1), y
25 x|， 解：设 M 到直线 l 的距离为 d ，则 d | 4 | MF | 4 T3 | MF | ( x 4) 2 y 2 对比P50 且 d 5 2 2 2 2 x y ( x 4) y 4 化简得 1 得 25 9 25 5 | x| 4
x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程得： 1 25 16
又∵ A、B、 C 三点不共线，∴ y 0 .
x y 1( y 0) ∴所求的点的轨迹方程为 25 16
2 214ຫໍສະໝຸດ 作业P49 习题 A组 T6 T7
B组 T1 T2 T3
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7
4．求焦点在坐标轴上，且经过点 A( 3, 2) 和 B(2 3,1) 的椭圆的标准方程。
解法二：设椭圆的方程为 mx2 ny 2 1,(m 0, n 0) 由点 A( 3, 2) 和 B(2 3,1) 代入得 1 m 3m 4n 1 15 ，解得 ， 12m n 1 n 1 5 x2 y 2 1 故所求的椭圆方程 15 5
13
练习：3.已知 B 、C 是两个定点， BC 6 ，且 △ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图 ,以直线 BC为 x 轴 ,线段 BC 的中点为原点 ,建立 平面直角坐标系 ,则 B(3,0), C (3,0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y)
∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 .
8
2 2 x + y = 4 上的点的横坐标保持不变， 例1 将圆
纵坐标变为原来的一半，求所得的曲线的方程， 并说明它是什么曲线.
解:设所得曲线上任一点坐标为M(x,y),圆上的 对应点的坐标P(x1,y1), y
9.椭圆及其标准方程(2)
新课标人教A版《高中数学· 选修1-1》
第二章 圆锥曲线与方程
§2.1.1 椭圆及其标准方程(2)
1/10
复习回顾 1.椭圆的定义： 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于 常数 (大于|F1F2| ) 的点的轨迹叫做椭圆.
y
M ( x, y )
F2
定义的要点： |MF1|+|MF2|=常数>|F1F2|
2.
x2 y 2 如果椭圆 1上一点P到焦点F1的距离 100 36
等于6,那么点P到另一个焦点F2的距离是 14 .
3.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) a=4, b=3, 焦点在x轴上； (2) b=1, c 15 , 焦点在y轴上; (3) a=5, c=3, 焦点在坐标轴上.
1.待定系数法是求椭圆方程的常用方法； 2.当焦点位置不确定时, 要分情况讨论.
3
6/10
例3 已知B、C是两个定点, BC=6, 且△ABC
的周长等于16, 求顶点A的轨迹方程. y
A B O
C x
7/10
课堂练习
x2 y2 1 表示焦点在y轴上的 1.已知方程 m 1 3 m
椭圆，则实数m的取值范围是 1<m<2 .
3/10
x y 2 1 a b 0 2 a b
2
2
a,b,c间关系
a b c
3.形如 Ax2+By2=C 的方程中，只要满足： A, B, C同号且A≠B 就可化为椭圆标准方程．
总结： 当椭圆的焦点位置不确定时, 可设其方程 为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 然后用待定系 数法求m, n即可．
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第二章 圆锥曲线与方程
§2.1.1 椭圆及其标准方程(2)
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复习回顾 1.椭圆的定义： 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于 常数 (大于|F1F2| ) 的点的轨迹叫做椭圆.
y
M ( x, y )
F2
定义的要点： |MF1|+|MF2|=常数>|F1F2|
2.
x2 y 2 如果椭圆 1上一点P到焦点F1的距离 100 36
等于6,那么点P到另一个焦点F2的距离是 14 .
3.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) a=4, b=3, 焦点在x轴上； (2) b=1, c 15 , 焦点在y轴上; (3) a=5, c=3, 焦点在坐标轴上.
1.待定系数法是求椭圆方程的常用方法； 2.当焦点位置不确定时, 要分情况讨论.
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例3 已知B、C是两个定点, BC=6, 且△ABC
的周长等于16, 求顶点A的轨迹方程. y
A B O
C x
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课堂练习
x2 y2 1 表示焦点在y轴上的 1.已知方程 m 1 3 m
椭圆，则实数m的取值范围是 1<m<2 .
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x y 2 1 a b 0 2 a b
2
2
a,b,c间关系
a b c
3.形如 Ax2+By2=C 的方程中，只要满足： A, B, C同号且A≠B 就可化为椭圆标准方程．
总结： 当椭圆的焦点位置不确定时, 可设其方程 为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 然后用待定系 数法求m, n即可．
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椭圆的定义与标准方程(二)课件
当2a<2c时:
无轨迹
Y
♦椭圆的标准方程的特点：
Y M M O F2 (c,0) X
F2(0 , c)
F1 (-c,0)
O
X
F1(0,-c)
x2 y2 y2 x2 2 1(a b 0) 2 1(a b 0) 2 2 a b a b 共同点：（1）椭圆的标准方程表示的图像一定是 焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方 和，右边是1. （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
(5) 3x 2 2 y 2 1
(6) (x-2)2+y2 + (x+2)2+y2 = 16
x2 y2 (3) 2 2 1 m m 1
x2 y2 (7 ) 1 24 k 16 k
当a为定值时，椭圆的形 状与c的变化关系是 c越大，椭圆越扁 c越小，椭圆越圆
求满足下列条件的椭圆的标准方程
不同点：焦点在x轴上的椭圆x 2 项分母较大. 焦点在y轴上的椭圆 y2 项分母较大.
下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a2,b2 ，写出焦点坐标.
x y (1) 1 16 16
x2 y2 ( 2) 1 25 16
2
2
(4)9 x 2 25 y 2 225 0
焦点三角形问题
x2 2 已知椭圆 +y =1的两焦点是F1、F2，P为椭圆上的任意一点 4 （1）求 PF1 PF2 的最大值 （2）若F1PF2=60° ,求 PF1F2的面积
轨迹问题
动圆C与定圆
C1 : x 2 ( y 4) 2 64
内切和定圆
高二 10 椭圆的定义及标准方程(2)
“杂点” 可不要 忘了哟
椭圆及其标准方程应用
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定义的应用1
已知圆B : (x 1)2 y2 16及点A(1, 0), C为圆B上任一点，求线段AC的垂直 平分线与线段BC的交点P的轨迹方程.
【思路分析】分析条件发现 PA PB 4 2
定义的应用---三角形问题
已知椭圆 x2 9
y2 4
1的两个焦点F1、F2 ,
点P是椭圆上一点，当F1PF2 600 ,
则三角形F1PF2的面积是
y P
. 答案：4 3 3
【思路分析】
根据题意画出图形，观察图形，并将已知 信息在图中标出，转化为解三角形问题， 利用三角形中相关的知识进行求解.
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
椭圆及其标准方程应用
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1、已知F1、F2是定点，F1F2 =8，动点M 满足 MF1 MF2 8,则点M的轨迹是（ ） A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
2、如下图，F1、F2分别为椭圆
x a
2 2
y2 b2
设顶点A的坐标(x, y)
Q AB AC BC 16, BC 6
AB AC 10 6
由椭圆的定义可知
动点A的轨迹是以B, C为焦点的椭圆. 则 方 程 为 x2 y2 1
25 16 又Q A, B,C三点不共线， y 0.
所求点A的轨迹方程为 x2 y2 1( y 0) 25 16
方 法
1、应对焦点的位置进行讨论：
一定焦点位置；二设椭圆方程；三求a、b、c
的值.
人教版高中数学选修2-1第二章椭圆及其标准方程(二)(共19张PPT)教育课件
例 2 如图，在圆 x2＋y2＝4 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足.当点 P 在
圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什 么？为什么？
解 设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)，
则 x＝x0，y＝y20.因为点 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝4 上，
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什 么？为什么？
解 设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)，
则 x＝x0，y＝y20.因为点 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝4 上，
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
高中数学 8.1椭圆及其标准方程(第二课时)大纲人教版必修
椭圆及其标准方程〔二〕●教学目标〔一〕教学知识点1.求椭圆的标准方程.2.求符合某种条件的点的轨迹方程.〔二〕能力训练要求1.使学生掌握确定椭圆标准方程中的参数a 、b 的方法.2.使学生在坐标法的基础上掌握点的轨迹条件满足某曲线的定义时，用待定系数法求其方程.〔三〕德育渗透目标使学生通过求曲线的方程，学会分析问题，从具体问题中寻求关系建立数学模型，为解决问题的能力提高奠定基础.●教学重点求椭圆的方程.●教学难点待定系数法的应用.●教学方法指导学生自学法这部分内容，在学生准确掌握了定义，标准方程，思考过上节课后预习提纲中的问题的基础上，教师再帮助学生排除障碍后学生完全可以自学掌握，通过这种自学过程，逐步提高学生的自学能力.●教具准备投影片三X第一X ：P 93例1〔记作§8.1.2 A 〕第二X ：P 94例2〔记作§8.1.2 B 〕第三X ：本课时教案后面的预习内容及预习提纲.〔记作§8.1.2 C 〕●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课我们学习了椭圆的定义，请同学们回忆一下，椭圆是怎样定义的? ［生］平面内与两个定点 F 1、F 2的距离和等于常数〔大于|F 1F 2|〕的点的轨迹叫做椭圆. ［师］这两个定点叫做椭圆的〔教师拉长语气，等待学生作答〕［生］焦点［师］两个焦点的距离叫做椭圆的——［生］焦距［师］椭圆的标准方程是怎样的？它的图形有什么特点？ ［生］)0(1),0(122222222>>=+>>=+b a bx a y b a b y a x 〔教师板书，学生作答〕［生］方程所表示的椭圆，其对称轴合于坐标轴.［师］参数a 、b 、c 的关系是怎样的？［生］c 2=a 2-b 2［师］关系式中的三个数都是正数，知道两个可求出第三个，要注意关系式的活用.［师］现在我们来求椭圆的标准方程，还需要用坐标法吗？［生］不需要.［师］那怎样求呢？［生］设标准方程，确定a、b的值.［师］怎样确定呢？［生］根据题设条件及c2=a2-b2确定［师］好，下面我们来看几个例子.Ⅱ.讲授新课［师］〔打出投影片8.1.2 A，读题〕分析指导：请看题中给了我们什么信息？这些信息有什么作用？又怎样应用这些信息呢？一般地，数学题中不会有干扰信息〔或无用信息〕如果题目做完了，还有余下的信息〔或条件〕没有被用，那么，这题做得一般是错误的.对于①小题，实质上是给了我们焦距及动点到两个定点的距离和.对于②小题，为了解决问题，同样我们需要知道a、b、c中三者中的两个，题中告诉了我们2c〔焦距〕，未明确告给我们2a,但告诉我们椭圆上一个点的坐标，因为椭圆是动点与两个定点的距离和为常数的点的轨迹，就是说椭圆上任意一个点与给定的两个点的距离和是定值，因为这个点既然在椭圆上，那么它与两个定点的距离和就是2a，这样问题得以解决.［师］下面请同学们看课本，进一步熟悉此题的求解过程，并思考求椭圆的标准方程的关键是什么？怎样表述？〔给学生留出一些时间看书并讨论这两个问题〕［师］好，同学们看了解题过程并进行了讨论，那么谁来谈一下，求椭圆标准方程的方法和步骤.［生］首先，根据题意设出标准方程，其次根据条件确定a、b的值，第三写出椭圆的标准方程.［师］既然是求标准方程，那么设出标准方程不就行了吗？为什么还要根据题意设出标准方程呢？［生］椭圆的标准方程有两种形式，焦点位置不同，其标准方程形式也不一样，根据题意设出标准方程，其实质就是根据焦点的位置，设出标准方程.［师］如果题中未告诉焦点的位置，应该如何去设标准方程呢？［生］如果题中未告诉焦点的位置，那么要根据题意判断能否确定椭圆的焦点位置，假设能，那么设出相应的标准方程即可，假设不能，那么椭圆的焦点既可能在x轴上，也可能在y轴上，这种情况下，椭圆的标准方程就有两种形式，哪一种也不能丢.［师］很好，下面我们再来看一个例子.〔打出投影片8.1.2 B，请一名同学读题〕分析指导：这是一道求动点的轨迹方程的题目，一般地，要用坐标法“三步曲〞：建系、设点；写出代数关系式；化简，但据题意给出的信息，由于△ABC的周长等于16，|BC|=6，可知点A到B、C两点的距离和是常数10，即|AB+BC|=16-6=10，因此点A的轨迹是以B、C 为焦点的椭圆，据此可建立适当的坐标系，求出椭圆的标准方程，所谓“适当〞是指：求出的方程形式结构简单明了，既然我们清楚了轨迹类型，建系之后，就没有必要再用坐标法求动点轨迹方程了，尽可设出方程再依据题设条件确定方程中待定的系数a、b就行了，下面请同学们自己看课本.(给学生几分钟时间，让他们看课本)［师］题解过程中，BC、AB、AC的长度都加了绝对值号，这是不是必要的，为什么？［生］完全有必要，因为解析几何中的线段都是有向线段，表示其长度必须加绝对值号.注意①：解析几何中表示线段长度或两点间距离时，必须在字母的两边加绝对值号. 〔教师板书：注意①〕［师］在求出的方程后面附加了一个条件y ≠0，不附加此条件不行吗？［生］不行，没有此条件，点A 的纵坐标就可以是0，点A 的纵坐标为0时，A 、B 、C 三点就在一条直线上了，不能构成三角形.因此，求出方程之后，要注意须附加y ≠0这个条件.［师］很好，请同学们注意求出曲线的方程之后，要检查一下方程曲线上的点是否都符合题意，如果有不合题意的点，就在所得方程后注明限制条件.〔教师板书，注意②〕［师］再一点，由此题可以看出求满足条件的点的轨迹方程时，假设清楚轨迹类型时可设出其方程，确定方程中参数即可；假设不清楚轨迹类型，再用坐标法.〔教师板书：注意③〕［师］下面，我们来做几个练习题.Ⅲ.课堂练习P 96练习2，32.如果椭圆上13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是.答案：143.写出适合以下条件的椭圆的标准方程：(1)a =4,b =1，焦点在x 轴上.(2)a =4,c =5，焦点在y 轴上.(3)a +b =10,c =25答案：〔1〕11622=+y x (2)11622=+x y (3)11636116362222=+=+x y y x 或 Ⅳ.课时小结本节课我们讨论学习了求椭圆标准方程的方法，应该注意，求出曲线的方程之后，要验证方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件.另外，求满足条件的点的轨迹方程时，假设不清楚轨迹类型用坐标法，假设清楚轨迹类型那么建立适当的坐标系设出其方程再确定方程中的参数即可.Ⅴ.课后作业〔一〕课本P 96习题8 1、2、3、4、5〔二〕1.预习内容：课本P 95例32.预习提纲：〔1〕点的轨迹方程与点的轨迹有什么不同？〔2〕求满足条件的点的轨迹时需要先干什么？〔3〕点M的轨迹类型清楚吗？此题是如何求点M的轨迹方程的？。
椭圆及其标准方程(2)
例与练
x y + = 1表示在 轴上的 1. 方程 表示在y轴上的 25 − m 16 + m
椭圆，求m的取值范围 椭圆， 的取值范围
2 2
2.方程 2-2)x2+3k2y2+(k2-2k-1)=0表示椭圆， 方程(k 表示椭圆， 方程 表示椭圆 的取值范围是________ 则k的取值范围是 的取值范围是
+ห้องสมุดไป่ตู้
2 y 2 b
= 1( a > b > 0 )
过点 A( − a ,0 ), B ( a , b )的直线与椭圆 C， 相交于点 C ，求 | AC |:| BC |
C A B
答案： 答案：4:1
x y + = 1上的一点， 上的一点， 3.P是椭圆 100 64 是焦点， F1和F2 是焦点，若 ∠F1PF2 = 60° 则ΔF1PF2的面积是
椭圆及其标准方程 (二)
中点弦问题
4. 已知椭圆 2+2y2=4, 求： 已知椭圆x (1)斜率为 的平行弦的中点 的轨迹方程 斜率为2的平行弦的中点 斜率为 的平行弦的中点M的轨迹方程 (2)过P(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的 引椭圆的割线， 过 引椭圆的割线 中点M的轨迹方程 中点 的轨迹方程 (3)过P(1,1)且被点 平分的弦所在的直线方程 过 且被点P平分的弦所在的直线方程 且被点
F1
2
2
P
F2
64 3
3
2 < k <1 + 2
5.一动圆与圆 1:(x+1)2+y2=36内切 与圆 一动圆与圆C 内切,与圆 一动圆与圆 内切 C2:(x-1)2+y2=4外切，求动圆圆心 的轨迹方 外切， 外切 求动圆圆心M的轨迹方 程
数学：2.1.1《椭圆及其标准方程》(二)
∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 .
x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 1 25 16 又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
x2 y2 1( y 0) ∴所求的点的轨迹方程为 25 16
课堂练习:
x2 y2 1.如图，F1，F2 分别为椭圆 2 2 1 a b 的左、 右焦点， P 在椭圆上， 点 △POF2 是面积为 3 的正三角形， 则 b 2 的值是____________.
x2 y 2 1.已知椭圆方程为 + = 1，则这个椭圆的焦距为（ ） 23 32 (A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 5 2.F1、F2是定点，且 F1 F2 = 6，动点M 满足 MF1 + MF2 = 6， 则点M 的轨迹是（ ） (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 x2 y2 3.已知椭圆 + = 1上一点P到椭圆一个焦点的距离 25 16 为3，则P到另一焦点的距离为（ ） (A)2 (B)3 (C)5 (D)7
例 4:如图,设点 A、 的坐标分别为 ( 5, 0), (5, 0) , B 直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程. 9 分析:把题目条件直接用 x 、y 表示出来, x 、y 之间的 关系式就显示出来了.
这种求轨迹的方法──直译法
思维挑战题: 已知圆 B: ( x 1)2 y 2 16 及点 A(1,0) ,C 为 圆 B 上任一点,求 AC 的垂直平分线与线段 BC 的交 2 2 点 P 的轨迹方程. x y
2答案
例 1⑵求经过点 ( 2, 3) 且与椭圆 9 x 2 4 y 2 36 有共 同的焦点的椭圆的标准方程.
2.1.1 椭圆及其标准方程(二)
A
BO C
x
讲授新课
1 已知B、C是两个定点，|BC|＝6，且
△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹
方程.
y
A
BO C
x
讲授新课
1 已知B、C是两个定点，|BC|＝6，且
△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹
方程.
y
A
BO C
x
讲授新课
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)， 且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和 (1,0)； (3)中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b；
(5)3 x 4 y 2
2 2
讲授新课
对椭圆及其标准方程的理解：
讲授新课
对椭圆及其标准方程的理解： ⑴椭圆标准方程中，哪个分母大，焦点 就在相应的哪条坐标轴上；
讲授新课
对椭圆及其标准方程的理解： ⑴椭圆标准方程中，哪个分母大，焦点 就在相应的哪条坐标轴上； ⑵a、b、c始终满足c2＝a2－b2，焦点在x 轴上为(－c,0)、(c,0)，在y轴上为(0,－c)、 (0, c)；
讲授新课
对椭圆及其标准方程的理解： ⑴椭圆标准方程中，哪个分母大，焦点 就在相应的哪条坐标轴上； ⑵a、b、c始终满足c2＝a2－b2，焦点在x 轴上为(－c,0)、(c,0)，在y轴上为(0,－c)、 (0, c)； ⑶形如Ax2＋By2＝C的方程中，只要A、 B、C同号(A≠B)，就可化为椭圆标准 方程．
2.椭圆的标准方程： y
y
F2
F1O F2
2 2
x
O
x
F1
x y 2 1 (a＞b＞0) 2 a b
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2.1 椭圆及其标准方程（二）
以椭圆为载体的动点轨迹方程的探求
椭圆的标准方程
定 义 y 图 形 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y
M F1
F 2 M
o
F2
x
o
F1
x
x
2 2
方 程 焦 点 a,b,c之间
的关系
y b
2 2
1 a b 0
y a
2 2
x b
2 2
推广：△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，a) 和C(0，-a)，另两边AB、AC的斜率的乘积 是 ，求顶点A的轨迹方程.
a
2
.
b
2
y a
2 2
x b
2 2
1( y a )
练习．已知F是椭圆 25 x 16 y 400在x轴上方 的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成 的比为2，求动点P的轨迹方程 .
x
2
y
2
1
9
4
△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和 C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是 ， 4 求顶点A的轨迹方程. 9
解：顶点A的轨迹方程为
.
x
2
y
2
1( y 6 )
81
36
说明：方程
x
2
y
2
1
81
36
对应的椭圆与y轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与(0，6)应舍去
解：
x
2
y
2
1 所以点M的轨迹是一个椭圆.（如图）
4
变式：当M分 PPˊ之比为 -1/2 时，点M的轨迹是什么？ 点M的轨迹还是一个椭圆
x
2
y
2
1
4
16
由本题结论可以看到，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长）， 可以得到椭圆.
王新敞
奎屯 新疆
求曲线方程的方法：
代点转换为已知动 点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y 之间的坐标。
若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于_________， 2 5 3
2 5 2 则∆F1PF2的周长为___________
|PF1|+|PF2|=2a
如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径 为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段 PPˊ，求线段PPˊ中点M的轨迹.
2
x 3
2
4 10
左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________ ２0
C
|CF1|+|CF2|=2a
F1 D F2
(2)已知椭圆的方程为：
4
x
2
y
2
1
,则
F2 P
5
a=_____，b=_______，c=_______， 2 1 5
(0,-1)、(0,1) 焦点坐标为：__________，焦距
F1
等于_________; 2
1 a b 0
a
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
三.例题精析
1、填空：
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则： 焦点在分母大的那个轴上。
(1)已知椭圆的方程为：
x
2
y
2
1
25
16
，则
5 4 a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标 3 6 (3,0)、(-3,0) 为：____________焦距等于______;若CD为过
椭圆的焦点， F P F
1 2
x a
2 2
y b
2 2
1
的一个点，F1 、F2为
S F PF
1 2
求
2
S F P F b ta n
1 2
2
练习：
1、方程
x 3
2
y
2
x 3
2
y
2
10
表示________。 2 2 2 2 2、方程 x 3 y x 3 y 6 表示________。 2 2 2 2 3、方程 x y 3 x y 3 10 表示________。 4、方程 x 3 4 的解是________。
练习 ：已知x轴上的一定点A（1,0）， x Q为椭圆 y 1 上的动点，求AQ中点 4 M的轨迹方程 y
2 2
Q
M O A 2 x
解：点M的轨迹方程是
(x
1 2
)
2
4y
2
1
-2
已知线段AB的两端点A，B分别
在 x 轴、y 轴上滑动， A B 5，M是 AB上一点，A M 2 ，点M随线段AB运动而 变化，求点M的轨迹方程。
点 E的 轨 迹 是 椭 圆 ,此 时 2a 6, 2c 4. 点 E的 轨 迹 方 程 x
2
y
2
1
9
5
5：p为椭圆上 圆的焦点， F P F
1
x
2
y
2
25
2
60
求
9
1 的一个点，F1 、F2为椭
S F PF
1 2
解 : S F PF 3 3
1 2
推广：p为椭圆上
设 M ( x , y ), A ( x 0 , 0), B (0, y 0 ) A M : M B 2 : 3
x0 x 2 5 1 x0 x 3 3 2 2 由 得 (1) 把 (1)代 入 x 0 y 0 25 得 2 0 y0 y 5 y 3 0 y 2 2 1 3
2 2
解： 225 x 2 144 y 2 576 y 176 0
4:点 A在 圆 B:(x-2) +y =36上 运 动 ,点 C(-2,0),D为 线 段 AC的 中 点 ,过 点 D作 线 段 AC的 垂 线 交 线 段 AB于 点 E,求 点 E的 轨 迹 .
2
2
解 (定 义 法 ): E D E B A E E B 5 D B 4
以椭圆为载体的动点轨迹方程的探求
椭圆的标准方程
定 义 y 图 形 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y
M F1
F 2 M
o
F2
x
o
F1
x
x
2 2
方 程 焦 点 a,b,c之间
的关系
y b
2 2
1 a b 0
y a
2 2
x b
2 2
推广：△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，a) 和C(0，-a)，另两边AB、AC的斜率的乘积 是 ，求顶点A的轨迹方程.
a
2
.
b
2
y a
2 2
x b
2 2
1( y a )
练习．已知F是椭圆 25 x 16 y 400在x轴上方 的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成 的比为2，求动点P的轨迹方程 .
x
2
y
2
1
9
4
△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和 C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是 ， 4 求顶点A的轨迹方程. 9
解：顶点A的轨迹方程为
.
x
2
y
2
1( y 6 )
81
36
说明：方程
x
2
y
2
1
81
36
对应的椭圆与y轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与(0，6)应舍去
解：
x
2
y
2
1 所以点M的轨迹是一个椭圆.（如图）
4
变式：当M分 PPˊ之比为 -1/2 时，点M的轨迹是什么？ 点M的轨迹还是一个椭圆
x
2
y
2
1
4
16
由本题结论可以看到，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长）， 可以得到椭圆.
王新敞
奎屯 新疆
求曲线方程的方法：
代点转换为已知动 点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y 之间的坐标。
若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于_________， 2 5 3
2 5 2 则∆F1PF2的周长为___________
|PF1|+|PF2|=2a
如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径 为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段 PPˊ，求线段PPˊ中点M的轨迹.
2
x 3
2
4 10
左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________ ２0
C
|CF1|+|CF2|=2a
F1 D F2
(2)已知椭圆的方程为：
4
x
2
y
2
1
,则
F2 P
5
a=_____，b=_______，c=_______， 2 1 5
(0,-1)、(0,1) 焦点坐标为：__________，焦距
F1
等于_________; 2
1 a b 0
a
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
三.例题精析
1、填空：
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则： 焦点在分母大的那个轴上。
(1)已知椭圆的方程为：
x
2
y
2
1
25
16
，则
5 4 a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标 3 6 (3,0)、(-3,0) 为：____________焦距等于______;若CD为过
椭圆的焦点， F P F
1 2
x a
2 2
y b
2 2
1
的一个点，F1 、F2为
S F PF
1 2
求
2
S F P F b ta n
1 2
2
练习：
1、方程
x 3
2
y
2
x 3
2
y
2
10
表示________。 2 2 2 2 2、方程 x 3 y x 3 y 6 表示________。 2 2 2 2 3、方程 x y 3 x y 3 10 表示________。 4、方程 x 3 4 的解是________。
练习 ：已知x轴上的一定点A（1,0）， x Q为椭圆 y 1 上的动点，求AQ中点 4 M的轨迹方程 y
2 2
Q
M O A 2 x
解：点M的轨迹方程是
(x
1 2
)
2
4y
2
1
-2
已知线段AB的两端点A，B分别
在 x 轴、y 轴上滑动， A B 5，M是 AB上一点，A M 2 ，点M随线段AB运动而 变化，求点M的轨迹方程。
点 E的 轨 迹 是 椭 圆 ,此 时 2a 6, 2c 4. 点 E的 轨 迹 方 程 x
2
y
2
1
9
5
5：p为椭圆上 圆的焦点， F P F
1
x
2
y
2
25
2
60
求
9
1 的一个点，F1 、F2为椭
S F PF
1 2
解 : S F PF 3 3
1 2
推广：p为椭圆上
设 M ( x , y ), A ( x 0 , 0), B (0, y 0 ) A M : M B 2 : 3
x0 x 2 5 1 x0 x 3 3 2 2 由 得 (1) 把 (1)代 入 x 0 y 0 25 得 2 0 y0 y 5 y 3 0 y 2 2 1 3
2 2
解： 225 x 2 144 y 2 576 y 176 0
4:点 A在 圆 B:(x-2) +y =36上 运 动 ,点 C(-2,0),D为 线 段 AC的 中 点 ,过 点 D作 线 段 AC的 垂 线 交 线 段 AB于 点 E,求 点 E的 轨 迹 .
2
2
解 (定 义 法 ): E D E B A E E B 5 D B 4