导数的运算法则

(4)

v(
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x
)

v2(x)
可推广到有 限个
注意:初等函数的导数仍为初等函数.
公式中都是对自变量x求导,若换变量同样成立 .
例1 设y x3 sin x 2cos x sin , 求y
4
解：y

( x 3sinx

2cosx


sin
)'
4
( x3sinx)' (2cosx)' (sin )'
∴y′＝18x2－8x＋9.
1.求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (2)y＝xx－ ＋11； (3)(2y)＝方法x·一ta：nx.
y′＝xx－＋11′＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′
x＋1－x－1 2 ＝ x＋12 ＝x＋12
100 x
(100 x)2

0 (100 x) 5284 (1) (100 x)2

5284 (100 x)2
c '(x) 5284 (100 x)2
5284 (1)Q c '(90) (100 90)2 52.84
纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率
cosu cosx .
(1)y＝2 xsin x＋1xcos x；
(2)y＝2＋xlo4gax；
(3)y＝1－1
x＋1＋1
； x
(4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
(1)y＝2 xsin x＋1xcos x；
(2[)解y＝题2过＋程xlo4g] ax(；1)y′＝(2
xsin
x)′＋1xcos

x′

((34＝))yy＝ ＝x－1(12xs－＋i1n 1xx)＋(＋x2＋1＋x21c)o(xsx＋x；＋3)．－x21cos
x＋(－sin
1 x)x
1
1
＝(x－2－x－1)sin x＋(2x2－x－2)cos x.
(1)y＝2 xsin x＋1xcos x； (2)y＝2＋xlo4gax； (((234)))yyy′＝ ＝＝1(x4－x＋1321x＋)2(＋＋xlo＋lg1oa＋gx2a1x)－(x2xx＋l；xn43a)．
1.求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (2)y(1＝)解xx析－ ＋：11；(1)方法一： (3)yy′＝＝x·(t2axn2＋x. 3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.
方法二：
∵y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
也 在 点x处 可 导, 且 有
dy dy du 或 f [( x)] f (u)( x).
dx du dx
特点： 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) 也可记为 yx yu ux
说明: 求 复 合 函 数y f [ ( x)]对x的 导 数 时, 可 先 求 出y f (u)对u的 导 数 和u ( x)对x的
8x3＋4x3logax－lnx3a ＝ 2＋logax2
1 ＝8－2ln＋al＋og4axlo2gaxx3.
(1)y＝2 xsin x＋1xcos x；
(2)y＝2＋xlo4gax；
(3)y＝1－1
x＋1＋1
； x
(4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
(3)∵y＝ 1 ＋ 1 ＝ 2 ， 1－ x 1＋ x 1－x
2)y
sin u
,u
x
1
x
3) y ln 3 e x 2
y 4) 3log2(x 2 2x 3)
3)y ln u ,u 3 v ,v e x 2
4)y 3u ,u log2 v ,v x 2 2x 3
二、复合函数求导举例
例 1 设 y = (2x + 1)5，求 y .
小蜗牛
小蜗牛问妈妈：“为什么我们生下来，就要背 负这个又硬又重的壳呢？”妈妈说：“因为我们身体 没有骨骼的支撑，只能爬，又爬不快．所以需要这个 壳的保护！”小蜗牛说：“毛虫妹妹没有骨头，也爬 不快，为什么她却不背这个又硬又重的壳呢？”妈妈 说：“因为毛虫妹妹能变成蝴蝶，天空会保护她啊！” 小蜗牛又问：“可蚯蚓弟弟也没骨头爬不快，也不会 变成蝴蝶，她为什么却不背这个又硬又重的壳呢？” 妈妈说：“因为蚯蚓弟弟会钻土，大地会保护他啊！” 小蜗牛哭了：“我们好可怜，天空不保护，大地也不 保护．”蜗牛妈妈安慰她说：“所以我们有壳呀！我 们不靠天，也不靠地，我们靠自己！”
解 把 2x + 1 看成中间变量 u，将 y = (2x + 1)5
轮流求导之和
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函
数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平
方.即:
f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)

g(
x)


g ( x)2
(g(x) 0)
上导乘下，下导乘上，差比下方。
推论：
y
' x

yu'

u
' x

u2
' 2x 3'
4u 8x 12.
2函数 y e0.05x1 可以看作函数 y eu 和u
0.05x 1的复合函数.由复合函数求导法则有
y
' x

yu'

u
' x
eu ' 0.05x 1 '
用单位: 元为
cx 5284 80 x 100.求净化到下纯度
100 x 时, 所 需 净 化 费 用 的 瞬 时 变化 率 :
1 90% ; 298% .
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数。
c '(x)=( 5284 ) ' 5284 ' (100 x) 5284 (100 x) '
(3)y′＝(x·tanx)′＝xcsoisnxx′
xsinx′cosx－xsinxcosx′
＝
cos2x
sinx＋xcosxcosx＋xsin2x
＝
cos2x
sinxcosx＋x ＝ cos2x .
例 日常生活中的饮用水
通 常 是经 过净 化 的.随 着 水 纯 净 度 的 提 高, 所 需 净 化 费 用 不 断 增 加.已 知 将1吨 水 净 化 到 纯 净 度 为x%时 所 需 费
的,即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
如果把 y 与u的关系记作y f u,u 和 x的关系记作 u gx, 那么这个"复合"过程可表示为 y f u f gx lnx 2.
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
"复合"得到的,例如,函数y 2x 32由y u2和u 2x 3
是52.84元/吨。
(2)Q c '(98)
5284 (100 98)2
1321
纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率
是1321元/吨。
思考 如何求函数 y lnx 2的导数呢?
若设u x 2x 2,则y ln u.从而y lnx 2可以 看成是由y ln u 和u x 2x 2经过"复合"得到
x
(log a
x)

1 x ln
. a
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),
即:
f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) • g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
导 数, 然 后 相 乘 即 得.
推广：
设 y f (u), u (v), v ( x)都可导,
则 复 合 函 数y f {[ ( x)]}的 导 数 为
dy dy du dv . dx du dv dx
注意：可推广到有限次复合.
熟练该法则后,在求导时可不必写出中间变量,但对 中间变量的求导决不能遗漏.
4
( x3 )'sinx x3(sinx)' 2(sinx) 0
3x2sinx x3cosx 2sinx.
例2 求 y tan x 的导数 .
解： y (tan x) ( sin x ) cos x
(sin x) cos x sin x(cos x) cos2 x
x－1 x＋1－2
方法二：∵y＝ ＝
＝1－
2
，
x＋1 x＋1
x＋1
∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋2 12.
1.求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(2)y＝xx－ ＋11；
(3)y＝x·tanx.

cos2 x sin2 cos2 x
x

1 cos2
x
例3 设y 2x ex log 3 x, 求y
解： y (2x ex ) (log 3 x) (2x )e x 2x (e x ) 1 xln3 2x e xln2 2x ex 1 xln3 (2e)x (ln2 1) 1 . x ln 3
方法是：从外到内,逐层求导.
例3 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e 0.05x1 ; 3 y sinx 其中 ,均为常数.
解 1函数y 2x 32 可以看作函数y u2和
u 2x 3的复合函数. 由复合函数求导法则有
(1) [
f1(x)
f2( x)
f3( x)
]

f1(x)
f

2
(
x)

f

3
(
x)


(u1±u2±…±un)′＝u1′±u2′±…±un′.
(2) [kf ( x)] kf ( x);
(3)(uvw) uvw uvw uvw
1
v( x)
（2）幂函数 ： (xn)’ nxn1
（3）三角函数 ：
（1）(sin x) cos x （2）(cos x) sin x
（4）指数函数的导数:
(1) (e x ) e x .
(2) (ax ) ax ln a(a 0, a 1).
（5）对数函数的导数:
(1) (ln x) 1 . (2)
"复合"而成, 等等.
复合函数的求导法则：
一般地, 对于两个函数y f u和u gx, 如果通过变量u, y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y f u和 u gx的复合函数(composite function), 记作y f gx.
如 果 数u ( x)在 点x处 可 导, 而 函 数y f (u) 在 对 应 的 点u处 可 导, 那 么 复 合 函 数y f [ ( x)]
∴y′＝－211－－xx2′＝1－2 x2.
(4)∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11.
问题1:指出下列函数的复合关系
1) y (a bx n )m
2) y

sin(x

1)
x
解:1)y u m , u a bx n
导数的运算法则及运算
学习目标
1.理解和掌握导数的加法、减法、乘法、除法法则的推导．
2.熟悉导数的运算法则及导数基本公式；
3.熟练掌握函数的求导计算方法。
重点：利用导数的四则法则求导． 难点：复合函数的导数求法；常与导数的综合应用结合进行考查．
回顾：基本初等函数的导数公式
（1）常函数：(C )’ 0, (c为常数)；
0.05eu 0.05e0.05x1.
(3) y sin(x ).(其中，均为常数）
3解：函数y sinx 可以看作函数y sin u和
u x 的复合函数.
由复合函数求导法则有
y
' x

yu'

u
' x
sin u' x '