大学物理I教学课件：10.刚体(能量)
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其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动．由 于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡 状态，当 其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止 开始绕铰链O转动．试计算细杆转动到与竖直线 成30o时的角加速度和角速度．
讨论: 多种方法
Ⅰ法 力矩的方法
Ⅱ法 动能定理
m,l θ mg
O
Ⅲ法 机械能守恒
[例] 一绳索缠绕在半径为 R 、质量为m的均匀圆盘
一 刚体平面平行运动
(一). 运动描述
一般： 质心平动+绕质心转动
vc , ac
,
特例：无滑动滚动 接触处： 静摩擦力
vc R ac R
(二). 力学规律
1.质心运动 F mac mrc
2.绕质心转动 Mc
Jc
d dt
推论 刚体平衡条件： F 0, 且M 0
二、刚体动能定理
WE
(一). 功的另一种求法
Ek
1 2
mvc
2
1 2
J
c
2
质心平动 绕质心轴 c
(四). 转动的动能定理
W Md
W
W
注
(J d )d dt
2J d
1
Jd
1J 2
2 2
1J 2
2 1
a. 两种运动（平与转）相似性 — P.127 表4－3 b. 机械能守恒问题（条件同前）
Tips：刚体势能 等于质心处势能
[例3] 一长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置,
的圆周上，绳的另一端悬挂在天花板上（如图）.
设绳的质量不计，求：(1)圆盘质心速度； (2)绳的 张力。
分析：
a. 质心运动定律
h
FT
y
b. 绕质心转动定律
R c
c. 运动学关系 ac R
P
【例】两个质量和半径相同的空心球和实心球，同 时从同一高度，同一坡度的斜面无滑动地滚下，求 两者到达地面的时间。
4-3
刚体能量
刚体平面运动
sliu@seu.edu.cn 2014.03
阅读测验（保持安静）
1. 花 样 滑 冰 者 ， 开 始 自 转 时 ， 其 转 动 动 能 为 Ek ， 然 后 将 手 臂 收回，转动惯量减少到原来的 1/3，此时有（ ）
A. 角速度减小 动能不变 B. 角速度增加 动能不变 C. 角速度减小 动能减小 D. 角速度增加 动能增加
求力：质心运动定律
F
【思考题】拉力F在 如图所示位置，求摩
擦力f
三 刚体进动 Precession
进动（旋进）：高速旋转的物体，其自转 轴绕另一个轴转动的现象。
定点转动 三维
角动量定理仍成立： dL M
dt
当M^L时， dL^L
则 L只改变方向不改变大小。
求进动角速度
几何关系 dL L sin d
D. 条件不足
前情提要
ri vi ai
w
距离保持不变 质点系运 动动力学学定律
刚体运动 微分方程
L质点 r p mvr sin e L定轴 J
Mzex
J
d dt
t1 t0
M
zexdt
L1 L0
本讲内容
刚体的两类复杂运动
刚体平面平行运动 陀螺运动
刚体的动能定理、机械能守恒定律 守恒定律综合应用
M 的空间积累作用
W F dr Md
1 ~2: W
W
2 Md
1
(二). 力矩功率
P dW M d M
dt
dt
P 一定时
M
ห้องสมุดไป่ตู้
1
o
o’
d
Ft
ds
(三). 刚体动能
思路：考虑质元 mi 然后求和
Ek
Eki
1( 2i
miri2 ) 2
1J 2 2
注
a. 对于刚体
1 mv2 只是一部分动能 2
b. 既有平动又有转动（运动叠加）
C
2.轻绳绕在匀质滑 轮M上，用拉力 F=mg 代 替 物 块 m ， 则绳子加速度（ ）
A. 增加 B. 不变 C. 减小 D. 不能确定
3.质量与半径相同的铁环和匀质圆盘，从同一固定斜 面顶端由静止滚下，不计空气阻力且滚动没有相对滑 动，则到达斜面底部时的动能哪个大（ ）
A. 铁环
B. 圆盘
C. 相等
M dL L sin d
dt
dt
\进动角速度
d
M
M
1
dt L sin J sin
*进一步分析
以上只是近似讨论，因为当旋进发生后：
只有高速自转
总
时，才有 总 LJ
当考虑到 对 总的贡献时，自转 轴在旋进时还会出现微小的上下的 周期摆动， 这种运动叫章动 (nutation)。
思考题(2)
光滑水平面上，两小球m以同样的速度v 同时与匀质细杆(m,l) 发生完全非弹性碰 撞，一个撞杆端点，一个撞在杆质心， 如图所示。分析杆的运动.
分析：受力分析，判断守恒量 多种定律——多种解法
法一
mg sin f ma fR Jc , a R
法二
1 2
mvc2
1 2
Jc 2
mgh
mgH
结论：实心球先到
课后思考题(1)
平整的水平面上，一圆柱体做无滑滚 动，由于静摩擦a=-f/m，即质心速度 减小，又v=r，则角速度也减小。由 机械能=1/2mv2 +1/2J2 所以机械能 减小。但是静摩擦力是不做功的，这 不是矛盾吗？？？
讨论: 多种方法
Ⅰ法 力矩的方法
Ⅱ法 动能定理
m,l θ mg
O
Ⅲ法 机械能守恒
[例] 一绳索缠绕在半径为 R 、质量为m的均匀圆盘
一 刚体平面平行运动
(一). 运动描述
一般： 质心平动+绕质心转动
vc , ac
,
特例：无滑动滚动 接触处： 静摩擦力
vc R ac R
(二). 力学规律
1.质心运动 F mac mrc
2.绕质心转动 Mc
Jc
d dt
推论 刚体平衡条件： F 0, 且M 0
二、刚体动能定理
WE
(一). 功的另一种求法
Ek
1 2
mvc
2
1 2
J
c
2
质心平动 绕质心轴 c
(四). 转动的动能定理
W Md
W
W
注
(J d )d dt
2J d
1
Jd
1J 2
2 2
1J 2
2 1
a. 两种运动（平与转）相似性 — P.127 表4－3 b. 机械能守恒问题（条件同前）
Tips：刚体势能 等于质心处势能
[例3] 一长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置,
的圆周上，绳的另一端悬挂在天花板上（如图）.
设绳的质量不计，求：(1)圆盘质心速度； (2)绳的 张力。
分析：
a. 质心运动定律
h
FT
y
b. 绕质心转动定律
R c
c. 运动学关系 ac R
P
【例】两个质量和半径相同的空心球和实心球，同 时从同一高度，同一坡度的斜面无滑动地滚下，求 两者到达地面的时间。
4-3
刚体能量
刚体平面运动
sliu@seu.edu.cn 2014.03
阅读测验（保持安静）
1. 花 样 滑 冰 者 ， 开 始 自 转 时 ， 其 转 动 动 能 为 Ek ， 然 后 将 手 臂 收回，转动惯量减少到原来的 1/3，此时有（ ）
A. 角速度减小 动能不变 B. 角速度增加 动能不变 C. 角速度减小 动能减小 D. 角速度增加 动能增加
求力：质心运动定律
F
【思考题】拉力F在 如图所示位置，求摩
擦力f
三 刚体进动 Precession
进动（旋进）：高速旋转的物体，其自转 轴绕另一个轴转动的现象。
定点转动 三维
角动量定理仍成立： dL M
dt
当M^L时， dL^L
则 L只改变方向不改变大小。
求进动角速度
几何关系 dL L sin d
D. 条件不足
前情提要
ri vi ai
w
距离保持不变 质点系运 动动力学学定律
刚体运动 微分方程
L质点 r p mvr sin e L定轴 J
Mzex
J
d dt
t1 t0
M
zexdt
L1 L0
本讲内容
刚体的两类复杂运动
刚体平面平行运动 陀螺运动
刚体的动能定理、机械能守恒定律 守恒定律综合应用
M 的空间积累作用
W F dr Md
1 ~2: W
W
2 Md
1
(二). 力矩功率
P dW M d M
dt
dt
P 一定时
M
ห้องสมุดไป่ตู้
1
o
o’
d
Ft
ds
(三). 刚体动能
思路：考虑质元 mi 然后求和
Ek
Eki
1( 2i
miri2 ) 2
1J 2 2
注
a. 对于刚体
1 mv2 只是一部分动能 2
b. 既有平动又有转动（运动叠加）
C
2.轻绳绕在匀质滑 轮M上，用拉力 F=mg 代 替 物 块 m ， 则绳子加速度（ ）
A. 增加 B. 不变 C. 减小 D. 不能确定
3.质量与半径相同的铁环和匀质圆盘，从同一固定斜 面顶端由静止滚下，不计空气阻力且滚动没有相对滑 动，则到达斜面底部时的动能哪个大（ ）
A. 铁环
B. 圆盘
C. 相等
M dL L sin d
dt
dt
\进动角速度
d
M
M
1
dt L sin J sin
*进一步分析
以上只是近似讨论，因为当旋进发生后：
只有高速自转
总
时，才有 总 LJ
当考虑到 对 总的贡献时，自转 轴在旋进时还会出现微小的上下的 周期摆动， 这种运动叫章动 (nutation)。
思考题(2)
光滑水平面上，两小球m以同样的速度v 同时与匀质细杆(m,l) 发生完全非弹性碰 撞，一个撞杆端点，一个撞在杆质心， 如图所示。分析杆的运动.
分析：受力分析，判断守恒量 多种定律——多种解法
法一
mg sin f ma fR Jc , a R
法二
1 2
mvc2
1 2
Jc 2
mgh
mgH
结论：实心球先到
课后思考题(1)
平整的水平面上，一圆柱体做无滑滚 动，由于静摩擦a=-f/m，即质心速度 减小，又v=r，则角速度也减小。由 机械能=1/2mv2 +1/2J2 所以机械能 减小。但是静摩擦力是不做功的，这 不是矛盾吗？？？